九年级数学上册《圆》单元综合测试题（带答案）

九年级上册数学《圆》单元测试卷

(满分120分，考试用时120分钟)

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.若。。的半径为8cm，点A到圆心0的距离为6Cm,那么点A与。。的位置关系是()

A.点A在。。内B.点A在。。上C.点A在。。外D.不能确定

2.如图在。。中，圆心角NBOC=60。,则圆周角NBAC等于()

B.50°C.40°D.30°

3.如图,为。。的直径，NBEO=40。,则/AC。的度数是()

A.90°B.50°C.45°D.30°

4.已知。。的半径为5,圆心到直线I的距离为4,则直线/与。。的位置关系是()

A.相交B.相离C.相切D.相交或相切

5.在RtAABC中，两直角边AC=6Cm,BC=8Cm,则它的外接圆的面积为()

A.lOO^Cm2B.15^Cm2C.25^Cm2D.50^Cm2

6.已知圆锥的底面半径是4,母线长是5,则该圆锥的侧面积是()

A.10%B.15%C.207rD.257r

7.如图,在边长为1的正方形组成的网格中,△ABC的顶点都在格点上，将AABC绕点C

顺时针旋转60°,则顶点A所经过的路径长为（

A.IOTTB.巫^

3

「屈，

C.-----7CnD.7t

3

8.半径为R的圆内接正三角形的面积是（）

A.BRB.破C.典R2D.典R。

224

9.如图,AB为。。的直径,C。切。。于点交。。于点瓦若/24。=60。23=4,则阴影部

分的面积是（）

10.如图，点C在以AB为半径的半圆上,A8=8,/CBA=30。,点。在线段A8上运动，点E与点。

关AC对称，。尸于点。，并交EC的延长线与点E下列结论：①CE=CF；②线段EP的最小值为

2君

③当=2时,EF与半圆相切；④当点。从点A运动到点8时，线段EF扫过面积是166.其中

正

确的结论（）

C.3个D.4个

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.如图,。。是△ABC的外接圆，若NOCB=40。,则NA=度.

12.如图，。。的弦AB=8,又是A3的中点，且0M=3,则。。的半径等于

13.已知正六边形的半径为2,那么这个正六边形的边长为.

14.如图所示，OC过原点,且与两坐标轴分别交于点A,B两点，点A的坐标为（0,3）是第三象限内OB上

一点,N8加。=120。,求。C的半径.

15.如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络,正六变形的顶点称为格点.已知每个正

六边形的边长为1,AABC的顶点都在格点上,则AABC的面积是.

16.如图，。。的半径为2白,04,。2是。。的半径,P是AB上任意一点,于E,PF，O8

于F,则EF的最大值为.

三、解答题（共8题，共72分）

17.如图,AB是。O的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.

18.如图，直线A8经过。。上的一点C,并且OA=OB,CA=C8,求证：直线A8是。。的切线.

19.如图，在AABC中，ZC=90°,ZA,ZB平分线交于点。QC于点E,。PLAC于点?

⑴求证：四边形CfDE是正方形；⑵若AC=3,BC=4,求AABC内切圆半径.

20.如图所示，正方形网格中,△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）.

（1）把AABC沿BA方向平移后，点A移到点A1,在网格中画出平移后得到的△AiBiCi；

（2）把△A1B1C1绕点Ai按逆时针方向旋转90。,在网格中画出旋转后AAiB2c2；

（3）如果网格中小正方形的边长为1,求点B经过（1）、（2）变换的路径总长.

21.如图，平面直角坐标系中，。尸与x轴分别交于A,8两点，点P的坐标为(3,-1)=273.

⑴求。P的半径长；

⑵将。P向下平移，求。尸与x轴相切时平移的距离.

22.如图,CA,CD是。。的两条切线，切点分别为A,。是。。的直径.

(1)若/C=50。,求NBA。的度数；

⑵若A2=AC=4,求AO的长.

23.已知点A是。。上一点,尸是。。外一点,AP的垂直平分线与。。相切于点C,交AP于2点.

AD

(1)如图1,若必是。。的切线,求一的值；

OP

(2)如图2,若也与。。相交,OA=40P=1O,求AP的长.

24.如图，抛物线＞=(x+m)2+相与直线丫=尤相交于E,C两点(点E在点C的左边)，抛物线与x轴

交

于A,8两点（点A在点8的左边）.A4BC的外接圆。"与直线y=-x相交于点D.

⑴若抛物线与y轴交点坐标为（0,2），求相的值;

⑵求证：O”与直线y=l相切；

⑶若DE=2EC,求。”半径.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.若。。的半径为8cm，点A到圆心0的距离为6Cm,那么点A与。。的位置关系是（）

A.点A在。。内B.点A在。。上C.点A在。。外D.不能确定

［答案］A

［解析］

［分析］

若半径为r,点到圆心的距离为D.当D<r时，点在圆内.

［详解］：OO的半径为8Cm,点A到圆心O的距离为6Cm,

.".D<r,

二点A与。。的位置关系是：点A在圆内，

故选A.

［点睛］考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为D,则有：当D>r时,

点在圆外；当D=i•时，点在圆上，当D<r时，点在圆内.

2.如图在。。中，圆心角/BOC=60。,则圆周角/BAC等于（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

［答案］D

［解析］

［分析］

根据圆周角的性质：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答.

［详解］：/8（^：=60。且/：6OC和NBAC是所对的圆心角和圆周角

1

.\ZBAC=-ZBOC=30°.

2

故选D.

［点睛］考查圆周角的性质.解题关键是运用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

3.如图,A8为。。的直径，N8EZ）=40。,则/ACD的度数是（）

A.90°B.50°C.45°D.30°

［答案］B

［解析］

［分析］

连接AE,由AB为直径，则NAEB=90。,可得ZAED=90°-40°=500,即可求出/ACD=NAED=50°.

［详解］连接AE,如图所示:

VAB为直径，

ZAEB=90°,

/.ZAED=90°-40°=50°,

.,.ZACD=ZAED=50°.

故选B.

［点睛］考查圆周角定理的运用，①直径所对的圆周角为直角；②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相

等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

4.已知。。的半径为5,圆心到直线/的距离为4,则直线/与。。的位置关系是（）

A.相交B.相离C.相切D.相交或相切

［答案］A

［解析］

［分析］

根据圆心到直线的距离D与圆的半径r的大小关系判断即可,当D>r时,直线与圆相离,当D=r时,直线于

圆相切,D<r时,直线与圆相交.

［详解］。0的半径为5,圆心0到直线1的距离为4,

即：D=4,r=5,

VD<r

.••直线1与。0的位置关系是相交.

故选A.

［点睛］考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的大小关系进行判断,即当D>r

时,直线与圆相离，当D=r时,直线于圆相切,D<r时,直线与圆相交.

5.在RSA8C中，两直角边AC=6Cm,8C=8Cm,则它的外接圆的面积为（）

A.lOO^Cm2B.15^Cm2C.25?rCm2D.50^Cm2

［答案］C

［解析］

［分析］

先根据勾股定理求出AB的长,再由直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，可得出外接圆的半径,进而得

出其面积

［详解］如图所示：

VAC=6Cm,BC=8Cm,

,•.AB-^/A^+BC2=10

•••外接圆的半径r=^A3=5

2

...外接圆的面积为257rCm2

故选C.

［点睛］考查了直角三角形外接圆半径与斜边的关系,解题关键是由题意画出图形，再运用直角三角形外接

圆的半径等于斜边的一半求解.

6.已知圆锥的底面半径是4,母线长是5,则该圆锥的侧面积是()

A.10万B.15万C.207rD.25万

［答案］C

［解析］

［分析］

运用圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半解题.

［详解］圆锥的侧面积=5*8兀+2=20兀.

故选C.

［点睛］查了圆锥的侧面积的计算公式.解题关键是运用圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半.

7.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，4ABC的顶点都在格点上，将4ABC绕点C顺时针旋转60°,

则顶点A所经过的路径长为()

［答案］C

［解析］

试题解析：如图所示:

在R3ACD中,AD=3,DC=1,

根据勾股定理得：Ac=+CD：=TiO5

又将△ABC绕点C顺时针旋转60°,

则顶点A所经过的路径长为1=607M=晅k

1803

故选C.

考点：1.弧长公式；2.勾股定理.

8.半径为R的圆内接正三角形的面积是（）

1D.3

A.与2B.破C.巫R

22

［答案］D

［解析］

试题分析：如图所示，过。作OD_LBC于D；

,*,此二角形是正二角形，

,360°

AZBOC=-------=120。.

3

VOB=OC,

AZBOD=-xl20°=60°,

2

・・・ZOBD=30°；

VOB=R,

RJ3R

JOD二一，BD=OB・Cos30°=,

22

BC=2BD=2xmR,

2

•。_1—csn_岛R-岛2

••SABOC——xBCxOD-------x——---------,

2224

.QA/37?23岛2

44

故选D.

考点：正多边形和圆.

9.如图,A8为。。的直径,C。切。。于点。,ACJ_C。交。。于点E,若/BAC=60。八8=4,则阴影部

分的面积是（）

［答案］A

［解析］

［分析］

连接ED,OE,OD,由已知条件和切线的性质易证四边形AEDO是菱形,则AAEM咨ZkDMO,则图中阴影部

分的面积=扇形EOD的面积.

［详解］如图所示：连接ED,OE,OD,设EO与AD交于点G,

AODXBC,

VAC±BC,

AAC〃OD,

VZBAC=60°,OA=OE,

AAAEO是等边三角形，

.\AE=OA,ZAOE=60o,

・・・AE=AO=OD,

又,.,AC//OD即AE〃OD,

四边形AEDO是菱形,则^AEG之GO,ZEOD=60°,

SAAEG=SADGO,

TAB=4,

AAO=OD=2,

_60〃x4_2

S阴影二S扇形EOD=―；—=—7T.

3603

故选:A.

［点睛］考查了切线的性质、菱形的判断和性质以及扇形面积公式的运用，解题的关键是正确添加图形的助线.

10.如图，点。在以A3为半径半圆上,AB=8,NCBA=30。,点D在线段A5上运动，点E与点D

关AC对称OE于点。，并交EC的延长线与点E下列结论：①CE=CF；②线段£尸的最小值为

2月

③当=2时,EF与半圆相切；④当点。从点A运动到点8时,线段跖扫过的面积是16石.其中

正

［答案］C

［解析］

［分析］

（1）由点E与点D关于AC对称可得CE=CD,再根据DF±DE即可证到CE=CF.

（2）根据“点到直线之间,垂线段最短”可得CDB时CD最小，由于EF=2CD,求出CD的最小值就

可求出EF的最小值.

（3）连接OC,易证AAOC是等边三角形,AD=OD,根据等腰三角形的“三线合一”可求出/ACD,进而可

求出NEC0=90°,从而得到EF与半圆相切.

（4）利用相似三角形的判定与性质可证到ADBF是等边三角形，只需求出BF就可求出DB,进而求出AD

长.

（5）首先根据对称性确定线段EF扫过的图形,然后探究出该图形与AABC的关系，就可求出线段EF扫过

的面积.

［详解］接CD,如图1所示.

•••点E与点D关于AC对称，

；.CE=CD.

ZE=ZCDE.

VDFXDE,

ZEDF=90°.

ZE+ZF=90°,ZCDE+ZCDF=90°.

.\ZF=ZCDF.

.\CD=CF.

.\CE=CD=CF.

二结论"CE=CF”正确.

②当CDJ_AB时，如图2所示.

F

E<//:/\

ADOB

图2

VAB是半圆的直径，

AZACB=90°.

VAB=8,ZCBA=30°,

・•・ZCAB=60。,AC=4,BC=45

VCD±AB,ZCBA=30°,

ACD=-BC=2J3.

2

根据“点到直线之间,垂线段最短”可得：

点D在线段AB上运动时,CD的最小值为2y/3.

VCE=CD=CF,

・・・EF=2CD.

・•・线段EF的最小值为4JL

・・.结论“线段EF的最小值为2石”错误.

③当AD=2时，连接OC,如图3所示.

VOA=OC,ZCAB=60°,

•••△OAC是等边三角形.

ACA=CO,ZAC0=60°.

VAO=4,AD=2,

AD0=2.

・・・AD=DO.

ZACD=ZOCD=30°.

・・,点E与点D关于AC对称，

ZECA=ZDCA.

二•NECA=30°.

JZEC0=90°.

：.OC±EF.

•・・EF经过半径OC的外端,且OC±EF,

JEF与半圆相切.

・••结论"EF与半圆相切''正确.

④当点F恰好落在5C

・・,点E与点D关于AC对称,

AED_LAC.

AZAGD=90。.

JZAGD=ZACB.

AED//BC.

JAFHC^AFDE.

.FH_FC

^~FD~~FE'

1

VFC=-EF,

2

1

.*.FH=-FD.

2

・・・FH=DH.

VDE//BC,

ZFHC=ZFDE=90°.

・・・BF=BD.

・•・ZFBH=ZDBH=30°.

・・・ZFBD=60°.

VAB是半圆的直径，

ZAFB=90°.

.,.ZFAB=30°.

1

・・・FB=-AB=4.

2

ADB=4.

二•AD=AB-DB=4.

・・・结论2口二2际”错误.

⑤如图所示：

•・,点D与点E关于AC对称，

点D与点F关于BC对称，

当点D从点A运动到点B时，

点E的运动路径AM与AB关于AC对称,

点F的运动路径NB与AB关于BC对称.

・・・EF扫过的图形就是图5中阴影部分.

S阴影=2S4ABC

1

=2x-AC*BC

2

=AC-BC

=4x473

=1673-

，EF扫过的面积为16^/3.

结论“EF扫过的面积为16出”正确.

所以①、③、⑤正确，共计3个.

故选C.

［点睛］圆的综合题,考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切

线的判定、轴对称的性质、含30。角的直角三角形、垂线段最短等知识,综合性较强.

二、填空题（每小题3分，共18分）

1L如图,。。是AABC的外接圆，若/OCB=40。,则NA=度.

［答案］50

［解析］

试题分析：由OB=OC,ZOCB=40。,根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得/BOC=100°,

又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，求得/A=50。.

考点：圆周角定理

点评：此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质.此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所

对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用.

12.如图，。。的弦AB=8,又是AB的中点，且0M=3,则。。的半径等于.

［答案］10.

［解析］

［分析］

连接OA,即可证得AOAM是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM,根据勾股定理求得OA的长即可.

［详解］连接OA,如图所示：

0

/B

：M是AB的中点，

L1

.,.OM±AB，且AM=-AB=4,

2

在直角AOAM中,OA=y）AM2+OM2=A/32+42=5-

故答案是：5.

［点睛］考查了垂径定理，以及勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OA是解题的关键.

13.已知正六边形的半径为2,那么这个正六边形的边长为.

［答案］2

［解析］

［分析］

根据题意画出图形，求出圆心角/AOB=60。,得到AOAB为等边三角形，即边长为2.

［详解］如图,AB为。。内接正六边形的一边；

则NAOB=啰-=60。,

6

VOA=OB,

AAOAB为等边三角形，

.".AB=OA=2.

故答案为2.

［点睛］考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用正多边形和圆的性质来分析、判断、

解答.

14.如图所示，过原点,且与两坐标轴分别交于点A,B两点,点A的坐标为（0,3）是第三象限内OB上

一点,N5"0=120。,求。C的半径.

［答案］3.

［解析］

［分析］

根据圆内接四边形的性质得到/BAO=60。,根据直角三角形的性质求出AB,计算即可.

［详解「••四边形ABMO是圆内接四边形，ZBMO=120°,

AZBA0=60°,

VAB是。C的直径，

ZAOB=90°,

ZAB0=90°-ZBA0=900-60°=30°,

:点A的坐标为(0,3),

AOA=3,

AB=2OA=6,

AR

.,.OC的半径长=——二3

2

［点睛］本题考查的是圆内接四边形的性质、坐标与图形性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

15.如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络,正六变形的顶点称为格点.已知每个正

六边形的边长为1CABC的顶点都在格点上,则BC的面积是.

［答案］2君

［解析］

［分析］

延长AB,过点C与格点所在的直线，一定交于格点E,根据SAABC=SAAEC-SABEC即可求解.

［详解］延长AB,然后作出过点C与格点所在的直线,一定交于格点E,如图所示：

正六边形的边长为1,则半径是1,则CE=4.

中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是：2有，则ABCE的边EC上的高是：|A/3,

△ACE边EC上的高是：-A/3,

贝USAABC=SAAEC-SABEC--x4x(-V3--)-2A/3.

222

故答案是：2jL

［点睛］考查了正多边形的计算，解题关键是正确理解、运用SAABC=SAAEC-SABEC.

16.如图，。。的半径为2君,。4,。8是。。的半径，尸是上任意一点,于E,PF，08

于F,则EF的最大值为.

［答案］2月

［解析］

［分析］

延长PE、PF分别交圆于G、H,根据垂径定理得到PE=EG,PF=FH,得到EF=-GH,根据圆的最长的弦是直径

2

解答即可.

［详解］延长PE、PF分别交圆于G、H,如图所示:

VPEXOA,PFXOB,

.\PE=EG,PF=FH

.•.EF是APGH的中位线

1

.\EF=-GH

2

：GH是。0的弦

GH的最大值为2OA=273x2=473,

EF的最大值为|x473=273.

故答案为2班.

［点睛］考查的是垂径定理、三角形中位线定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条

弧是解题的关键.

三、解答题（共8题，共72分）

17.如图,AB是。0的弦（非直径），C、D是AB上的两点，并且AC=BD.求证：OC=0D.

［答案］见解析

［解析］

［详解］证法一：分别连接OA、OB.

VOB=0A

；.NA=/B.

又：AC=BD,

AAOC^ABOD,

；.OC=OD,

证法二：

过点。作OELAB于E,

.*.AE=BE.

VAC=BD,

.\CE=ED,

AOCE^AODE,

.".OC=0D.

［点睛］本题考查了全等三角形,此类试题属于难度较小的试题,此类试题的解答点就在于根据自己的意向中

进一步选择更好的做答方式

18.如图，直线AB经过。。上的一点C,并且。4=。2,。4=。2,求证：直线AB是。。的切线.

o

［答案］见解析

［解析］

［分析］

连接OC,如图，由于OA=OB,CA=CB,根据等腰三角形的性质得到OC，AB,然后根据切线的判定定理

即可得到直线AB是。。的切线.

［详解］证明：连接0C,

VOA=OB,CA=CB,

/.△OAB是等腰三角形，

又OC是底边AB上的中线，

：.OC±AB,

AAB是。O的切线.

［点睛］考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线，已

知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直.

19.如图,在AABC中，NC=90。,NA，/B的平分线交于点D,DELBC于点E,DFLAC于点F.

⑴求证：四边形CfDE是正方形；（2）若4。=3乃。=4,求443（7的内切圆半径.

［答案］⑴见解析；⑵1

［解析］

［分析］

（1）过。作。交AB于G点，由角平分线性质得出DF=DG,同理可得。G,妫£>匕

再由4C=4CFD=ZCED=90。可得四边形CFDE是正方形；

(2)先计算AB的长，由

求得CE=1,AA8C的内切圆半径为1.

［详解］过。作QGLA8交A8于G点，如图所示：

G

,：AD是N8AC的角平分线，

:.DF=DG,同理可证。E=£>G

：.DE=DF,

,:/C=NCFD=NCED=90。，

四边形CBDE是正方形；

(2)VAC=3,8C=4,

AAB=5,由⑴知AF=AG,BE=BG,

：.AF+BE=AB,

:四边CfDE正方形，

：.2CE^AC+CB—AB=2,即CE=1,AABC的内切圆半径为1.

［点睛］考查了正方形的判定和直角三角形的内切圆半径求法,利用切线长定理求出内切圆半径是解题关

键.

20.如图所示，正方形网格中，AABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上).

(1)把AABC沿BA方向平移后，点A移到点A1,在网格中画出平移后得到的△A内Ci；

(2)把4ARCi绕点A1按逆时针方向旋转90。,在网格中画出旋转后的△AiB2C2；

(3)如果网格中小正方形的边长为1,求点B经过(1)、(2)变换的路径总长.

［答案］（1）（2）作图见解析；（3）2近+受〃.

2

［解析］

［分析］

（1）利用平移性质画图，即对应点都移动相同的距离.

（2）利用旋转性质画图,对应点都旋转相同的角度.

（3）利用勾股定理和弧长公式求点B经过（1）、（2）变换的路径总长.

［详解］解：（1）如答图，连接AA1,然后从C点作AAi的平行线且AiCi=AC,同理找到点Bi,分别连接三

点，△AiBiCi即为所求.

（2）如答图,分别将AiB1,AiCi绕点A1按逆时针方向旋转90°,得到B2,C2,连接B2c2,△AiB2c2即为

所求.

（3）:BB［=9+2?=2立,耳与=「°J；。后=与兀,

.••点B所走的路径总长=2血+与兀.

考点：1.网格问题；2.作图（平移和旋转变换）；3.勾股定理；4.弧长的计算.

21.如图，平面直角坐标系中，。尸与x轴分别交于4,8两点，点尸的坐标为（3,-1）AB=2y/3.

⑴求。尸的半径长；

⑵将。P向下平移，求。尸与X轴相切时平移的距离.

［解析］

［分析］

（1）作PCLAB于点C,由垂径定理即可求得AC的长，根据勾股定理即可求得PA的长；

（2）根据直线与圆相切的性质即可求解.

［详解］（1）连接PA,作PCLAB于点C,由垂径定理得：

AC=；AB=gx26=也

在直角APAC中，由勾股定理得：PA2=PC2+AC2

PA2=M+（6）2=4

/.PA=2

OP的半径是2；

（2）将。P向下平移，当0P与x轴相切时，点P到x轴的距离等于半径.

.•.平移的距离是：2-1=1.

［点睛］考查了勾股定理和直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问

题是关键.

22.如图,CA,CO是。。的两条切线，切点分别为AQ,A8是。。的直径.

⑴若NC=50。,求/BAD的度数；

⑵若A8=AC=4,求A。的长.

［解析］

［分析］

(1)连接0D,根据四边形内角和定理求得/AOD,从而得出NBOD的度数，根据/BAD=工N3OD得

2

出所求；

(2)先根据SAS证明AACM0ADCM得出/CMA=NCMD=90°,再根据AAS证明AACM之Z\BAD,

得出AM=DM=BD,设则AD=2x,在△A3。中，x?+(2x)2=42,解方程从而得到AD的长度.

［详解］(1)如图所示,连接OD,

•：CA,CD是。。的两条切线，

ZOAC=ODC=90。，

又•；NC=50°,

二四边形OACD中，NAOD=(360-90-90-50)°=130°,

ZBOD=50°,

・・・ZBAD=-ZBOD=25°；

2

(2)・・・CA,C。是。O的两条切线，

AAC=DC,NACO=NDCO,

在AACM和ADCM中

AC=DC

<ZACO=ZDCO

CM=CM

：.AACM^ADCM（SAS）

，ZCMA=/CMD,AM=DM

...ZCMA=ZCMD=90°,

•：AB是。。的直径

ZADB=/CMA,

VZBAD+ZMAC=90°,ZBAD+ZDBA=90°

NDBA=NMAC

在AACM和中

"/DBA=ZMAC

<ZBDA=CMA

AC=AB

：.AACM^ABAD,

ABD=AM

又：AM=DM

；.AM=DM=BD

222

设2£>=尤,则4。=2元,在442£）中，x+（2x）=4,

.4出

..x=------,

5

［点睛］考查了切线的性质及其应用，结合勾股定理的应用和全等三角形的判定与性质,解题关键是灵活运用

有关定理来解题.

23.已知点A是。。上一点,P是。。外一点,AP的垂直平分线与。。相切于点C,交AP于B点.

4P

（1）如图1,若山是。。的切线,求——的值；

OP

⑵如图2,若必与。。相交,。1=4,OP=10,求AP的长.

竽;⑵21

［答案］⑴

2

［解析］

［分析］

(1)连接OA、0C,先证明四边形OABC是正方形，从而得出OA=AB=BP,设OA=x，则AP=2x,在

RSOAP中0P=［oN+A。？=6〃，再求其比值;

(2)作OELAP于瓦连0C,先证明四边形OABC是正方形，从而得出OE=EB=OA,设

则AE=AB—8E=x—4,根据0A2一人£2=0序=。尸2—2序列出方程,解方程,从而求出AP的长.

［详解］(1)连接OA、OC,如图所示:

:若必是。。的切线小尸的垂直平分线与。。相切于点C

B=ZABC=ZOCB=90",AB=PB,

.••四边形OABC是矩形，

又,.•OA=OC,

四边形OABC是正方形，

AOA=AB,

.*.OA=AB=BP

2

设OA=x，则AP=2x,在R3OAP中OP=+AP=45x^

,AP_2x_2A/5

,•而一后一亏；

(2)作OE_LAP于E,连。C,

.若唐是。。的切线,AP的垂直平分线与。。相切于点C

/OEB=/EBC=NOCB=90°,AB=PB,

四边形OEBC是矩形，

又；OE=OC,

.,•四边形OEBC是正方形，

.".OE=EB,

；.OE=EB=0A,

设A8=BP=x,

则-BE=x-4,VOA2-AE2=OE2^OP2~PE2,

.'.42~（x-4）2=102-（x+4）2,

21

.,.尤=—,

4

21

.".AP—2x——.

2

［点睛］考查了切线的性质及其应用,解题关键是得出AP与圆的半径间的关系,再通过设未知数,根据勾股定

理列出方程,解方程,从而得到问题的解.

24.如图，抛物线＞=（x+机）2+机与直线y=x相交于E