高等数学（第三版）课件：二元函数的极值

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二元函数的极值

一、二元函数的极值二、二元函数的最大值与最小值三、条件极值

一、二元函数的极值,点为极大值点,为极大值定义：设函数

在点定义，若该邻域内

的某个邻域内有,点为极小值点,为极小值（亦称点

为驻点）

定理1（极值的必要条件）:若函数

在点有极值，且

在点偏导数存在,则

该点的偏导数必为零定理2（极值存在的充分条件）:设点是函数的驻点，且函数在点的某邻域内二阶偏导数连续，令则(1)当时,点）时,点是极值点,且（i）当（或）时,点是极大值点；(ii)当（或是极小值点.(２)当(３)当时,点不是极值点．

时,点不是极值点．可能是极值点也可能（2）解方程组得驻点及例1

求函数的极值．解:（1）求偏导数结论:在处,在处,取得极大值

函数在处无极值函数在注意:对一般函数,可能的极值点包括驻点或至少一个偏导数不存在的点.二、二元函数的最大值与最小值类似一元函数,求多元函数在有界闭区域上的可能最值点包括驻点和偏导数不存在的点和边界点.分别求出各点处的函数值,比较其大小即可.例2

在坐标面上找一点使它到三点的距离平方和为最小．解设为面上的任一点,则到三点距离的平方和为求

的偏导数，有解方程组得驻点由问题的实际意义知，到三点距离平方和最小的点一定存在,又只有一个驻点,因此即为所求点．三、条件极值（1）条件极值

无条件极值

（2）条件极值不能转化为无条件极值（运用拉格朗日乘数法）。求函数在约束条件下的极值，其步骤为：(1)构造辅助函数,称为拉格朗日函数,其中参数称为拉格朗日乘数；(2)解联立方程组得可能极值点构造辅助函数,而体积为最大的长方体的体积．例8

求表面积为则长方体体积解设长方体长、宽、高分别为

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