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高等数学（第二版）一、微分的定义二、微分的几何意义微分导数与微分三、微分的运算四、微分的形式不变性五、微分的简单应用一、微分的定义设函数在点处可导，则这个式子可改写为其中（当时）是无穷小量。用乘上式两边，有这里函数的改变量由两部分组成：第二部分是

时的无穷小，所以第一部分是主要项，是的线性函数。因而称为函数改变量的线性主要部分。当很小时，可得。通常，把自变量的增量记作自变量的微分，则在点处的微分可表示为由此可知，函数可导也称函数可微，且函数的微分是函数增量的线性部分。定义

设函数在点处可导，则称为函数在点处的微分，记作前面我们曾用表示函数的导数，它是一个整体符号。现在引进微分概念后，不仅表示的导数，而且表示函数微分与自变量微分之商，所以我们又称导数为微商。由于求微分的问题可以归结为求导数的问题，因此求导数与求微分的方法就称为微分法。例1求函数在时的增量与微分。解：函数的增量函数微分当时，得当时，得比较与，知较小。例2设，求。解：在曲线上取点。如图。过点作曲线的切线，设的倾角为，则的斜率为当自变量在点取得改变量时，得曲线上另一点

由图知二、微分的几何意义所以函数的微分就是曲线过点的切线的改变量。当很小时，换言之，“曲线”的改变量，可以用“直线”的改变量来近似代替。这就是局部上的“以直代曲”。三、微分的运算设在点处可微，则即求函数的微分，只要求出函数的导数，再乘以即可。于是，由导数的一些基本公式及法则，立即可得微分公式。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（11）（13）（15）（10）（12）（14）（16）微分运算法则（2）若为的可导函数时，则为的复合函数，此时函数的微分为四、微分的形式不变性设函数在处可导，（1）若为自变量时，微分而就是的微分故由此可见，不论是自变量还是中间变量，函数的微分形式同样都是。这就叫做微分形式不变性。例3设

，求。解：利用得例4设，求。解：例5设隐函数为，求。解：将方程两端对求微分，得解出得五、微分的简单应用微分的重要应用，就是函数的线性化。我们知道，的一次函数，通常称为线性函数，线性函数是最简单、最容易处理的函数。而微分就是函数线性化的一个有力工具。（很小）设在处。当很小时，微分是函数改变量的线性主部，即可作为的近似值。此为求函数增量的近似公式。可改写为此为求函数值的近似公式。（很小）若令，则再令，得上式即为函数在附近的近似公式。例6半径为10厘米的金属圆片加热后，其半径伸长了0.05厘米，问：其面积增大的精确值为多少？其近似值为多少？解：设圆面积为，半径为厘米，则。已知厘米，厘米，故圆面

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