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文档简介
2025届甘肃省靖远第四中高三下学期第六次检测数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设向量,满足,,,则的取值范围是A. B.C. D.2.已知是双曲线的左右焦点,过的直线与双曲线的两支分别交于两点(A在右支,B在左支)若为等边三角形,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.3.设一个正三棱柱,每条棱长都相等,一只蚂蚁从上底面的某顶点出发,每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点,算一次爬行,若它选择三个方向爬行的概率相等,若蚂蚁爬行10次,仍然在上底面的概率为,则为()A. B.C. D.4.设双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.B.C.D.5.函数,,则“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知,则()A.2 B. C. D.37.已知集合,集合,则A. B.或C. D.8.函数在的图象大致为()A. B.C. D.9.已知复数,则()A. B. C. D.210.网格纸上小正方形边长为1单位长度,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.1 B. C.3 D.411.已知数列是公比为的等比数列,且,若数列是递增数列,则的取值范围为()A. B. C. D.12.已知椭圆的中心为原点,为的左焦点,为上一点,满足且,则椭圆的方程为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,则关于的不等式的解集为_______.14.已知椭圆:的左,右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若,且的三边长,,成等差数列,则的离心率为__________.15.(5分)已知曲线的方程为,其图象经过点,则曲线在点处的切线方程是____________.16.已知内角,,的对边分别为,,.,,则_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)若在上恒成立,求的取值范围.18.(12分)曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)过原点且倾斜角为的射线与曲线分别交于两点(异于原点),求的取值范围.19.(12分)已知曲线的参数方程为为参数,曲线的参数方程为为参数).(1)求与的普通方程;(2)若与相交于,两点,且,求的值.20.(12分)在平面直角坐标系xoy中,曲线C的方程为.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.(1)写出曲线C的极坐标方程,并求出直线l与曲线C的交点M,N的极坐标;(2)设P是椭圆上的动点,求面积的最大值.21.(12分)如图,在四棱柱中,底面为菱形,.(1)证明:平面平面;(2)若,是等边三角形,求二面角的余弦值.22.(10分)某工厂为提高生产效率,需引进一条新的生产线投入生产,现有两条生产线可供选择,生产线①:有A,B两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.02,0.03.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为15万元;若A工序出现故障,则生产成本增加2万元;若B工序出现故障,则生产成本增加3万元;若A,B两道工序都出现故障,则生产成本增加5万元.生产线②:有a,b两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.04,0.01.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为14万元;若a工序出现故障,则生产成本增加8万元;若b工序出现故障,则生产成本增加5万元;若a,b两道工序都出现故障,则生产成本增加13万元.(1)若选择生产线①,求生产成本恰好为18万元的概率;(2)为最大限度节约生产成本,你会给工厂建议选择哪条生产线?请说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
由模长公式求解即可.【详解】,当时取等号,所以本题答案为B.【点睛】本题考查向量的数量积,考查模长公式,准确计算是关键,是基础题.2、D【解析】
根据双曲线的定义可得的边长为,然后在中应用余弦定理得的等式,从而求得离心率.【详解】由题意,,又,∴,∴,在中,即,∴.故选:D.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题关键是应用双曲线的定义把到两焦点距离用表示,然后用余弦定理建立关系式.3、D【解析】
由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,可得,根据求数列的通项知识可得选项.【详解】由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,∴,即,∴,∴数列是以为公比的等比数列,而,所以,∴当时,,故选:D.【点睛】本题考查几何体中的概率问题,关键在于运用递推的知识,得出相邻的项的关系,这是常用的方法,属于难度题.4、A【解析】
由题意,根据双曲线的对称性知在轴上,设,则由得:,因为到直线的距离小于,所以,即,所以双曲线渐近线斜率,故选A.5、B【解析】
根据函数奇偶性的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】设,若函数是上的奇函数,则,所以,函数的图象关于轴对称.所以,“是奇函数”“的图象关于轴对称”;若函数是上的偶函数,则,所以,函数的图象关于轴对称.所以,“的图象关于轴对称”“是奇函数”.因此,“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键,考查推理能力,属于中等题.6、A【解析】
利用分段函数的性质逐步求解即可得答案.【详解】,;;故选:.【点睛】本题考查了函数值的求法,考查对数的运算和对数函数的性质,是基础题,解题时注意函数性质的合理应用.7、C【解析】
由可得,解得或,所以或,又,所以,故选C.8、B【解析】
先考虑奇偶性,再考虑特殊值,用排除法即可得到正确答案.【详解】是奇函数,排除C,D;,排除A.故选:B.【点睛】本题考查函数图象的判断,属于常考题.9、C【解析】
根据复数模的性质即可求解.【详解】,,故选:C【点睛】本题主要考查了复数模的性质,属于容易题.10、A【解析】
采用数形结合,根据三视图可知该几何体为三棱锥,然后根据锥体体积公式,可得结果.【详解】根据三视图可知:该几何体为三棱锥如图该几何体为三棱锥,长度如上图所以所以所以故选:A【点睛】本题考查根据三视图求直观图的体积,熟悉常见图形的三视图:比如圆柱,圆锥,球,三棱锥等;对本题可以利用长方体,根据三视图删掉没有的点与线,属中档题.11、D【解析】
先根据已知条件求解出的通项公式,然后根据的单调性以及得到满足的不等关系,由此求解出的取值范围.【详解】由已知得,则.因为,数列是单调递增数列,所以,则,化简得,所以.故选:D.【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围,难度一般.已知数列单调性,可根据之间的大小关系分析问题.12、B【解析】由题意可得c=,设右焦点为F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,从而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以椭圆的方程为.故选B.点睛:椭圆的定义:到两定点距离之和为常数的点的轨迹,当和大于两定点间的距离时,轨迹是椭圆,当和等于两定点间的距离时,轨迹是线段(两定点间的连线段),当和小于两定点间的距离时,轨迹不存在.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
判断的奇偶性和单调性,原不等式转化为,运用单调性,可得到所求解集.【详解】令,易知函数为奇函数,在R上单调递增,,即,∴∴,即x>故答案为:【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用:解不等式,考查转化思想和运算能力,属于中档题.14、【解析】
设,,,根据勾股定理得出,而由椭圆的定义得出的周长为,有,便可求出和的关系,即可求得椭圆的离心率.【详解】解:由已知,的三边长,,成等差数列,设,,,而,根据勾股定理有:,解得:,由椭圆定义知:的周长为,有,,在直角中,由勾股定理,,即:,∴离心率.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用,考查计算能力.15、【解析】
依题意,将点的坐标代入曲线的方程中,解得.由,得,则曲线在点处切线的斜率,所以在点处的切线方程是,即.16、【解析】
利用正弦定理求得角B,再利用二倍角的余弦公式,即可求解.【详解】由正弦定理得,,.故答案为:.【点睛】本题考查了正弦定理求角,三角恒等变换,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】
(1),对函数求导,分别求出和,即可求出在点处的切线方程;(2)对求导,分、和三种情况讨论的单调性,再结合在上恒成立,可求得的取值范围.【详解】(1)因为,所以,所以,则,故曲线在点处的切线方程为.(2)因为,所以,①当时,在上恒成立,则在上单调递增,从而成立,故符合题意;②当时,令,解得,即在上单调递减,则,故不符合题意;③当时,在上恒成立,即在上单调递减,则,故不符合题意.综上,的取值范围为.【点睛】本题考查了曲线的切线方程的求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题.18、(1),;(2).【解析】
(1)先将曲线化为普通方程,再由直角坐标系与极坐标系之间的转化关系:,可得极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)由已知可得出射线的极坐标方程为,联立和的极坐标方程可得点A和点B的极坐标,从而得出,由的范围可求得的取值范围.【详解】(1)曲线的普通方程为,即,其极坐标方程为;曲线的极坐标方程为,即,其直角坐标方程为;(2)射线的极坐标方程为,联立,联立,的取值范围是【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程互化,圆,抛物线的极坐标方程与普通方程的互化,以及在极坐标下的直线与圆和抛物线的位置关系,属于中档题.19、(1),(2)0【解析】
(1)分别把两曲线参数方程中的参数消去,即可得到普通方程;(2)把直线的参数方程代入的普通方程,化为关于的一元二次方程,再由根与系数的关系及此时的几何意义求解.【详解】(1)由曲线的参数方程为为参数),消去参数,可得;由曲线的参数方程为为参数),消去参数,可得,即.(2)把为参数)代入,得.,..解得:,即,满足△..【点睛】本题考查参数方程化普通方程,特别是直线参数方程中参数的几何意义的应用,是中档题.20、(1),,;(2).【解析】
(1)利用公式即可求得曲线的极坐标方程;联立直线和曲线的极坐标方程,即可求得交点坐标;(2)设出点坐标的参数形式,将问题转化为求三角函数最值的问题即可求得.【详解】(1)曲线的极坐标方程:联立,得,又因为都满足两方程,故两曲线的交点为,.(2)易知,直线.设点,则点到直线的距离(其中).面积的最大值为.【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程之间的相互转化,涉及利用椭圆的参数方程求面积的最值问题,属综合中档题.21、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)根据面面垂直的判定定理可知,只需证明平面即可.由为菱形可得,连接和与的交点,由等腰三角形性质可得,即能证得平面;(2)由题意知,平面,可建立空间直角坐标系,以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,再分别求出平面的法向量,平面的法向量,即可根据向量法求出二面角的余弦值.【详解】(1)如图,设与相交于点,连接,又为菱形,故,为的中点.又,故.又平面,平面,且,故平面,又平面,所以平面平面.(2)由是等边三角形,可得,故平面,所以,,两两垂直.如图以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.不妨设,则,,则,,,,,,设为平面的法向量,则即可取,设为平面的法向量,则即可取,所以.所以二面角的余弦值为0.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理的应用,以及利用向量法求二面角,意在考查学生的直观想象能力,逻辑推理能力和数学运算能力,属于基础题.22、(1)0.0294.(2)应选生产线②.见解析【解析】
(1)由题意转化条件得A工序不出现故障B工序出现故障,利用相互独立事件的概率
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