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高等数学（第二版）未定式的定值法——洛必达法则微分中值定理及导数的应用三、其他未定式的定值法一、未定式的定值法二、未定式的定值法一、未定式的定值法定理1设函数与满足条件：（1）；（2）在点的某个邻域内（点可除外）可导，且；（3）（或）；则必有（或）。定理说明：（1） 如果，则；如果，则；但如果不存在，却不能断定不存在，只是说明洛必达法则失效，此时需用其他方法判断未定式的极限。（2） 如果还是未定式，且函数与仍然满足定理1的三个条件，则继续使用洛必达法则，最后确定，即（或）（3）当时，该法则仍然成立。例1

求（未定式）解：例2

求（为任何实数）（未定式）解：例3

求（未定式）解：此例表明，分子分母求导后要进行化简（设法约去公因子），然后再取极限。此外，如果有极限存在的乘积因子也要及时分离出来取极限，以便简化极限的运算。例4

求解：由于当时，，振荡无极限，所以此题不能使用洛必达法求解。事实上，经过适当改写后，用其他方法仍能求得它的极限。则必有（或）。定理2设函数与满足条件：注：当时，该法则仍然成立。二、未定式的定值法（3）（或）；（2）在点的某邻域内（点可除外）可导，且；（1）；例5

求（未定式）解：例6

求（未定式）解：此题洛必达法则也失效，然而，稍加化简即可得三、其他未定式的定值法洛必达法则不仅可以用来求解型和未定式的极限，还可以用来求解其它未定式，例如、、、、等型的极限。只要经过适当的变换和改写，将它们化为或型未定式的极限。例7

求（型未定式）解：当时，此为型的未定式，可以将其转化为型的未定式求极限。根据洛必达法则，有例8

求（未定式）解：当时，此为型的未定式，可以将其转化为型的未定式求极限。根据洛必达法则，有因为当时，～，所以原式例9

求（未定式）解：记，则故

例10

求

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