第05讲 函数的三要素（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）

第05讲函数的三要素【人教A版2019】模块一模块一定义域问题1．函数的概念(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA.(2)函数的四个特征：①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.2．函数的三要素(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．3．抽象函数的定义域(1)抽象函数小括号内整体取值范围一致；(2)定义域是指自变量x的取值范围.4．求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.5．求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.【题型1具体函数的定义域的求解】【例1.1】（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数fx=x+1A．23,+∞C．23,1∪【例1.2】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数f(x)=1kA．(0,4) B．[0,4) C．[0,4] D．(0,4]【变式1.1】（23-24高一下·广东汕头·期中）函数f(x)=3x−2+1A．{x|x>23且x≠2} B．{x|x<2C．x|23≤x≤2 D．{x|x≥【变式1.2】（23-24高一上·重庆·期末）函数fx=−A．−1,4 B．−1,0C．−4,1 D．−4,0∪0,1【题型2【例2.1】（23-24高一上·河南·阶段练习）若函数fx的定义域是1,4，则函数fx−3的定义域是（A．4,5 B．1,16 C．1,4 D．−2,1【例2.2】（23-24高一上·浙江·期末）若函数y=fx的定义域为0，4，则函数y=A．−12,1∪1,32 B．【变式2.1】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）若函数f2x−1的定义域为−3,1，则y=f3−4xA．1 B．1,32 C．32【变式2.2】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知函数fx+1的定义域为[1,7]，则函数ℎx=f(2x)+A．[4,16] B．(−∞,1]∪[3,+∞) C．【题型3复合函数的定义域的求解】【例3.1】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若函数f2x−1的定义域为−1,1，则函数y=fx−1A．−1,2 B．0,2 C．−1,2 D．1,2【例3.2】（23-24高一上·河北邢台·期末）已知函数fx=11x−2，则函数A．2,11 B．2,13 C．2,15 D．4,11【变式3.1】（23-24高一上·河南信阳·阶段练习）已知函数fx+1x−1的定义域为(−2,0)，则f(2x−1)的定义域为（A．(−12,12) B．(−5,−1)【变式3.2】（23-24高三上·全国·阶段练习）若函数fx的定义域为1,3，则函数gx=A．1,2 B．1,5 C．1,2 D．1,5模块二值域问题模块二值域问题1．复合函数的值域求复合函数的值域是由内向外逐层求解，先看整个函数的定义域，再依次从内层开始求每层的值域，每一个内层的值域都对应它外面一层的定义域，这样一层层处理就可以得到整个函数的值域.2．求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)配方法；(3)不等式法；(4)单调性法；(5)换元法；(6)数形结合法.【题型4复杂函数求值域问题】【例4.1】（23-24高一下·吉林·阶段练习）函数fx=x+1−4xA．14,+∞ B．54,+∞ C．【例4.2】（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数y=1−x+x2A．13,3 B．13,1∪(1,3] 【变式4.1】（23-24高三·全国·对口高考）已知函数f(x)的定义域为[1,9]，且当1≤x≤9时，f(x)=x+2，则y=[f(x)]2+f(A．[1,3] B．[1,9] C．[12,36] D．[12,204]【变式4.2】（23-24高一上·广东梅州·阶段练习）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数．例如：π=3，−5,1=−6，已知函数fx=A．−1,1 B．−1,0 C．1,0 D．−1,0,1【题型5已知值域求参数问题】【例5.1】（23-24高一上·湖北黄石·期中）若函数y=ax2+4x+1的值域为0,+∞A．0,4 B．4,+∞ C．0,4 D．【例5.2】（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数fx=12x2−x+5在m,nA．4 B．5 C．8 D．10【变式5.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知函数fx=ax+bx2【变式5.2】（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数fx(1)若fx的定义域为R，求m(2)若fx的值域为0,+∞，求模块模块三解析式问题1．函数解析式的常见求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).【题型6已知函数类型求解析式】【例6.1】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知f(x)是一次函数，且2f(2)−3f(1)=5，2f(0)−f(−1)=3，则f(x)=（

）A．3x−2 B．3x+2C．92x−12 D．4x−1【例6.2】（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）设fx为一次函数，且ffxA．fx=2x−11或fxC．fx=2x−11 【变式6.1】（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数gx满足g1=1,g（2）已知fx是一次函数，且满足fx+1−2f【变式6.2】（23-24高一上·全国·课前预习）（1）已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x−1，求f(x)；（2）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)−f(x)=2x，求f(x).【题型7已知f(g(x))求解析式】【例7.1】（23-24高一上·湖北·期中）已知fx+1=x+2，则函数fA．fx=x2 B．C．fx=x2−2x+3（x≥1）【例7.2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知fx+1=x+3，则fA．fx+1=x+4x≥0C．fx+1=x【变式7.1】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）求下列函数解析式(1)函数f(x)满足f(x+1)=x2+2x+2(2)函数f(x)满足2f(x)−f(−x)=x2，求函数【变式7.2】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知fx+1=x+2（2）已知fx为二次函数，且fx+1+f（3）已知函数fx对于任意的x都有2f1x【题型8求函数值或由函数值求参】【例8.1】（23-24高一上·广西钦州·期末）若函数fx=2x−3，且f2a−1=6，则A．114 B．74 C．43【例8.2】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，且fx=x3f1A．9 B．10 C．11 D．12【变式8.1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知数fx(1)求函数fx(2)求f−2(3)已知f2a+1=4【变式8.2】（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数fx对∀x,y∈R，都有fx+y+f(1)求证：fx(2)求f2024一、单选题1．（23-24高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知函数fx的定义域为0,1，则函数fx2A．0,1 B．0,1 C．−1,1 D．−1,02．（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数y=1−x+1−2x的值域为（

A．−∞,12 B．0，+∞ 3．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）下列各组函数相等的是（

）A．fx=x2，gxC．fx=1，gx=x4．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)−2x]=3，则f(5)=（

）A．11 B．9 C．7 D．55．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数f(x)=mx2+mx+1的定义域是R，则A．0<m≤4 B．0≤m<4 C．m≥4 D．0≤m≤46．（23-24高一上·天津南开·期中）已知fx−1x=xA．fx+1=x+1C．fx+1=x7．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）设函数f(x)=12x−1,x≥01x,x<0，若A．−13或−3 B．−13或4C．−138．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数fx满足fxy=fx+fy−1A．0 B．1 C．5 D．5二、多选题9．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数f(x)的定义域为R，值域为[−2,3]，则下列函数的值域也为[−2,3]的是（

）A．y=f(x+1) B．y=f(x)+1 C．y=f(−x) D．y=−f(x)10．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若fx的定义域为−2,2，则f2x−1B．函数y=x1−xC．函数y=2x+1−x的值域为D．函数fx=x211．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数f(x)定义域为R，且f(x)=x3f1x（x∈(−A．f(0)=0C．f(x)−f(−x)=x D．f(x)=三、填空题12．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数f(x)=xax2+x+1的定义域为R13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数fx=xax+b（a，b为常数，且a≠0）满足f2=1，方程14．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=10，且对于任意x∈R都有f(x+20)≥f(x)+20，f(x+1)≤f(x)+1，若g(x)=f(x)−x+2，则g(10)=四、解答题15．（23-24高一上·全国·课后作业）设函数fx的定义域为0,1．(1)求函数F(2)设a>0，求函数Gx16．（23-24高一上·安徽宣城·期中）根据下列条件，求fx(1)已知fx满足(2)已知fx是一次函数，且满足3f(3)已