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文档简介

2025届贵州省遵义市正安一中高三压轴卷数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A. B. C. D.2.设,命题“存在,使方程有实根”的否定是()A.任意,使方程无实根B.任意,使方程有实根C.存在,使方程无实根D.存在,使方程有实根3.已知中,,则()A.1 B. C. D.4.函数的图象可能是()A. B. C. D.5.若函数满足,且,则的最小值是()A. B. C. D.6.函数的图象大致为()A. B.C. D.7.某学校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是17.5,30],样本数据分组为17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A.56 B.60 C.140 D.1208.复数().A. B. C. D.9.已知函数,,若对,且,使得,则实数的取值范围是()A. B. C. D.10.已知函数的最小正周期为,且满足,则要得到函数的图像,可将函数的图像()A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度11.已知偶函数在区间内单调递减,,,,则,,满足()A. B. C. D.12.已知实数,满足约束条件,则目标函数的最小值为A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知的展开式中项的系数与项的系数分别为135与,则展开式所有项系数之和为______.14.已知集合,,则__________.15.已知复数,其中为虚数单位,若复数为纯虚数,则实数的值是__.16.已知是夹角为的两个单位向量,若,,则与的夹角为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).在以原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的方程为.(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程;(2)若点坐标为,圆与直线交于两点,求的值.18.(12分)在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为(t为参数,α为直线的倾斜角).(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点,求角α的大小.19.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,).在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标中,曲线:.(1)当时,求与的交点的极坐标;(2)直线与曲线交于,两点,线段中点为,求的值.20.(12分)在极坐标系中,曲线的极坐标方程为(1)求曲线与极轴所在直线围成图形的面积;(2)设曲线与曲线交于,两点,求.21.(12分)如图在四边形中,,,为中点,.(1)求;(2)若,求面积的最大值.22.(10分)设函数,直线与函数图象相邻两交点的距离为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)在中,角所对的边分别是,若点是函数图象的一个对称中心,且,求面积的最大值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

联立方程解得M(3,),根据MN⊥l得|MN|=|MF|=4,得到△MNF是边长为4的等边三角形,计算距离得到答案.【详解】依题意得F(1,0),则直线FM的方程是y=(x-1).由得x=或x=3.由M在x轴的上方得M(3,),由MN⊥l得|MN|=|MF|=3+1=4又∠NMF等于直线FM的倾斜角,即∠NMF=60°,因此△MNF是边长为4的等边三角形点M到直线NF的距离为故选:C.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,意在考查学生的计算能力和转化能力.2、A【解析】

只需将“存在”改成“任意”,有实根改成无实根即可.【详解】由特称命题的否定是全称命题,知“存在,使方程有实根”的否定是“任意,使方程无实根”.故选:A【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定,此类问题要注意在两个方面作出变化:1.量词,2.结论,是一道基础题.3、C【解析】

以为基底,将用基底表示,根据向量数量积的运算律,即可求解.【详解】,,.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理,考查向量数量积运算,属于中档题.4、A【解析】

先判断函数的奇偶性,以及该函数在区间上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为,,该函数为偶函数,排除B、D选项;当时,,排除C选项.故选:A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,结合排除法得出结果,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.5、A【解析】

由推导出,且,将所求代数式变形为,利用基本不等式求得的取值范围,再利用函数的单调性可得出其最小值.【详解】函数满足,,即,,,,即,,则,由基本不等式得,当且仅当时,等号成立.,由于函数在区间上为增函数,所以,当时,取得最小值.故选:A.【点睛】本题考查代数式最值的计算,涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用,考查计算能力,属于中等题.6、A【解析】

根据函数的奇偶性和单调性,排除错误选项,从而得出正确选项.【详解】因为,所以是偶函数,排除C和D.当时,,,令,得,即在上递减;令,得,即在上递增.所以在处取得极小值,排除B.故选:A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别,考查利用导数研究函数的单调区间和极值,属于中档题.7、C【解析】

试题分析:由题意得,自习时间不少于小时的频率为,故自习时间不少于小时的频率为,故选C.考点:频率分布直方图及其应用.8、A【解析】试题分析:,故选A.【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式的乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.9、D【解析】

先求出的值域,再利用导数讨论函数在区间上的单调性,结合函数值域,由方程有两个根求参数范围即可.【详解】因为,故,当时,,故在区间上单调递减;当时,,故在区间上单调递增;当时,令,解得,故在区间单调递减,在区间上单调递增.又,且当趋近于零时,趋近于正无穷;对函数,当时,;根据题意,对,且,使得成立,只需,即可得,解得.故选:D.【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题,涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题,属综合困难题.10、C【解析】

依题意可得,且是的一条对称轴,即可求出的值,再根据三角函数的平移规则计算可得;【详解】解:由已知得,是的一条对称轴,且使取得最值,则,,,,故选:C.【点睛】本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则,属于基础题.11、D【解析】

首先由函数为偶函数,可得函数在内单调递增,再由,即可判定大小【详解】因为偶函数在减,所以在上增,,,,∴.故选:D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递,属于中档题.12、B【解析】

作出不等式组对应的平面区域,目标函数的几何意义为动点到定点的斜率,利用数形结合即可得到的最小值.【详解】解:作出不等式组对应的平面区域如图:目标函数的几何意义为动点到定点的斜率,当位于时,此时的斜率最小,此时.故选B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、64【解析】

由题意先求得的值,再令求出展开式中所有项的系数和.【详解】的展开式中项的系数与项的系数分别为135与,,,由两式可组成方程组,解得或,令,求得展开式中所有的系数之和为.故答案为:64【点睛】本题考查了二项式定理,考查了赋值法求多项式展开式的系数和,属于基础题.14、【解析】

解一元二次不等式化简集合,再进行集合的交运算,即可得到答案.【详解】,,.故答案为:.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、集合的交运算,考查运算求解能力,属于基础题.15、2【解析】

由题,得,然后根据纯虚数的定义,即可得到本题答案.【详解】由题,得,又复数为纯虚数,所以,解得.故答案为:2【点睛】本题主要考查纯虚数定义的应用,属基础题.16、【解析】

依题意可得,再根据求模,求数量积,最后根据夹角公式计算可得;【详解】解:因为是夹角为的两个单位向量所以,又,所以,,所以,因为所以;故答案为:【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律,以及夹角的计算,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】试题分析:(1)由加减消元得直线的普通方程,由得圆的直角坐标方程;(2)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根据韦达定理可得结果试题解析:解:(Ⅰ)由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0又由得ρ2=2ρsinθ,化为直角坐标方程为x2+(y﹣)2=5;(Ⅱ)把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得(3﹣t)2+(t)2=5,即t2﹣3t+4=0设t1,t2是上述方程的两实数根,所以t1+t2=3又直线l过点P,A、B两点对应的参数分别为t1,t2,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.18、(1)当时,直线l方程为x=-1;当时,直线l方程为y=(x+1)tanα;x2+y2=2x(2)或.【解析】

(1)对直线l的倾斜角分类讨论,消去参数即可求出其普通方程;由,即可求出曲线C的直角坐标方程;(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,根据条件Δ=0,即可求解.【详解】(1)当时,直线l的普通方程为x=-1;当时,消去参数得直线l的普通方程为y=(x+1)tanα.由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2=2x,即为曲线C的直角坐标方程.(2)把x=-1+tcosα,y=tsinα代入x2+y2=2x,整理得t2-4tcosα+3=0.由Δ=16cos2α-12=0,得cos2α=,所以cosα=或cosα=,故直线l的倾斜角α为或.【点睛】本题考查参数方程化普通方程,极坐标方程化直角坐标方程,考查直线与曲线的关系,属于中档题.19、(1),;(2)【解析】

(1)依题意可知,直线的极坐标方程为(),再对分三种情况考虑;(2)利用直线参数方程参数的几何意义,求弦长即可得到答案.【详解】(1)依题意可知,直线的极坐标方程为(),当时,联立解得交点,当时,经检验满足两方程,(易漏解之处忽略的情况)当时,无交点;综上,曲线与直线的点极坐标为,,(2)把直线的参数方程代入曲线,得,可知,,所以.【点睛】本题考查直线与曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.20、(1);(2)【解析】

(1)利用互化公式,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得出曲线与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形,即可求出面积;(2)联立方程组,分别求出和的坐标,即可求出.【详解】解:(1)由于的极坐标方程为,根据互化公式得,曲线的直角坐标方程为:当时,,当时,,则曲线与极轴所在直线围成的图形,是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形,∴围成图形的面积.(2)由得,其直角坐标为,化直角坐标方程为,化直角坐标方程为,∴,∴.【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程,以及联立方程组求交点坐标,考查计算能力.21、(1)1;(2)【解析】

(1),在和中分别运用余弦定理可表示出,运用算两次的思想即可求得,进而求出;(2)在中,根据余弦定理和基本不等式,可求得,再由三角形的面积公式以及正弦函数的有界性,求出的面积的最大值.【详解】(1)由题设,则在和中由余弦定理得:,即解得,∴(2)在中由余弦定理得,即,

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