2025届湖北省罗田一中高三第二次联考数学试卷含解析

2025届湖北省罗田一中高三第二次联考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线在点处的切线方程为（）A． B． C． D．2．已知菱形的边长为2，，则（）A．4 B．6 C． D．3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的取值为（）A．-2 B．-1 C．1 D．25．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．6．函数的图象大致为A． B． C． D．7．已知复数，，则（）A． B． C． D．8．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（）A．4π B．8π C． D．9．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为（）A． B． C． D．10．若实数满足不等式组则的最小值等于（）A． B． C． D．11．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．1 B． C．3 D．412．下列四个图象可能是函数图象的是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列的首项，函数在上有唯一零点，则数列|的前项和__________.14．已知为正实数，且，则的最小值为____________.15．已知向量，，若，则______.16．已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，(其中，).（1）求函数的最小值.（2）若，求证：.18．（12分）已知等差数列{an}的各项均为正数，Sn为等差数列{an}的前n项和，.（1）求数列{an}的通项an；（2）设bn＝an⋅3n，求数列{bn}的前n项和Tn.19．（12分）已知抛物线C:x24py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k0)的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.（1）求点G的轨迹方程；（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.20．（12分）2019年是中华人民共和国成立70周年．为了让人民了解建国70周年的风雨历程，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：，，…，，并绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）现从年龄在，，内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用表示年龄在）内的人数，求的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有名市民的年龄在的概率为．当最大时，求的值．21．（12分）曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)若直线与曲线，的交点分别为、（、异于原点），当斜率时，求的最小值.22．（10分）设，，，.（1）若的最小值为4，求的值；（2）若，证明：或.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

将点代入解析式确定参数值，结合导数的几何意义求得切线斜率，即可由点斜式求的切线方程.【详解】曲线，即，当时，代入可得，所以切点坐标为，求得导函数可得，由导数几何意义可知，由点斜式可得切线方程为，即，故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义，在曲线上一点的切线方程求法，属于基础题.2、B【解析】

根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果．【详解】如图所示，菱形形的边长为2，，∴，∴，∴，且，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．3、C【解析】试题分析：根据题意，当时，令，得；当时，令，得，故输入的实数值的个数为1．考点：程序框图．4、B【解析】

求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；【详解】f（x）的定义域为（﹣1，+∞），因为f′（x）a，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故选：B．【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．5、A【解析】

分析可得,显然在上恒成立,只需讨论时的情况即可,,然后构造函数,结合的单调性,不等式等价于,进而求得的取值范围即可.【详解】由题意,若,显然不是恒大于零,故.,则在上恒成立;当时,等价于,因为,所以.设,由,显然在上单调递增,因为,所以等价于,即,则.设,则.令,解得,易得在上单调递增,在上单调递减,从而，故.故选:A.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.6、D【解析】

由题可得函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，排除选项B；又，，所以排除选项A、C，故选D．7、B【解析】分析：利用的恒等式，将分子、分母同时乘以，化简整理得详解：，故选B点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意符号的正、负问题.8、B【解析】

由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积.【详解】根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2，侧棱长为2且与底面垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径，则，那么.故选：B【点睛】本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题.9、C【解析】

根据等差数列的性质设出，，，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得.再利用勾股定理建立的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知，，成等差数列，设，，.由于，据勾股定理有，即，化简得；由椭圆定义知的周长为，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，，∴离心率.故选：C【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.10、A【解析】

首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值．【详解】解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）由得，由得，平移，易知过点时直线在上截距最小，所以．故选：A．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．11、A【解析】

采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果.【详解】根据三视图可知：该几何体为三棱锥如图该几何体为三棱锥，长度如上图所以所以所以故选：A【点睛】本题考查根据三视图求直观图的体积，熟悉常见图形的三视图：比如圆柱，圆锥，球，三棱锥等；对本题可以利用长方体，根据三视图删掉没有的点与线，属中档题.12、C【解析】

首先求出函数的定义域，其函数图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，因为为奇函数，即可得到函数图象关于对称，即可排除A、D，再根据时函数值，排除B，即可得解.【详解】∵的定义域为，其图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，∵为奇函数，图象关于原点对称，∴的图象关于点成中心对称.可排除A、D项.当时，，∴B项不正确.故选：C【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由函数为偶函数，可得唯一零点为，代入可得数列的递推关系式，再进行配凑转换为等比数列，最后运用分部求和可得答案.【详解】因为为偶函数，在上有唯一零点，所以，∴，∴，∴为首项为2，公比为2的等比数列.所以，.故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的零点,同时也考查了由递推关系式求数列的通项,考查了数列的分部求和，属于中档题.14、【解析】

，所以有，再利用基本不等式求最值即可.【详解】由已知，，所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，采用的是“1”的替换，也可以消元等，是一道中档题.15、1【解析】

根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值.【详解】向量,则,则因为即,化简可得解得故答案为:【点睛】本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.16、-1【解析】

讨论三种情况，a＜0时,根据均值不等式得到a（﹣a）≤﹣14，计算等号成立的条件得到答案.【详解】已知关于x的不等式（ax﹣a1﹣4）（x﹣4）＞0，①a＜0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＜0，其中a0，故解集为（a，4），由于a（﹣a）≤﹣14，当且仅当﹣a，即a＝﹣1时取等号，∴a的最大值为﹣4，当且仅当a4时，A中共含有最少个整数，此时实数a的值为﹣1；②a＝0时，﹣4（x﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a＝0不符合条件；③a＞0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＞0，其中a4，∴故解集为（﹣∞，4）∪（a，+∞），整数解有无穷多，故a＞0不符合条件；综上所述，a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）.（2）答案见解析【解析】

（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）利用分析法，只需证明，两边平方后结合即可得证.【详解】（1），当且仅当时取等号，∴的最小值；（2）证明：依题意，，要证，即证，即证，即证，即证，又可知，成立，故原不等式成立.【点睛】本题考查用绝对值三角不等式求最值，考查用分析法证明不等式，在不等式不易证明时，可通过执果索因的方法寻找结论成立的充分条件，完成证明，这就是分析法．18、（1）.（2）【解析】

（1）先设等差数列{an}的公差为d（d＞0），然后根据等差数列的通项公式及已知条件可列出关于d的方程，解出d的值，即可得到数列{an}的通项an；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用错位相减法计算前n项和Tn.【详解】（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d（d＞0），则a4a5＝（1+3d）（1+4d）＝11，整理，得12d2+7d﹣10＝0，解得d（舍去），或d，∴an＝1（n﹣1），n∈N*.（2）由（1）知，bn＝an⋅3n•3n＝（2n+1）•3n﹣1，∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝3×1+5×31+7×32+…+（2n+1）•3n﹣1，∴3Tn＝3×31+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1+（2n+1）•3n，两式相减，可得：﹣2Tn＝3×1+2×31+2×32+…+2•3n﹣1﹣（2n+1）•3n＝3+2×（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n＝3+2（2n+1）•3n＝﹣2n•3n，∴Tn＝n•3n.【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算，以及运用错位相减法计算前n项和.考查了转化与化归思想，方程思想，错位相减法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力.属于中档题.19、（1）（2）当G点横坐标为整数时，S不是整数．【解析】

（1）先求解导数，得出切线方程，联立方程得出交点G的轨迹方程；（2）先求解弦长，再分别求解点到直线的距离，表示出四边形的面积，结合点G的横坐标为整数进行判断.【详解】（1）设，则，抛物线C的方程可化为，则，所以曲线C在点A处的切线方程为，在点B处的切线方程为，因为两切线均过点G，所以，所以A，B两点均在直线上，所以直线AB的方程为，又因为直线AB过点F(0，p)，所以，即G点轨迹方程为；（2）设点G(，)，由（1）可知，直线AB的方程为，即，将直线AB的方程与抛物线联立，，整理得，所以，，解得，因为直线AB的斜率，所以，且，线段AB的中点为M，所以直线EM的方程为：，所以E点坐标为(0，)，直线AB的方程整理得，则G到AB的距离，则E到AB的距离，所以，设，因为p是质数，且为整数，所以或，当时，，是无理数，不符题意，当时，，因为当时，，即是无理数，所以不符题意，当时，是无理数，不符题意，综上，当G点横坐标为整数时，S不是整数．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线中的切线问题通常借助导数来求解，四边形的面积问题一般转化为三角形的面积和问题，表示出面积的表达式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.20、（1）分布列见解析,（1）【解析】

（1）根据频率分布直方图及抽取总人数，结合各组频率值即可求得各组抽取的人数；的可能取值为0，1，1，由离散型随机变量概率求法即可求得各概率值，即可得分布列；由数学期望公式即可求得其数学期望.（1）先求得年龄在内的频率，视为概率.结合二项分布的性质，表示出，令，化简后可证明其单调性及取得最大值时的值．【详解】（1）按分层抽样的方法拉取的8人中，年龄在的人数为人，年龄在内的人数为人．年龄在内的人数为人．所以的可能取值为0，1，1．所以，，，所以的分市列为011．（1）设在抽取的10名市民中，年龄在内的人数为，服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在内的频率为，所以，所以．设，若，则，；若，则，．所以当时，最大，即当最大时，．【点睛】本题考差了离散型随机变量分布列及数学期望的求法，二项分布的综合应用，属于中档题.21、（1）的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程.（2）【解析】

(1)消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解.(2)解法1：设直线的倾斜角为，把