第16讲 三角恒等变换及其拓展（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）（含答案解析）

第16讲三角恒等变换及其拓展【人教A版2019】模块一模块一两角和与差的三角函数公式1．两角差的余弦公式对于任意角，有.

此公式给出了任意角,的正弦、余弦与其差角-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.

公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.2．两角和的余弦公式(1)公式的结构特征(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧

两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.

①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”.3．两角和与差的正弦公式(1)两角和与差的正弦公式的结构特征(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧

两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.

①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“-”.4．两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式的结构特征符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.5．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.【题型1利用和（差）角公式化简、求值】【例1.1】（24-25高三上·湖北·期中）已知cosα+β=12，cosαA．−2 B．2 C．−12 【解题思路】根据给定条件，利用和角的余弦公式求出sinαsinβ即可得解.【解答过程】由cosα+β=因此sinαsinβ=−故选：C.【例1.2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设θ是锐角，cosθ+π4=cosA．2+1 B．2+12 C．2【解题思路】利用两角和与差的余弦公式，结合齐次式弦化切可得tanθ=【解答过程】因为cosθ+π4所以tanθ=故tan2θ+2tan解得tanθ=故选：C.【变式1.1】（2024·北京·模拟预测）已知sin(α+β)=13，tanαtanA．−13 B．−19 C．【解题思路】根据两角和与差的正弦公式以及同角三角函数的关系求解即可.【解答过程】∵tanαtanβ∴sinαcosα∵sin(α+β)=∴2cosαsin∴sinα∴sin(α−β)=故选：D.【变式1.2】（2024·广东广州·模拟预测）已知α为第一象限角，β为第四象限角，tanα−tanβ=3，tanαtanA．1010 B．−1010 C．31010 D．【解答过程】因为tanα−tanβ=3所以tanα−β=tan又α是第一象限角，β为第四象限角，故2mπ因此2m−2nπ因此sinα−β>0，由于则sin2α−β=1−故选：C.【题型2两角和与差的三角函数公式的逆用】【例2.1】（23-24高一下·北京东城·期末）cos30°cos15°−A．12 B．22 C．3【解题思路】逆用和、差角的余弦公式化简、求值.【解答过程】cos故选：B.【例2.2】（2024·广东广州·模拟预测）已知sinα+cosβ=12A．6772 B．−6772 C．59【解题思路】将已知两式平方相加，即可求出sinα【解答过程】将sinα+cosβ=将cosα−sinβ=①＋②得2+2sin所以sinα即sin(α−β)=−故选：D.【变式2.1】（23-24高一下·湖北黄冈·期中）tan3π4A．3 B．−3 C．−33【解题思路】根据题意利用诱导公式结合两角和差公式运算求解.【解答过程】由题意可得tan=tan所以tan3故选：A.【变式2.2】（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知3tanα+β−A．33 B．3 C．−33【解题思路】先证明cosα≠0，再逆向使用正切差公式和余弦差公式推出tan【解答过程】假设cosα=0，则α=则0=tan矛盾，所以cosα≠0由已知有cosα故cos2α=3sinαcosα+β故选：A.模块模块二二倍角公式1．二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式函数公式β=α简记符号正弦sin2α=2sinαcosαS(α+β)S2α余弦cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αC(α+β)C2α正切T(α+β)T2α2．二倍角公式的变形应用(1)倍角公式的逆用

①：，，.

②：.

③：.

(2)配方变形

.

(3)因式分解变形

.

(4)升幂公式

；.【题型3二倍角公式】【例3.1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知tanα=2，则1+cos2αA．3 B．13 C．2 D．【解题思路】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解.【解答过程】1+cos故选：D.【例3.2】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知sinα+cosα=13A．−23 B．19 C．8【解题思路】由sinα+cosα=【解答过程】因为sinα+cosα=13所以2cos故选：D.【变式3.1】（23-24高一·上海·课堂例题）利用二倍角公式，求下列各式的值：(1)sin5(2)cos2(3)tan15°【解题思路】（1）（2）（3）直接利用三角函数的二倍角公式求出结果．【解答过程】（1）sin5（2）cos2（3）tan15°【变式3.2】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知tanα=17，tanβ=1(1)求sin2α(2)求α+2β的值.【解题思路】（1）利用二倍角公式和同角三角函数的关系，化简可得结论.（2）利用二倍角公式得tan2β=34【解答过程】（1）由tanα=17（2）由tanβ=13，得tan因此tan(α+2β)=又α，β为锐角，且tanα=17因此0<α+2β<3所以α+2β的值是π4模块模块三三角恒等变换思想1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式(1)角的代换代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出.

常用的角的代换形式：①=(+)-；

②=-(-)；

③=[(+)+(-)]；

④=[(+)-(-)]；

⑤=(-)-(-)；

⑥-=(-)+(-).(2)常值代换

用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换.(3)辅助角公式通过应用公式[或将形如(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数[或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.【题型4辅助角公式】【例4.1】（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）若锐角α满足sinα−cosα=55A．45 B．C．−35或35 D．【解题思路】首先根据利用辅助角公式得到sinα−π4=10【解答过程】sinα−cosα=因为α∈0,π2，sin2α+π2=−2×10故选：B.【例4.2】（23-24高三上·河南·期中）已知函数f(x)=asinx+cosx+π6的图象关于直线A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解题思路】先根据辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数的对称性建立等式，进而可以求解．【解答过程】函数f(x)=asin=a−12因为函数图象关于直线x=π3对称，则θ+π解得θ=kπ+π则tanθ=32a−1故选：B．【变式4.1】（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知f(x)=2cos(1)求函数y=fx(2)若x∈[0,π2]【解题思路】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数y=fx（2）先由x∈[0,π2]【解答过程】（1）f(x)=2cos2x+由π2+2kπ即函数y=fx的单调递减区间为[（2）当x∈[0,π2]，(2x+故函数y=fx的值域为[0,3]【变式4.2】（23-24高一下·广东茂名·期中）已知函数f(x)=3sin2x+cos(2)当x∈−π6,π【解题思路】（1）利用辅助角公式先化简函数式，再利用三角函数的性质求单调区间即可；（2）结合（1）的结论，利用整体代换思想及三角函数的图象与性质计算最值即可.【解答过程】（1）f(x)==2sin令−π2+2k得−π3+k所以f(x)的单调递增区间为−π3+k（2）因为x∈−π6所以当2x+π6=−有f(x)当2x+π6=有f(x)【题型5给值求值型问题】【例5.1】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知角α,β满足cosβ=13,cosA．13 B．14 C．16【解题思路】关键利用拆角求解，即β=α+β−α，【解答过程】由cosβ=结合cosαcosα+β所以有cos2α+β故选：C.【例5.2】（24-25高三上·四川绵阳·开学考试）已知sin4θ2−cos4θ2=35,θ∈0,π，则1+【解题思路】先由平方差公式化简已知条件并结合二倍角的余弦公式得cosθ，进而得sin【解答过程】因为sin4所以sin2所以sin2θ2所以由θ∈0,π得所以1+sin故选：A.【变式5.1】（23-24高一下·广东广州·期中）已知α∈0,π，(1)求sinα−(2)已知β∈0,π2，cos【解题思路】（1）利用两角差的正弦公式，即可求解；（2）利用角的变换，以及二倍角余弦公式，即可求解.【解答过程】（1）因为cosα=55，且α∈所以sinα−（2）由cosα=55，且α∈又因为β∈0,π2因为cosα+β=−4cosβ==−4cos2β=2【变式5.2】（23-24高一下·山东德州·阶段练习）已知0<α<π2，sinα=4(2)求cos2α+(3)若0<β<π2且cosα+β【解题思路】（1）由0<α<π2，sinα=45（2）先利用两角和的余弦公式展开，再利用二倍角公式求解；（3）先由已知条件求出sinα+β=2【解答过程】（1）因为0<α<π2，sinα=所以tanα（2）由（1）可知：cos2α=1−2所以cos2α+=2（3）因为0<α<π2，0<β<π2，且可得sinα+β所以sinβ=【题型6给值求角型问题】【例6.1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知α,β∈0,π4，cos2α−sin2A．π12 B．π6 C．π4【解题思路】利用同角三角函数关系可得tanα=32，利用两角和与差的正弦公式化简3【解答过程】因为cos2α−sin因为α∈0,π4，所以cosα=27，sinα=3即3sin(α+β)cos所以sin(α+β)cosα=2又0<α+β<π2，所以故选：D.【例6.2】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知α，β∈(0,π)，且cosα=55，sinA．−π4 B．3π4 C．−π4或【解题思路】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小α与α+β的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角公式求得2α,α+β的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解.【解答过程】因为cosα=55<所以sincos2α=1−2sin2因为β∈(0,π)，所以又0<sin(α+β)=2所以cos故sin=45×−72则α−β=−π故选：A.【变式6.1】（23-24高一上·天津南开·期末）已知sinα=4(1)求tan2α的值；(2)求β【解题思路】（1）由同角三角函数的基本关系式求出tanα（2）先求cosα+β，再由cosβ=cos【解答过程】（1）由sinα=得cos所以tanα=于是tan（2）因为sin所以cos所以cos=cosα+βcos所以β∈0,π2【变式6.2】（23-24高一下·江苏南通·期中）已知tanα+π4=−3，cosβ=−(1)sin2α(2)2α−β的值．【解题思路】（1）先利用两角和的正切公式求出tanα（2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出cos2α，再利用两角差的正弦公式求出2α−β的正弦值，并求出2α−β【解答过程】（1）由tanα+解得tanα=2所以sin2α=（2）cos2α=cos2α−sin2αsin所以sin=4因为α∈(0,π)，所以α∈π4,又β∈(0,π)，所以β∈π2,所以2α−β∈−所以2α−β=−π【题型7三角恒等式的证明】【例7.1】（23-24高一下·全国·课后作业）求证：(1)sinα+1(2)tan3x【解题思路】（1）利用二倍角正余弦公式进行弦化切即可；（2）利用两角和与差的正弦公式和积化和差公式即可证明.【解答过程】（1）∵左边==2tan∴原等式成立.（2）∵左边==sin∴原等式成立.【例7.2】（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式：(1)sinα+(2)cos4(3)sin3α=3【解题思路】（1）通过展开左侧的表达式，利用同角三角函数基本关系式以及二倍角公式证明即可．（2）利用平方差公式以及同角三角函数基本关系式证明即可．（3）利用两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答过程】（1）(=sin2α+2（2）cos=(sin2α+（3）sin=2sinαcos【变式7.1】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明下列三角恒等式：(1)sinx(2)1+sin【解题思路】（1）利用正切差角公式及同角三角函数关系进行化简，得到答案；（2）利用二倍角公式，化弦为切，证明出结论.【解答过程】（1）∵tanx−∴1+tan=sin∴sinx（2）1+=sinα【变式7.2】（23-24高一·全国·随堂练习）求证：(1)tanα+β(2)sinθ(3)sin4(4)tanπ【解题思路】（1）左边直接使用和差公式化简，右边用二倍角公式展开，然后化简可证；（2）对左边先用余弦二倍角公式，然后再使用正弦二倍角公式化简即可证明；（3）对左边配方后，使用平方关系式和正弦二倍角公式化简即可得证；（4）对左边使用和差公式展开，然后通分化简，再由正切二倍角公式可证.【解答过程】（1）因为左边=tan右边=2所以左边=右边，原等式成立.（2）因为左边=2sin所以，原等式成立.（3）因为左边=sin所以，原等式成立.（4）因为左边=1+所以，原等式成立.【题型8三角综合问题】【例8.1】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数fx=asin(1)求a的值和fx(2)求fx在0,【解题思路】（1）利用二倍角公式整理函数的表达式为fx=a−12sin2x+3（2）由（1）知fx=sin2x+π3，当【解答过程】（1）f=a−1因为fπ4=12所以fx=12sin（2）当x∈0,π时，当2x+π3=π2当2x+π3=3π2所以fx的最小值为−1【例8.2】（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知函数fx=sin(1)求m的值；(2)求fx在0,(3)若fx02=11【解题思路】（1）根据题意，化简得到fx=2sin(2x−π（2）由x∈0,π，可得（3）由fx02=115，求得【解答过程】（1）解：由函数fx=sin因为函数fx的最小值为−1，可得−2+m=−1，解得m=1（2）解：由（1）知：fx因为x∈0,π，可得令−π6≤2x−π6≤π所以函数fx在0,π上的单调递增区间为（3）解：由（1）知，fx因为fx02=11又因为x0∈−因为sin(x0−π则cos2x0【变式8.1】（23-24高一下·云南曲靖·期中）已知函数fx=3(1)求fx的解析式，并求f(2)将fx图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π6个单位，最后将整个函数图象向上平移32个单位后得到函数gx的图象，若π6【解题思路】（1）化简函数解析式，根据复合函数单调性的判断方法求出单调递减区间即可；（2）根据题意，分离参数即可求解.【解答过程】（1）有题意知fx=3由T=2π2ω所以fx由2kπ+π2kπ+2π3≤4x≤2k所以单调递减区间为kπ2（2）依题意得gx因为gx−m当x∈π6,所以只需gx−2max当x∈π6,所以gxmax从而gx−2max=0，故m的取值范围是0,2．【变式8.2】（24-25高三上·重庆·期中）已知f(x)=(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若函数y=|f(x)|−m在区间−5π24,①求m的取值范围；②求x1【解题思路】（1）根据降幂公式，二倍角的正弦公式，辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦函数单调性进行求解即可；（2）①利用换元法，结合数形结合思想进行求解即可；②根据正弦函数的性质进行求解即可.【解答过程】（1）f(x)==1−cos2x+π结合正弦函数的图象与性质可得：当−π即−3所以函数f(x)的单调递增区间为−3（2）①令t=2x+π4，当x∈−5π所以y=1

所以要使y=|f(x)|−m在区间−5π24,3π8②设t1,t2是函数由正弦函数图象性质可知t1+t所以x1一、单选题1．（2024·浙江杭州·一模）已知1sin10∘−λA．1 B．2 C．3 D．2【解题思路】根据λ=1【解答过程】由1sin10∘−λcos102．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知cosα+β=13，A．23 B．19 C．−1【解题思路】根据余弦和角公式和cosαcosβ=12【解答过程】∵cosα+β∴sin∴cos∴cos故选：C.3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知sin(α−β)=2cos(α+β),tan(α−β)=A．47 B．74 C．76【解题思路】由两角差的正弦公式、两角和的余弦公式，结合同角的三角函数关系式中的商关系、两角差的正切公式进行求解即可.【解答过程】由sin⇒sinαcos于是有tanα−故选：D.4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若3cosα+10cosβ=85A．−54 B．54 C．−【解题思路】已知两式平方相加，再由两角和的余弦公式变形可得．【解答过程】因为3cosα+10cosβ=85，即所以9cos29sin2两式相加得9+610所以cos(α+β)=−故选：C．5．（2024·四川绵阳·一模）已知θ为第一象限角，且tanθ+π3+tanA．9 B．3 C．13 D．【解题思路】根据两角和的正切公式结合已知条件可求出tanθ=【解答过程】由题意知θ为第一象限角，且tanθ+故tanθ+tanπ31−则1−cos故选：B.6．（23-24高一下·江西吉安·期末）在△ABC中，若sinAsinB=121+A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形【解题思路】根据两角和与差的余弦公式可得sinA【解答过程】因为coscosA−B=cosA因为sin则−12cos所以cosC=−所以−所以cosA−B又A,B为△ABC的内角，所以A−B=0.所以A=B，故△ABC为等腰三角形.故选：C.7．（23-24高三上·四川广安·阶段练习）在△ABC中，下列等式错误的是（

）A．sinB．sinC．tanD．sin【解题思路】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断.【解答过程】对于选项A：由平方差公式可知sin2对于选项B：sin=cos2A−对于选项C：因为tanA+B即tanA+所以tanA+对于选项D：因为A2+所以sinA故选：D.8．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数fx=sinωx+cosωxω>0的图象的一条对称轴是x=2π，且fx在0,π2上恰有两零点，则ω的最大值是（

）【解题思路】从函数fx在0,π2上恰有两个零点可得出72≤ω<112，又函数f【解答过程】解：由题意可得，函数fx由于x∈0,π2又由fx在0,π2上恰有两个零点，所以2又因为函数fx图象的一条对称轴是x=2所以2ωπ+π4=k又ω>0且72≤ω<112，所以当故选：B．二、多选题9．（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知cosαcosβ=A．tanαtanβ=C．cosα−β=3【解题思路】根据同角三角函数关系式计算可判断A；根据余弦两角和差的公式计算可判断B，C；根据二倍角公式结合和差公式可判断D.【解答过程】因为cosαcosβ=cosα+βcosα−βcos2α−2β故选：AC．10．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知tanα=2tanβA．若tanα=tanB．若sinαcosβ=25，则cos2α+2β=7D．∃α，β∈0,π【解题思路】利用二倍角公式与和差角的三角函数公式化简、分析、计算即可一一判断.【解答过程】∵tanα=2tan对于A，若tanα=tan2β=化简得tanβ(1−11−对于B，因sinαcosβ=∴sin∴cos对于C，若α，β∈0,π2则tanα−β当且仅当2tanβ=1对于D，∵tanα=2tanβ，假设∴2tanβ1−tan2β即tanβ=0故选：ABC.11．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）设函数fx=cosA．fx的一个周期为B．y=fx的图象关于x=C．fx在0,D．fx在区间0,2024【解题思路】借助辅助角公式可得fx=2cos2x+对A：T=2π2=π对B：当x=π3时，2x+π3=故y=fx的图象关于x=对C：当x∈0,π2时，2x+π3故fx在0,对D：令2x+π3=k则有kπ2+π12∈0,2024即k可取4048个数，即fx在区间0,2024故选：ABD.三、填空题12．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知α为锐角且sinα+π4=2cos2α【解题思路】根据和差角公式以及二倍角公式化简可得24【解答过程】由sinα+π4由于α为锐角，所以sinα+cosα>0进而可得24故sinα−故答案为：−113．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知0<α<β<π2，且sinα+β+cosα+β【解题思路】根据给定条件，利用同角公式求出cos(α+β)，再利用和差角的余弦公式求出cos【解答过程】由0<α<β<π2，得0<α+β<π由sinα