2024-2025学年福建省福州十九中八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年福建省福州十九中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）有的美术字是轴对称图形，下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性3．（4分）下列运算结果正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a54．（4分）如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在角的顶点，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．此仪器的原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS5．（4分）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平（）A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点6．（4分）下列各分式中，是最简分式的是（）A． B． C． D．7．（4分）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x8．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°（）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C9．（4分）图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是（）A．6 B．8 C．10 D．1210．（4分）如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AC＝AB+5，BC＝12△BDC的最大值为（）A．12 B．15 C．30 D．60二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若分式的值为零，则x的值是．12．（4分）平面直角坐标系中，点P（3，1）关于y轴对称的点的坐标是．13．（4分）已知等腰三角形一边长等于4，另一边长等于8，则此等腰三角形的周长是．14．（4分）如果am＝3，an＝5，那么a2m﹣n＝．15．（4分）计算：20242﹣4048×2023+20232+2023×2025＝．16．（4分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为（用含α的代数式表示）．三、解答题（本题共9小题，共86分，请在答题卡相应的位置作答）17．（8分）计算：（1）x•x5+（﹣2x2）3；（2）（3x2y﹣xy2+4xy）÷（﹣2xy）．18．（8分）如图，CA＝CD，∠1＝∠219．（8分）以下是小鹏化简代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）﹣2a（a﹣3）的过程．解：原式＝a2﹣2a+4+a2﹣1﹣2a2+6a……①＝（a2+a2﹣2a2）+（﹣2a+6a）+（4﹣1）…②＝4a+3，……③（1）小鹏的化简过程在第步开始出错，错误的原因是．（2）请你帮助小鹏写出正确的化简过程，并计算当a＝﹣0.5时代数式的值．20．（8分）如图，边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△DEF（其中点A、B、C的对称点分别是D、E、F）；（2）在y轴上找一点P，使得△PAC周长最短，请画出点P所在的位置21．（8分）如图，在△ABC中，点P为AB边上一点．（1）尺规作图：请在AC上求作一点D，使得PD∥BC（保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）的条件下，AB＝AC，求证：△APD是等边三角形．22．（10分）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．（1）在图中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结论，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．已知：在△ABC中，AB＝AC，．求证：．（2）证明上述命题．23．（10分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．24．（12分）如图①，小华同学用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形（a+2b），宽为（a+b）的长方形（a+2b）（a+b），于是，我们可以得到等式（a+2b）（a+b）2+3ab+2b2.请解答下列问题：（1）根据图②，写出一个代数恒等式：；（2）利用（1）中所得到的结论，解决以下问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝60，求ab+bc+ac的值；（3）小华同学又用8张边长为a的正方形，15张边长为b的正方形，22张边长分别为a、b的长方形纸片拼成了一个长方形，．25．（14分）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AC＝8，D是BC的中点【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，使DE＝AD，连接BE．根据SAS可以判定△ADC≌△EDB，即可得出中线AD的取值范围是；【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，在△ABC中，D是BC边上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD；【问题拓展】（3）如图3，点D是BC边上的一点，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，若AD⊥EF，求证：EF＝2AD且AD为△ABC的中线．

2024-2025学年福建省福州十九中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）有的美术字是轴对称图形，下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：四个美术字中可以看作轴对称图形的是“业”，故选：D．2．（4分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，故选：D．3．（4分）下列运算结果正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a5【解答】解：A、a2与a3是加，不是乘，故本选项错误；B、a8•a3＝a2+4＝a5，故本选项错误；C、a3÷a4＝a3﹣2＝a，故本选项正确；D、（a4）3＝a2×2＝a6，故本选项错误．故选：C．4．（4分）如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在角的顶点，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．此仪器的原理是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，即AE是∠DAE的平分线，故选：A．5．（4分）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平（）A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点【解答】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等，∴凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点．故选：A．6．（4分）下列各分式中，是最简分式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、，不是最简分式；B、，不是最简分式；C、是最简分式；D、，不是最简分式．故选：C．7．（4分）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．8．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°（）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C【解答】解：由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADB（AAS），∴DB＝DE，AB＝AE，∵∠AED+∠B＝180°∴∠BAC+∠BDE＝180°，∵∠EDC+∠BDE＝180°，∴∠EDC＝∠BAC，故A，B，C正确，故选：D．9．（4分）图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：如图，延长a，∵a⊥b，∴∠ABC＝90°，∴正多边形的一个外角为，∴．故选：B．10．（4分）如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AC＝AB+5，BC＝12△BDC的最大值为（）A．12 B．15 C．30 D．60【解答】解：如图：延长AB，CD交点于E，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（ASA），∴AC＝AE，DE＝CD，∵AC＝AB+5，∴AE＝AB+5，即BE＝5；∵DE＝DC，∴S△BDC＝S△BCE，∴当BE⊥BC时，S△BEC取最大值，即S△BDC取最大值．S△BDC＝××12×5＝15．故选：B．二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若分式的值为零，则x的值是﹣2．【解答】解：若分式的值为零，∴x的值是﹣8，故答案为：﹣2．12．（4分）平面直角坐标系中，点P（3，1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，1）．【解答】解：平面直角坐标系中，点P（3，1）．故答案为：（﹣3，1）．13．（4分）已知等腰三角形一边长等于4，另一边长等于8，则此等腰三角形的周长是20．【解答】解：当4为底边时，腰长为8，则这个等腰三角形的周长＝4+8+8＝20，当8为底边时，腰长为4，不能构成三角形，故答案为：20．14．（4分）如果am＝3，an＝5，那么a2m﹣n＝．【解答】解：∵am＝3，an＝5，∴a7m﹣n＝（am）2÷an＝34÷5＝．故答案为：．15．（4分）计算：20242﹣4048×2023+20232+2023×2025＝4096576．【解答】解：20242﹣4048×2023+20232+2023×2025＝20246﹣2×2024×2023+20232+2023×2025＝（2024﹣2023）8+（2024﹣1）×（2024+1）＝6+20242﹣1＝20247＝4096576．故答案为：4096576．16．（4分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为90°﹣α（用含α的代数式表示）．【解答】解：如图，连接AB'，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝α，又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣α，∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣α，故答案为90°﹣α．三、解答题（本题共9小题，共86分，请在答题卡相应的位置作答）17．（8分）计算：（1）x•x5+（﹣2x2）3；（2）（3x2y﹣xy2+4xy）÷（﹣2xy）．【解答】解：（1）原式＝x6+（﹣8x3）＝﹣7x6；（2）原式＝8x2y÷（﹣2xy）﹣xy8÷（﹣2xy）+4xy÷（﹣5xy）＝．18．（8分）如图，CA＝CD，∠1＝∠2【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠7+∠ECA＝∠2+∠ACE，即∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS）．∴DE＝AB．19．（8分）以下是小鹏化简代数式（a﹣2）2+（a+1）（a﹣1）﹣2a（a﹣3）的过程．解：原式＝a2﹣2a+4+a2﹣1﹣2a2+6a……①＝（a2+a2﹣2a2）+（﹣2a+6a）+（4﹣1）…②＝4a+3，……③（1）小鹏的化简过程在第①步开始出错，错误的原因是完全平方公式运用错误．（2）请你帮助小鹏写出正确的化简过程，并计算当a＝﹣0.5时代数式的值．【解答】解：（1）小鹏的化简过程在第①步开始出错，错误的原因是完全平方公式运用错误，故答案为：①，完全平方公式运用错误；（2）（a﹣2）2+（a+2）（a﹣1）﹣2a（a﹣6）＝a2﹣4a+3+a2﹣1﹣5a2+6a＝2a+3．∴当a＝﹣0.4时，原式＝2×（﹣0.7）+3＝﹣1+2＝2．20．（8分）如图，边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△DEF（其中点A、B、C的对称点分别是D、E、F）；（2）在y轴上找一点P，使得△PAC周长最短，请画出点P所在的位置【解答】解：（1）如图1，△DEF为所求；（2）如图2，作C点关于y轴的对称点是C′点、C′两点，∵AC是定值，PA+PC最小，∴△PAC的周长最小，∴点P的坐标（3，2）．21．（8分）如图，在△ABC中，点P为AB边上一点．（1）尺规作图：请在AC上求作一点D，使得PD∥BC（保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）的条件下，AB＝AC，求证：△APD是等边三角形．【解答】（1）解：作法：1．以点B为圆心，分别交AB、F；2．以点P为圆心，交PA于点H；6．连接EF，以EF长为半径作弧；4．作射线PI交AC于点I，点D就是所求的图形．证明：由作图得∠APD＝∠B，∴PD∥BC，∴点D就是所求的图形．（2）证明：∵PD∥BC，∴∠APD＝∠B，∠ADP＝∠C，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠APD＝∠ADP，∴AP＝AD，∵∠A＝60°，∴△APD是等边三角形．22．（10分）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．（1）在图中按照下面“已知”的要求，画出符合题意的图形，并根据题设和结论，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．已知：在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．求证：∠BCD＝∠A．（2）证明上述命题．【解答】解：（1）已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠BCD＝∠A．故答案为：CD⊥AB于D；∠BCD＝；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝90°﹣∠A，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝（90°﹣∠A）﹣（90°﹣∠A）＝．23．（10分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠A＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，∴BC＝2CH，∴AB＝2CH，在Rt△CHM中，∠CMH＝45°，∴CH＝MH，∴AB＝4MH．24．（12分）如图①，小华同学用1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形（a+2b），宽为（a+b）的长方形（a+2b）（a+b），于是，我们可以得到等式（a+2b）（a+b）2+3ab+2b2.请解答下列问题：（1）根据图②，写出一个代数恒等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）利用（1）中所得到的结论，解决以下问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝60，求ab+bc+ac的值；（3）小华同学又用8张边长为a的正方形，15张边长为b的正方形，22张边长分别为a、b的长方形纸片拼成了一个长方形4a+5b或2a+3b，2a+3b、4a+5b．【解答】解：（1）由题意可得：（a+b+c）2＝a2+b7+c2+2ab+3ac+2bc；故答案为：（a+b+c）2＝a3+b2+c2+4ab+2ac+2bc；（2）由（1）可知：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+4bc，将a+b+c＝10，a2+b2+c8＝60代入上式，可得：102＝60+2ab+3ac+abc，则2ab+2ac+4bc＝40，故ab+ac+bc＝20；（3）∵长方形的总面积为：8a2+15b3+22ab，∴8a2+15b3+22ab＝（4a+5b）（2a+3b），该长方形的长为4a+3b或2a+3b，宽为7a+3b或4a+4b．故答案为：4a+5b、8a+3b或2a+2b．25．（14分）数学兴趣小组在