中考数学专项复习：整式的乘除（解析版）

专题1.1整式的乘除

典例精析

【典例1】【知识回顾】有这样一类题:

代数式(1久一y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关，求a的值;

通常的解题方法；

把x,y看作字母，。看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0,即原

式=(a+3)x-6y+5,所以a+3=0,即a=-3.

b

图1图2

【理解应用】

(1)若关于x的多项式(2m-3)x+2m2-3m的值与x的取值无关，求m的值；

(2)已知3[(2x+1)(刀-1)一x(l-3y)]+6(-/+无y-1)的值与x无关，求了的值；

【能力提升】

(3)如图1,小长方形纸片的长为°、宽为6,有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形

/BCD内，大长方形中有两个部分(图中阴影部分)未被覆盖，设右上角的面积为Si，左下角的面积为S2,

当的长变化时，S「S2的值始终保持不变，求。与6的等量关系.

【思路点拨】

(1)根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；

(2)先根据整式的加减求出34+6B的值，再根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；

(3)设4B=x,先求出SiS，从而可得S1—S2，再根据“当AB的长变化时，S1一S2的值始终保持不变”

可知Si-52的值与x的值无关,由此即可得.

【解题过程】

解：(1)(2%—3)m+2m2-3x=2mx—3m+2m2—3x

=(2m—3)x—3m+2m2,

•・・关于x的多项式(2%—3)m+2m2—3%的值与x的取值无关，

2m—3=0,

解得m=

(2)令4=(2x+l)(x-l)-x(l-3y)=2%2-2%+x-l-x+3%y=2x2+3xy-2%-l,

B=—%2+xy—1,

原式=3Z+68=3(2/+3xy—2%—1)+6(—%2+xy-1)

=6x2+9xy—6%—3—6x2+6xy—6

=15xy—6x—9

=(15y—6)x—9,

•••34+6B的值与%无关，

•••15y—6=0,

解得y=I；

(3)解：设48=%,

由图可知，S1=a(x-3b)=ax—3ab,S2—2b(x—2d)=2bx—4abf

则Si-S2=ax-3ab—(2bx—4ab)

=ax—3ab—2bx+4ab

=(a-2b)x+ab,

・・•当AB的长变化时，Si-S2的值始终保持不变，

・•・Si—S2的值与％的值无关，

a-2b=0,

ct—2b.

学霸必刷

1.（2022春・贵州六盘水•七年级统考期中）已知。1，。2,。3，…，。2022均为负数，则M=31+。2+。3+…+

a2021)(a2+a3----卜。2022)，N=(%+。2+a3----卜a2022)(a2+a3----卜。2021)，则”与N的大小关系是

()

A.M=NB.M>NC.M<ND.无法确定

【思路点拨】

令。2+。3---1-。2021=%，则M=(%+%)(%+。2022)=alx+。1。2022++/+。2022%，N=(%+%+

。2022)%=+/+。2022%，将脑V,进行判断即可得出结论・

【解题过程】

解：令做+。3---1"。2021=%，则M=+%)(%+@2022)=alx+ala2022+/+。2022%，N=(%+%+

口2022)%=d+a2022Xf

：.MN=a1X+。1。2022+/+。2022汽(的％+/+。2022%)=%。2022，

♦。1，4，…，。2022均为负数，

・・。1。2022>°，

即M>N.

故选：B.

2.(2022秋•全国•七年级专题练习)设％,y为任意有理数，定义运算：％*y=(%+l)(y+1)-1,得到

下列五个结论：①％*y=y*久；②%*y+z=%*y+%*z；③(％+1)*(久—1)=%*%—1；@x*0=0；

⑤(％+1)*(%+1)=%*%+2*%+1.其中正确结论的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【思路点拨】

根据题中定义的运算，对各结论中新定义的运算进行计算，判断即可解答.

【解题过程】

解：'.'x*y=(%+l)(y+1)-1,

y*x=(y+1)(%+1)—1,

.\x*y=y*x,

故①正确；

*/%*y+z=(%+l)(y+l)-l+z=xy+x+y+z,

x*y+x*z=(%+l)(y+1)—1+(%+l)(z+1)—l=%y+久+y+%z+%+z=%y+%z+2%+y+z,

.,.%*y+z^=x*y+x*z,

故②错误；

'/(%+1)*(%—1)=(%+1+l)(x—1+1)-1=(X+2)x—1=%2+2%—1.

x*x—l=(x+l)(x+l)—1—l=x2+2x—1.

.,.(%+1)*(%—1)=%*%—1,

故③正确；

Vx*0=(%+1)(0+1)—l=x+l—l=x,

x*0丰0,

故④错误；

V(x+1)*(x+1)=(%+1+1)(%+1+1)—1=0+2)2—1=/+4%+3,

x*x+2*x+l=(%+1)(%+1)—1+(2+1)(%+1)—l+l=(x+I)2+3(%+1)-1=%2+5x+3.

二.(%+1)*(%+1)W%*%+2*%+1

故⑤错误.

综上所述，正确的个数为2.

故选：B.

3.(2022春•江苏•七年级专题练习)设X+y+z=2020,且喘=施；，则％3+y3+一3%yz=

()

A.673B.—C.—D.674

33

【思路点拨】

令肃可将x、z的值用y与a表示，利用“+y+z=202°求出a的值，然后将所求的

式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.

【解题过程】

角星：设」一=—^―=，一=a

201920202021

X—2019a,y=2020a,z=2021a

贝小x=y—a

z=y+a

将x,y,z的值代入久+y+z=2020可得：2019a+2020a+2021a=2020

解得：a=[

•・•%3=(y—a)3=(y-a)(y2—2ay+a2)=y3—3ay2+3a2y—a3

3322323

z=(y+a)=(y+a)(y+2ay+a)=y+3ay+3a2y+a

3xyz=3y(y—a)(y+a)=3y(y2—a2)=3y3—3a2y

・•・%3+y34-z3—3xyz

=(y3-3ay2+3a2y—a3)+y3+(y3+3ay2+3a2y+a3)—(3y3—3a2y)

=9a2y

=9a2-2020a

1,

=9x2020x(-)3

_2020

3

故选：B.

4.(2022春•江苏南京•七年级南京市人民中学校联考期中)如图，长为y(cm),宽为x(cm)的大长方形被

分割为7小块，除阴影/,3外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm,下列

说法中正确的是()

①小长方形的较长边为丫-15；

②阴影/的较短边和阴影2的较短边之和为无-y+5；

③若x为定值，则阴影/和阴影3的周长和为定值；

④当久=15时，阴影/和阴影2的面积和为定值.

A.①③B.②④C.①③④D.①④

【思路点拨】

①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为015)cm,说法①正确；②由大长

方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影4,8的较短边长，将其相加可得出阴影/的较短边和阴影8

的较短边之和为(2x+5y)cm,说法②错误；③由阴影4,2的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公

式可得出阴影/和阴影2的周长之和为2(2"5),结合x为定值可得出说法③正确；④由阴影Z,3的相

邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影/和阴影3的面积之和为(町25y+375)cm2,代入

x=15可得出说法④错误.

【解题过程】

解：①：大长方形的长为ycm,小长方形的宽为5cm,

.,.小长方形的长为了3*5=(yl5)cm,说法①正确；

②：大长方形的宽为xcm,小长方形的长为(yl5)cm,小长方形的宽为5cm,

二阴影/的较短边为x2*5=(xlO)cm,阴影2的较短边为x=(xy+15)cm,

•••阴影4的较短边和阴影8的较短边之和为xlO+xy+15=(2x+5y)cm,说法②错误；

③：阴影/的较长边为(yl5)cm,较短边为(xlO)cm,阴影3的较长边为3x5=15cm,较短边为(xy+15)

cm,

...阴影/的周长为2(yl5+xlO)=2(x+y25),阴影8的周长为2(15+盯+15)=2(xj汁30),

阴影/和阴影3的周长之和为2G+y25)+2(xy+30)=2(2x+5),

若x为定值，则阴影/和阴影3的周长之和为定值，说法③正确；

④：阴影N的较长边为(yl5)cm,较短边为(xlO)cm,阴影3的较长边为3x5=15cm,较短边为(孙+15)

阴影4的面积为（yl5）（xlO）=（xyl5xlOy+15O）cm2,阴影5的面积为15（xy+15）=（15xl5y+225）

cm2,

：・阴影/和阴影8的面积之和为砂15xlQy+150+15xl5尹225=（刈25y+375）cm2,

当x=15时，孙25y+375=（3751Oy）cm2,说法④错误.

综上所述，正确的说法有①③.

故选：A.

443322

5.（2022春・浙江杭州•七年级统考期中）若a=255,b=3,c=4,5,则a,b,c,d的大小

（用〈号连接）.

【思路点拨】

把a,b,c,d各数的指数转为相等，再比较底数即可.

【解题过程】

解：a=255=（25）11=32、

=344=（34）11=8111,

c=433=（43）11=641I,

d=522=（52）11=2511,

25<32<64<81,

.­-2511<3211<6411<8pi,

即d<a<c<b.

故答案为：d<a<c<b.

6.（2022秋•七年级单元测试）计算（1_|_3一、一4（,+3+；+3+3_。_\_3_、_3_*）（3+\+、+

以的结果是.

【思路点拨】

设久=4+1+：+)，把原式化简为关于X的代数式，再运算求解

2345

【解题过程】

解：设第=J+J+:+Il,

2345

则原式=(1--(1-%-工

115

=x+——x2——x——x+X2

666

_1

-6

故答案为："

O

7.(2022春・浙江杭州•七年级校考期中)如果(x-l)(x-2)(x-3)。-4)+爪是一个完全平方式，那么

m=______

【思路点拨】

2

先根据多项式乘多项式法则展开得出原式=(/—5x+4)(x2—5x+6)+m,求出原式=(/-5%+4)

+2(%2-5x+4)+m,再根据完全平方式得出加即可.

【解题过程】

解：(x-1)(%-2)(%—3)(x-4)+m

=(x—1)(x-4)(x-2)(x-3)+加

=(x2—5%+4)(%2—5%+6)+m

=(%2—5%+4)[(%2—5x+4)+2]+m

2

=(%2—5%+4)+2(%2—5x+4)+m

*.*(xT)(x-2)(x-3)(工-4)+加是一个完全平方式，

.*.m=I2=1.

故答案为：1.

333

8.(2022秋•湖南长沙•七年级校联考阶段练习)若a+b+c=0,a+b+c=0,贝lj

a23+b23+c23=.

【思路点拨】

由题意得(Q+b+c)3=0,a+b——c,a+c=—b,b+c=­a,再根据£+报+03=0可得出abc=0,

从而可判断出a、b、c有一个等于零，假设。=0,则b+c=0,b=-c9从而可得出答案.

【解题过程】

解：•・•a+b+c=0,

・•・(a+b+c)3=0,a+b=—c,a+c=—b,b+c=—a,

即Q3+h3+c3+2a2(h+c)+2/)2(a+c)+2c2(a+b)+6abc=0,

整理得：a3+fo3+c3—2a?—2b3—2c3+6abc=0,

即一a3—b3—c3+6abc=0,

又•・•/+报+/=o,

:.abc=0,

•••a、b、c中有一个等于零，

假设a=0,贝！Jb+c=0,即b=—c,

2323232323

则小3+胫+c=0+(-c)23+C=0-C+C=0,

故答案为：0.

9.(2022秋•上海•七年级专题练习)若a,b,c满足a-bb+c=1,a2+b2+c2=2,a3+h3+c3=3,

则Q，+/?4+C4=

【思路点拨】

关键整式的乘法法则运算，并整体代入变形即可.

【解题过程】

解：因为a+b+C=1,

所以(a+b+c)2=1,即/+fa2+c2+2(ab+ac+be)=1

因为。2+抉+=2

所以ub+etc+be=——

因为(a+b+c)(a2+h2+c2)=2

所以苏+力3+03+ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)=2

因为a+b+c=La?+83+03=3

所以3+ab(l-c)+bc(l-a)+uc(l—b)=2

即3+(ab+ba+ac)—3abc=2

3------3o.bc=2

2

abc=-

6

因为(a+b+c)(a3+h3+c3)=3

即a，+h4+c4+ab(a2+Z)2)+ac(a2+c2)+bc{b2+c2)=3

a4+b4+c4+ab(2—c2)+ac(2—b2)+bc(2—a2)=3

a4+h4+c4+2(a&+be+ac)—abeQa+b+c)=3

1

a4+h4+c4—1——=3

6

1

a4+fo4+c4=4—

6

故答案为：41

10.(2022春・江苏•七年级专题练习)建党100周年主题活动中，702班滑将设计了如图1的“红色徽章”其

设计原理是：如图2,在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正

方形ABCD,并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标.现将阴影部分图形面积记作Si，每一个边长

为b的小正方形面积记作52,若SI=6S2,则蓝的值是.

【思路点拨】

根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出AOG/与AMNC面积，求AKMD

面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得Si，S2，利用已知条件进行多项式的化简即可得出答案.

【解题过程】

解：如图所示，对需要的交点标注字母：

图2

SRDGI=[(a+b)xb=^ab+^b2,

S^KMD=^ABCD~S&DMC~SADKA~S^KBM

111

=(a+2b¥——(tz+b)(a+2b)——(tz+2b)(a+b)——

=ab+-b2

2f

S^MNC="I(a+b)xb=gab+3,

二•Si=S^DGI+SAKMD+S^MNC=2ab+qb，

2

52=bf

VSi=6s2，

.\2ab+-b2=6b2,

2

化简得：2a=1/),

.a_7

•二一"

故答案为：p

11.(2022秋•七年级课时练习)若(必+3mx-(%2—3%+九)的积中不含有x与第3项.

(1)直接写出他、几的值，即m=,n=；

23

(2)求代数式(一mn)+(9)7m>+(3根)2014rl2016的值.

【思路点拨】

(1)根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有无与％3项可以求解血、九的值.

(2)将TH、九的值代入代数式求值即可.

【解题过程】

(1)解：卜2+3mx—0(%2—3x+n)

=x4—3x3+nx2+3mx3—9mx2+3mnx--x2+x--n

33

=x4+(3m—3)x3+(ri—9m—i)x2+(3mn+l)x—

•・•积中不含有％与％3项，

3m—3=0,3mn+1=0,

解得m=1,n=—

故答案为：1,—g.

(2)解：当m=l,九=一］时，

220142016

(―m2rl)3.|_(9mn)+(3m)n

45一孙向《孙叫《旷

=钻+5+上闾°"与

11

=—+9+—

279

4

=9——.

27

12.(2020春・浙江杭州•七年级校考期中)回答下列问题：

(1)填空：

(a—b)(a+b)—；

(a—b)(a2+ab+b2)=；

(a—b)(a3+a2b+ab2+fe3)=.

(2)猜想：

(a-Z))(an-1+an-2b++abn~2+bn-1)=.(其中n为正整数，且zi22)；

(3)利用(2)猜想的结论计算：

①210+29+28+27+…+23+22+2；

②210-29+28-27+••--23+22-2.

【思路点拨】

(1)利用多项式乘多项式运算法则对每个式子进行计算即可；

(2)根据(1)中的各个式子的规律，可以写出相应的猜想；

(3)利用(2)中的猜想，对算式进行变形即可解答本题.

【解题过程】

解：(a—6)(a+&)=a2-62；

(a—6)(a2+ab+h2)

=a3+a2b+a/72—a2b—ab2—b3

=a3—b3；

(a—6)(a3+a2b+ab2+h3)

4234

=a+a3b+a2b2+二扭—a3b_Q2b—ab—b

=a4—b4；

故答案为：a2-62；a3-h3；a4-fo4；

(2)根据(1)中的规律，可得猜想：

(a—h)(an-1+呼-2b+—FaZ?n-2+6n-1)=a！1—bn(其中n为正整数，且九22),

故答案为：那一〃；

(3)@210+29+28+27+-+23+22+2

=210+29+28+27+•••+23+22+2+1-1

=(2-1)(210+29x1+28xI2+27xI3+-+23xI7+22xI8+2xI9+I10)-1

=211-1-1

=2048-1-1

=2046；

②210-29+28-27+…一23+22-2

=210-29+28-27+-23+22-2+1-1

=|x[2-(-1)][210+29x(-1)+28x(-I)2+27x(-I)3+-+23x(-I)7+22x(-I)8+2x

(-I)9+(-I)10]-l=1x[211-(-I)11]-1

1

=~x2049-1

3

=683-1

=682.

13.(2022春・江苏•七年级专题练习)阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+...+22020+2?。21的值，采

用以下方法:

设S=l+2+22+.•.+22020+22021①

贝|J2s=2+22+…+22021+22022②

②一①得，2S—S=S=22022一1.

请仿照小明的方法解决以下问题：

(1)2+22+…+220=.

(2)求l+g+*+…++壶=;

(3)求(—2)+(-2)2+.••+(-2)1。。的和；(请写出计算过程)

(4)求a+2a3a3H---Fzian的和(其中a：/：0且aKl).(请写出计算过程)

【思路点拨】

(1)根据阅读材料可得：设s=2+22+…+22。①，贝12s=22+23+…+22。+221②，②一①即可得结果；

⑵设S=l+g+也H---①，+---1■贵+*②，②一①即可得结果；

(3)设s=(-2)+(—2产+…+(—2)1。。①，2s=(-2/+(—2尸+…+(—2)1。】②，②一①即可得结果；

(4)设s=a+2a2+3a3H---Fna71①，as=a2+2a3+3a4HF九。H】②，②一①得ass=aa2—a3—a4H---

a71+nan+1,同理：求得a?—a3—a’+…一a"]，进而即可求解.

【解题过程】

解：根据阅读材料可知：

(1)设s=2+22+…+22°①，

2s=22+23+...+22。+221②，

②-①得，2s-s=s=22i-2；

故答案为：221-2；

(2)设s=l+[+±+…+^@’

点三+或+•”+*+*，

②一①得，3r=}=表1,

故答案为：2/；

(3)设s=(—2)+(—2)2+.••+(-2＞。。①

25=(-2)2+(-2)3+…+(-2)101②

②—①得，2s—s=3s=(-2)i0i+2

._2101-2

•*s-；

(4)设s=a+2a2+3a3,|----1_n。九①，

as=az+2a3+3a4,|---1_72azi+i②，

②①得：ass=aa2—a3—a4H-----an+nan+1,

设m=ao^—c?—q4+…一a71③，

am=a2—a3—a4H-----an+1(4),

④③得：amm=aan+1,

.a-an+1i

・・ass=------\~nan+,

a—1

._a-an+1,nan+1

-S—g_i)2十Q_I•

14.(2022秋・湖南永州•七年级校考期中)规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,b),如果出=6.我们

叫(哂为“雅对”.

例如：因为23=8,所以(2,8)=3.我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)成立.证明

如下：

设(3,3)=小，(3,5)=n,贝i]3"l=3,3n=5,故3m・3八=37n+"=3x5=15,

则(3,15)=m+n,即(3,3)+(3,5)=(3,15).

(1)根据上述规定，填空：(2,4)=；(5,1)=；(3,27)=.

(2)计算(5,2)+(5,7)=,并说明理由.

(3)利用“雅对”定义证明：(253八)=(2,3),对于任意自然数几都成立.

【思路点拨】

(1)由于22=4,5°=1,33=27根据“雅对”的定义可得；

(2)设(5,2)=m,(5,7)=n,利用新定义得到51n=2,5n=7,根据同底数赛的乘法得到5m・5八=

5m+n=14,然后根据“雅对''的定义得到(5,14)=m+n,从而得

到(5,2)+(5,7)=(5,14);

(3)设：(2n,3n)=a,(2,3)=b,利用新定义得到(2n)"=3%2^=3,根据赛的乘方得到

(2n)"=(2":从而得到a=b,所以(2n,3n)=(2,3),对于任意自然数"都成立.

【解题过程】

(1)V22=4，

.,.(2,4)=2；

V50=1,

A(5,1)=0；

V33=27,

：.(3,27)=3

故答案为：2；0；3；

(2)(5,2)+(5,7)=(5,14)；

理由如下：

设(5,2)=小，(5,7)=律，贝I]5m=2,5n=7,

5m»5n=5m+n=2x7=14,

,/(5,14)—m+n,

：.(5,2)+(5,7)=(5,14)；

故答案为：(5,14)；

(3)设(2n,3n)=a,(2,3)=b,

：.(2n)a=3",2b=3,

a,n

：.⑵)=(2fi),

即2丽=2bn,

an=bn,

••ct—b,

即(2L3D=(2,3),对于任意自然数〃都成立.

15.(2022春・江西抚州•七年级统考阶段练习)我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项

式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从

大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式

为0或余式的次数低于除式的次数.

例：计算(8/+6x+1)+(2x+1),可依照672+21的计算方法用竖式进行计算.因此(8/+6%+1)4-

(2x+1)=4x+1.

0

C1)(x3+4x2+5x-6)-?(%+2)的商是,余式是.

(2)利用上述方法解决：若多项式2/+4炉++8%—匕能被/一万+1整除，求W值.

(3)已知一个长为。+2),宽为(X-2)的长方形/,若将它的长增加6,宽增加。就得到一个新长方形8,

此时长方形3的周长是N周长的2倍(如图).另有长方形C的一边长为Q+10),若长方形8的面积比C

的面积大76,求长方形C的另一边长.

【思路点拨】

(1)根据多项式除以多项式的法则计算.

(2)根据多项式除以多项式的法则计算.

(2)通过面积关系求长方形的边长.

【解题过程】

(1)解：(尤3+4/+5x-6)+(x+2)用竖式计算如下，

+2x+1

x+2)+3++5x-6

X3+2X2

2%2+5x—6

2x2+4x

x-6

x+2

-8

+4%2+5%_6)+(x+2)的商是/+2%+1,余式是—8.

・••答案为：x2+2x+1,—8.

(2)多项式2—+4/+办2+8%一6能被/r+i整除，

2x2+6x—2

x2-x+1j2x4+4x3+ax2+Sx-b

2——2j?+2f

6x3+(Q-2)x2+8x

则6x3-6x2+6x

(〃+4)f+2x-Z?

-2f+2x-2

0

<7+4(2)=0,b(2)=0.

...a=6,b=2.

ab=(6)2=36.

(3)长方形4的周长为：2(x+2+x2)=4x.

长方形5的周长为：2G2+a+x+2+6)=4x+2tz+12.

・・•长方形B的周长是4周长的2倍.

.•・4x+2a+12=8x.

:・a=2x6.

二.长方形5的面积为：(x+2+6)(x2+2x6)=(x+8)(3x8)=3x2+16x64.

・,・长方形。的面积为：3x2+16xl40.

J长方形。的另一边长为：(3/+16xl40)4-(x+10)=3x14.

314

X+10)3X2+16X-140

3x2+30x

-14x-140

—14140

0

长方形。的另一边长为：3x14.

16.(2022春・浙江金华•七年级校联考阶段练习)对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以

得到一个数学等式.例如图1可以得到(。+切2=小+2必+52,请解答下列问题：

bab

(1)写出图2中所表示的数学等式；

(2)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=15,ah+ac+be=35,则原+b2+c2=；

(3)小明同学用图3中x张边长为。的正方形，丁张边长为6的正方形，2张边长分别为a、b的长方形纸

片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形图形，则％+y+z=.

(4)如图4所示，将两个边长分别为。和b的正方形拼在一起，B,C,G三点在同一直线上，连接ZG和

GE,若两正方形的边长满足a+b=12,ab=20,你能求出阴影部分的面积吗？

【思路点拨】

(1)由大正方形等于9个长方形面积的和；

(2)将所求式子转化为小+h2+c2=(a+Z?+c)2—(2ab+2bc+2ac),代入已知条件即可；

(3)将式子化简为(2a+b)(a+2b)=2〃+5ab+2b2,即可确定无、y、z的值；

(4)阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积.

【解题过程】

解：(1)由图可知大正方形面积为(a+b+c)2,大正方形由9个长方形组成，则有(a+/?+c)2=a2+b2+

c2+2ab+2bc+2ac；

故答案为(a+b+c)2=必+乂+c2+2ab+2bc+2ac；

(2)由(1)可得次+公+c2=(Q+6+。)2—(2尤+2bc+2ac),

•••a+b+c=15,abac+be=35,

・•・次+扶+=225-2x35=155；

故答案为155；

(3)v(2a+6)(a+2b)=2a2+5ab+2b2,

x-2,y=2,z-5f

・,•%+y+z=9；

故答案为9；

(4)由已知，阴影部分的面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积，

即a2+——a(a+6)―5b2——cJ'+———ab=—[(a+b)2_3aZ?],

a+b=12,ab=20,

](a+6)2-3ab]=1(144-60)=42.

17.(2022秋・江苏常州•七年级校考期中)已知7张如图1所示的长为a,宽为6(a>b)的小长方形纸片,

按图2的方式不重叠地放在矩形4BCD内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角

的阴影部分的面积的差为S.设8C=t.

(1)用a、b、t的代数式表示S=.

(2)当BC的长度变化时，如果S始终保持不变，则a、b应满足的数量关系是什么？

(3)在(2)的条件下，用这7张长为a,宽为b的矩形纸片，再加上x张边长为a的正方形纸片，y张边

长为b的正方形纸片(久，y都是正整数)，拼成一个大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，

则当久+y的值最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少(用含6的代数式表示)？并求出此时的久、y

的值.

【思路点拨】

(1)先用a、6、t分别表示出阴影部分的长和宽，进而分别表示出阴影的面积，然后作差求解即可；

(2)根据差与8c无关即可求出a、6的关系；

(3)根据题意可得出拼得的正方形的面积为7ab+*a2+、/=按f2i+9x+y>；根据正方形的面积可

得9x+y+21是完全平方数，结合x、y为正整数即可得出答案.

【解题过程】

(1)解：记左上角阴影部分的面积为Si，右下角阴影部分的面积为S2,

左上角阴影部分长方形的长为t-a,宽为36,

；.Si=36(t—a)=3bt-3ab.

右下角阴影部分长方形的长为t-4b,宽为a,

S2=aCt—4b)=at—4ab.

**•S=Si-52--3bt—3ab-Cat—4abl

=3bt—3ab-at+4ab

=ab+(3b—a)t.

(2)解：当t的长度变化时，要使得S始终保持不变，即上面代数式的值与t无关，

；.36—a=0,即a、6满足的关系是：a=3b.

(3)解：拼成的大正方形的面积为：7张边长为a,宽为b的矩形的面积+x张边长为a的正方形的面积+y

张边长为b的正方形的面积，

二拼成的大正方形的面积为：7ab+刈2+皿2,

Va=3b,

2

7ab+xa2+yb2=7x3/?xh+xx(3b)+yb2

=b2(21+9%+y),

9：b2121+9第+y)是一个完全平方数，

・・・9%+y+21是完全平方数，而％、y都是正整数，

9x+y+21》9+1+21=31,

当9%+y+21=36时，x=1,y=6,此时久+y=7,

当9%+y+21=49时，x=3,y=1,止匕时为+y=4；

或者久=2,y=10,止匕时x+y=12；

或者第=1,y=19,此时％+y=20.

当9%+y+21取更大的完全平方数时，％+y的值也变大，

故％+y的最小值为4,此时拼成的大正方形的面积为49b2,则边长为7b,且％=3,y=l.

18.(2022春・四川达州•七年级统考期末)把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行

拼图(重合处无缝隙).

图1图2图3图4

(1)如图2,将四个基本图形进行拼图，得到正方形ABCD和正方形EFG”，用两种不同的方法计算图中

阴影部分的面积(用含。，6的代数式表示)，并写出一个等式；

(2)如图3,将四个基本图形进行拼图，得到四边形MNPQ,求阴影部分的面积(用含0,6的代数式表示);

(3)如图4,将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一

个长方形图形，若AB=b,BC把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为Si，S2,若租=Si-

S2,求证：加与x无关.

【思路点拨】

(1)阴影部分的面积有两种计算方法，①S用彩=S大正方杉-AS基本国够；②直接根据正方形EFG"的边长求正方

形£砥汨的面积；

(2)先证明四边形N8CO是正方形，然后用正方形-4s会留7

(3)把S/,S2分别用含。、b、x的式子表示出来，然后计算"?=S/-S2,即可证明N与x无关.

【解题过程】

(1)解：①•.•在图2中，四边形A8CD是正方形，

二正方形的面积为S正方影=(a+6)2.

:四个基本图形的面积为4ab,

••S场彩=(。+by4ab；

②"/四边形EFGH是正方形，

:.EH=EF=a-b,

:.S网产EH2=(a-l^；

(a+6)2~4ab=(a-b)2.

(2)解：,:NP=a+b,MN^a+b,

四边形EFG”是正方形，

Sgj^=MNi~^ab=(a~\~b^—Aab,

即S幽彩=(a+6>-4a6=。?-2a6+ZA

(3)证明：根据图形可知，AF=a+x-2b,

m=S「S2

=2b*2b-\-bx-(a-26+x)b-3b，b

=4b2-\~bx—(.ab—2b2-\~bx}-3b2

=4〃+bx~ab+2b2-bxTb2

=3b2-ab

，S与x无关.

19.(2022春•江苏泰州•七年级校考阶段练习)如图，4张长为x,宽为y(x>y)的长方形纸片拼成一个边

长为(x+y)的正方形48CD.

(1)当正方形/BCD的周长是正方形EFG"周长的三倍时，求二的值；

y

(2)当空白部分面积是阴影部分面积的二倍时，求工的值；

y

(3)在(2)的条件下，用题目条件中的4张长方形纸片，加张正方形纸片和一张正方形£F"G纸

片(小，〃为正整数)，拼成一个大的正方形(拼接时无空隙、无重叠)，当加，〃为何值时，拼成的大正

方形的边长最小？

【思路点拨】

(1)根据正方形48CD的周长是正方形EFGH周长的3倍列等式可得：x=2y,从而得结论；

(2)先求得空白部分的面积，再利用面积差可得阴影部分的面积和，根据题意列方程求解，从而得结论；

(3)根据题意可得出大的正方形面积为4xy++y)2+久-y)2,根据(2)中的结论x=2y,即大的

正方形面积可化为(8+9m+n)y2,由题意可知因为大正方形的边长一定是的整数倍，则8+9加+〃是平方

数，因为根、〃都是正整数，即8+9加+〃最小是25,即可得出答案.

【解题过程】

(1)解:由题意得：4(x+y)=3x4(xy),

解得：x=2y,

...二2；

y

(2)解：如图,

空白部分的面积=5正方形EFGH+2sAi4PB+^LPED

11

=(%—y)2+2x—y(x+y)+2x-xy

=x2+2y2,

阴影部分的面积和=正方形/BCD的面积空白部分的面积

=(%+y)2—(x2+2y2)

=2xy—y2,

由题意得：x2+2y2=2(2xy-y2),

整理得:(x-2y)2=0,

解得：x=2yf

JJ；

y

(3)

解：由题意得：拼成一个大的正方形的面积=4%y+zn(x+y)2+九(％-y)2,

由(2)知:x=2y,

4xy+m(x+y)2+n(x—y)2

=4•2y•y+9my2+ny2

=(8+9m+n)y2,

因为大正方形的边长一定是y的整数倍，

・・・8+9加+〃是平方数，

,:m,〃都是正整数，

8+9m+«最小是25,即9加+〃=17,

/.m=\,w=8,

此时4xy+m(x+y)2+n(x—y)2=(8+9m+n)y2=25y2,

则加=1,〃=8时，拼成的大正方形的边长最小.

20.(2022春・广东佛山•七年级统考期末)【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如:

在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：(a+6)2=

a2+2ab+b2(如图1).利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系

解决代数问题.