专题06 平面向量和复数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）

专题06平面向量和复数目录TOC\o"1-2"\h\u明晰学考要求 1基础知识梳理 2点精讲讲练 7考点一：平面向量的概念 7考点二：平面向量的运算 8考点三：平面向量基本定理 10考点四：平面向量坐标运算 11考点五：平面向量数量积 12考点六：余弦定理 14考点七：正弦定理 16考点八：余弦定理、正弦定理综合应用 17考点九：复数的概念及四则运算 18实战能力训练 20明晰学考要求1、理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；2、理解平面向量的几何表示和基本要素；3、掌握平面向量加、减运算规则，理解其几何意义；4、了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；5、理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积；6、了解平面向量投影的概念和意义；7、会用数量积判断两个向量的垂直关系；8、理解平面向量基本定理及其意义；9、掌握平面向量的正交分解及坐标表示；10、会用坐标表示平面向量加、减运算，数乘运算；11、能用坐标表示平面向量的数量积，并求两个向量的夹角；12、能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件；13、掌握余弦定理、正弦定理，并能解决简单的实际问题；14、理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义；15、掌握复数代数表示的四则运算，了解复数加法、减法运算的几何意义。基础知识梳理1、向量的有关概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量表示方法：向量或；模或.（2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作.（3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示.特别的：非零向量的单位向量是.（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为；特别的：与任一向量平行或共线.（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作.（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作.2、向量的线性运算（1）向量的加法①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.（2）向量的减法①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量）已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.（3）向量的数乘向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下：①②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，.3、共线向量定理①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，.②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一．4、向量的夹角已知两个非零向量和，如图所示，作，，则()叫做向量与的夹角，记作．(2)范围：夹角的范围是．当时，两向量，共线且同向；当时，两向量，相互垂直，记作；当时，两向量，共线但反向．5、数量积的定义：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.6、平面向量的基本定理（1）定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.（2）基底：不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.（1）不共线的两个向量可作为一组基底，即不能作为基底；（2）基底一旦确定，分解方式唯一；（3）用基底两种表示，即，则，进而求参数.7、平面向量的坐标运算（1）向量加减：若，则；（2）数乘向量：若，则；（3）任一向量：设，则.8、平面向量共线的坐标表示若，则的充要条件为9、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量，为向量和的夹角：（1）数量积（2）模：（3）夹角：（4）非零向量的充要条件：10、正弦定理（1）正弦定理的描述①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.②符号语言：在中，若角、及所对边的边长分别为，及，则有（2）正弦定理的推广及常用变形公式在中，若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则①②；；；③④⑤，，（可实现边到角的转化）⑥，，（可实现角到边的转化）11、余弦定理（1）余弦定理的描述①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：；（2）余弦定理的推论；；12、三角形常用面积公式①；②；③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).13、复数的概念我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集.复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部.14、复数相等在复数集中任取两个数，，（），我们规定.15、复数的分类对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下:16、复数的几何意义（1）复数的几何意义——与点对应复数的几何意义1：复数复平面内的点（2）复数的几何意义——与向量对应复数的几何意义2：复数平面向量17、复数的模向量的模叫做复数)的模，记为或公式：，其中复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).18、共轭复数（1）定义一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.（2）表示方法表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则.19、复数的四则运算（1）复数的加法法则设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：（2）复数的减法法则类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作（3）复数的乘法法则我们规定，复数乘法法则如下：设,是任意两个复数，那么它们的乘积为，即（4）复数的除法法则（）点精讲讲练考点一：平面向量的概念【典型例题】例题1．（2023广西）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（

）A． B． C． D．例题2．（2023黑龙江）下列量中是向量的为（

）A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离例题3．（2023北京）如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的是（

）A． B． C． D．【即时演练】1．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（

）A． B． C． D．2．如图，在圆中，向量，，是（

）

A．有相同起点的向量 B．相反向量C．模相等的向量 D．相等向量3．（多选）下列说法正确的是（

）A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0C．相等向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小考点二：平面向量的运算【典型例题】例题1．（2022河北）已知向量，满足，，，则（

）A． B． C．3 D．2例题2．（2024湖北）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（

）A． B．C． D．例题3．（2024安徽）已知向量与的夹角为，则向量与上的投影向量为（

）A． B． C． D．例题4．（2024北京）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则；.

【即时演练】1．已知向量，满足，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．2．（

）A． B．C． D．3．在中，，则（

）A． B．C． D．4．已知平面向量，满足且向量，的夹角为则在方向上的投影数量为.考点三：平面向量基本定理【典型例题】例题1．（2020河北）在中，点是边上一点，若，则实数（

）A． B． C． D．例题2．（2023湖北）如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，且，则实数（

）

A． B．2 C． D．3例题3．（2022浙江）在中，设，，，其中.若和的重心重合，则（

）A． B．1 C． D．2例题4．（2022安徽）在中，点D在边BC上，且，若，则.【即时演练】1．在平行四边形ABCD中，，，则（

）A． B．C． D．2．已知在中，M是线段BC上异于端点的任意一点．若向量，则的最小值为（

）A．6 B．12 C．18 D．243．在中，点是边上一点，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．74．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点、，若，，则.

考点四：平面向量坐标运算【典型例题】例题1．（2024福建）已知，若，则的值为（

）A．−2 B． C． D．例题2．（2024湖北）已知向量，则（

）A． B． C． D．例题3．（多选）（2024湖北）已知向量，则（

）A． B． C． D．例题4．（2024新疆）已知向量.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值.【即时演练】1．已知向量，，，若与平行，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．32．已知向量，．若，则．3．已知向量，．若，则．4．已知向量．(1)求向量的坐标；(2)求+向量的模．考点五：平面向量数量积【典型例题】例题1．（2022河北）已知向量，则（

）A．2 B． C．10 D．例题2．（2024浙江）已知的边长均为1，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题3．（2024湖南）如图，已知点A−2,0，，点C是y轴上的动点，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8例题4．（2020山东）若向量满足与的夹角为，则（

）A． B． C． D．2例题5．（2024天津）已知向量，，．(1)若，求的值；(2)若，求的值．【即时演练】1．已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（

）A．3 B．4 C． D．2．已知向量，且，则（

）A．1 B．2 C． D．03．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为．4．已知，，，若，则实数．5．已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为．考点六：余弦定理【典型例题】例题1．（2024北京）在中，，则（

）A． B． C． D．3例题2．（2024云南）在中，内角的对边分别是.若，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023吉林）在中，分别为三个内角所对的边，且，，，则的面积为．例题4．（2024安徽）已知.(1)求的最小正周期及单调增区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△ABC的外接圆半径为2，求△ABC面积的最大值.例题5．（2024福建）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求证：为等腰三角形；(2)若，求的面积．【即时演练】1．在△ABC中，若，，，则边上的高为（

）A．1 B． C． D．22．在中，角的对边分别为.已知，则（

）A．1 B．2 C．1或2 D．或3．在中，，，，则边（

）A． B． C． D．4．已知的三个角的对边分别为，(1)已知，求边上中线长.(2)请用表示边的中线长，并写出推导过程.5．锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求；(2)若，，求的面积.考点七：正弦定理【典型例题】例题1．（2022河北）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．例题2．（2021新疆）在中，已知，，，则（

）A． B． C． D．例题3．（2024江苏）在中，且均为整数，D为AC中点，则的值为（

）A． B． C． D．1例题4．（2024云南）在中，内角的对边分别是，若，则（

）A．6 B．4 C．3 D．2【即时演练】1．在中，已知，，，则角的值为（

）A．或 B． C． D．或2．中，，，，则．3．在中内角所对的边分别为，且，，，则．4．在中，角的对边分别为，已知．(1)求角C的大小；(2)求的值．考点八：余弦定理、正弦定理综合应用【典型例题】例题1．（2024安徽）在中，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C． D．若≥，则例题2．（2024湖北）的内角的对边分别为，面积为.已知，再从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求的周长.①；②.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.例题3．（2024浙江）已知为锐角三角形，角对应的边分别为，且(1)求A的值；(2)若，求的取值范围．【即时演练】1．在中，角，，所对的边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的周长.2．在△ABC中，角C为锐角且满足．(1)求；(2)若，且的周长为，求的面积．3．在中，，.(1)求A的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：AC边上的高；条件②：；条件③：.考点九：复数的概念及四则运算【典型例题】1．（2024北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2024湖北）欧拉恒等式（其中为虚数单位，为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式的特例，即当时，，得.根据欧拉公式，表示的复数是（

）A． B．C． D．3．（2024浙江）（

）A． B． C．0 D．24．（2024福建）已知是实数，且，则x+y=5．（2022安徽）．【即时演练】1．若复数z满足，则（）A． B． C． D．2．若，则（

）A． B． C． D．3．若为虚数单位，则.4．若复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数的值为5．在复平面内，复数对应的点位于第象限.实战能力训练一、单选题1．已知复数z满足，则（

）A． B． C．0 D．22．若复数z满足，则（

）A． B． C． D．3．在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（

）A． B． C． D．4