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文档简介
第26讲Y=sin(wx+b)的图像与性质【基础知识全通关】1.用五点法作函数SKIPIF1<0的图象用“五点法”作SKIPIF1<0的简图,主要是通过变量代换,设SKIPIF1<0,由z取SKIPIF1<0来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.【微点拨】用“五点法”作图象的关键是点的选取,其中横坐标成等差数列,公差为SKIPIF1<0.2.函数SKIPIF1<0中有关概念SKIPIF1<0表示一个振动量时,A叫做振幅,SKIPIF1<0叫做周期,SKIPIF1<0叫做频率,SKIPIF1<0叫做相位,x=0时的相位SKIPIF1<0称为初相.3.由SKIPIF1<0得图象通过变换得到SKIPIF1<0的图象(1)振幅变换:SKIPIF1<0(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的(横坐标不变),它的值域[-A,A],最大值是A,最小值是-A.若A<0可先作y=-Asinx的图象,再以x轴为对称轴翻折.A称为振幅.(2)周期变换:函数SKIPIF1<0的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短SKIPIF1<0或伸长SKIPIF1<0到原来的SKIPIF1<0倍(纵坐标不变).若SKIPIF1<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图.SKIPIF1<0决定了函数的周期.(3)相位变换:函数SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当SKIPIF1<0>0时)或向右(当SKIPIF1<0<0时)平行移动SKIPIF1<0个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向:“左加右减”).【微点拨】一般地,函数SKIPIF1<0的图象可以看作是用下面的方法得到的:(1)先把y=sinx的图象上所有的点向左(SKIPIF1<0>0)或右(SKIPIF1<0<0)平行移动SKIPIF1<0个单位;(2)再把所得各点的横坐标缩短SKIPIF1<0或伸长SKIPIF1<0到原来的SKIPIF1<0倍(纵坐标不变);(3)再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变).【考点研习一点通】考点一:三角函数SKIPIF1<0的图象例1.画出函数y=sin(x+SKIPIF1<0),x∈R的简图.【解析】法一:(五点法):列表xSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0x+SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0sin(x+SKIPIF1<0)010-10描点画图:法二:(图象变换)函数y=sin(x+SKIPIF1<0),x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动SKIPIF1<0个单位长度而得到.【变式1-1】已知函数SKIPIF1<0.(1)作出函数的简图;(2)指出其振幅、周期、初相、值域.【解析】(1)SKIPIF1<0列表:xSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0y020-20描点画图,如下图所示:把SKIPIF1<0之间的图象向左、右扩展,即可得到它的简图.(2)振幅为2,周期为4π,初相是SKIPIF1<0,最大值为2,最小值为―2,故值域是[―2,2].【变式1-2】如何由函数y=sinx的图象得到函数SKIPIF1<0的图象?【解析】解法一:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.解法二:SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【总结】本题用了由函数y=sinx(x∈R)的图象变换到函数SKIPIF1<0(x∈R)的两种方法,要注意这两种方法的区别与联系.考点二:三角函数SKIPIF1<0的解析式例2.如图,它是函数SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的图象,由图中条件,写出该函数解析式.【点拨】由图可以确定图象的振幅、周期,由此求出SKIPIF1<0,再由题意知,点(SKIPIF1<0,5)在此函数的图象上,由此求出SKIPIF1<0.【解析】A=5,SKIPIF1<0由点(SKIPIF1<0,5)在此函数的图象上,则法一:(单调性法)∵点SKIPIF1<0在递减的那段曲线上∴SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0.法二:(最值点法)将最高点坐标(SKIPIF1<0,5)代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0取SKIPIF1<0.法三:(起始点法)函数的图象一般由“五点法”作出,而起始点的横坐标x正是由SKIPIF1<0解得的,故只要找出起始点横坐标x0,就可以迅速求得角SKIPIF1<0.由图象求得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0法四:(平移法)由图象知,将SKIPIF1<0的图象沿x轴向左平移SKIPIF1<0个单位,就得到本题图象,故所求函数为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.【总结】错解:将SKIPIF1<0代入该式得:SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0或SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.代入点坐标时,通常利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标带入解析式,再结合图形的上升、下降趋势变化求出SKIPIF1<0.【变式2-1】函数SKIPIF1<0的图象如下图,确定A、ω、SKIPIF1<0的值,确定其一个函数解析。【点拨】本题主要考查正弦型函数SKIPIF1<0解析式的求法及识图能力,由图知A=3,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0可由点SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0确定。【解析】方法一:(逐一定参法)由图象知,振幅A=3,又SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0。由点SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0。∴SKIPIF1<0。方法二:(待定系数法)由图象知A=3,又图过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,根据五点作图法原来(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点),有SKIPIF1<0,解得ω=2,SKIPIF1<0。∴SKIPIF1<0。【总结】如果从图象可确定振幅和周期,则可直接确定函数式SKIPIF1<0中的参数A和ω,再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“SKIPIF1<0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得SKIPIF1<0。【变式2=2】(1)已知函数SKIPIF1<0的图象如下图①所示,求解析式:(2)函数SKIPIF1<0的图象如下图②所示,确定A、ω、SKIPIF1<0的值,确定其一个函数解析式。【解析】(1)∵T=(2+1)×4=12,∴SKIPIF1<0。∵C点为第四点,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0。∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0。又∵点SKIPIF1<0在图象上,∴SKIPIF1<0。∴A=2,∴SKIPIF1<0。(2)由题图知,振幅A=3,又SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0。由点SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0。∴SKIPIF1<0。【总结】(1)若已知“五点”之外的某点坐标,可将其代入方程SKIPIF1<0中求出SKIPIF1<0,但必须判断出该点坐标是在“五点”当中的哪两点之间。若在第一、二两点之间,则SKIPIF1<0;若在第二、三两点之间,则SKIPIF1<0;若在第三、四两点之间,则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;若第四、五两点之间,则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。(2)如果从图象可确定振幅和周期,则可直接确定函数式SKIPIF1<0中的参数A和ω,再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“SKIPIF1<0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得SKIPIF1<0。【变式2-3】已知函数SKIPIF1<0(A>0,ω>0,SKIPIF1<0)的图象的一个最高点为SKIPIF1<0,由这个最高点到相邻最低点,图象与x轴交于点(6,0),试求函数的解析式.【解析】由已知条件知SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,∴T=16,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.∵图象过点(6,0),∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0(k∈Z),又SKIPIF1<0,∴令k=1可得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.考点三:函数SKIPIF1<0的性质的综合运用例3.函数SKIPIF1<0的图象如图所示,试依图推出:(1)SKIPIF1<0的最小正周期;(2)SKIPIF1<0时x的取值集合;(3)使SKIPIF1<0的x的取值集合;(4)SKIPIF1<0的单调递增区间和递减区间;(5)使SKIPIF1<0取最小值时的x的取值集合;(6)图象的对称轴方程;(7)图象的对称中心;(8)要使SKIPIF1<0成为偶函数,应对SKIPIF1<0的图象作怎样的平移变换?【点拨】先由图象得到函数的最小正周期,后面的问题可迎刃而解。【解析】(1)SKIPIF1<0。(2)在一个周期SKIPIF1<0中,使SKIPIF1<0的x是SKIPIF1<0,π,SKIPIF1<0。故所求的x的取值集合是SKIPIF1<0。(3)使SKIPIF1<0的x的取值集合是SKIPIF1<0。(4)SKIPIF1<0的单调递增区间是SKIPIF1<0;单调递减区间是SKIPIF1<0。(5)SKIPIF1<0取最小值时x的取值集合是SKIPIF1<0。(6)对称轴方程是SKIPIF1<0。(7)对称中心是SKIPIF1<0。(8)要使SKIPIF1<0成为偶函数,可以把其图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度。【总结】较强的作图、识图能力是一项重要的数学能力,为数形结合解题提供了可能,在利用SKIPIF1<0的性质解题时,一定要与y=sinx的性质结合,更离不开对定义的理解和掌握。【变式3-1】已知函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0,图象上与点SKIPIF1<0最近的一个最高点是SKIPIF1<0.(1)求函数的解析式;(2)求函数SKIPIF1<0的递增区间.【解析】(1)依题意得:SKIPIF1<0,周期SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,又图象过点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(2)由SKIPIF1<0得:SKIPIF1<0故函数SKIPIF1<0的递增区间为:SKIPIF1<0.【变式3-2】已知函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0,图象上与点SKIPIF1<0最近的一个最高点是SKIPIF1<0。(1)求函数的解析式;(2)求函数SKIPIF1<0的递增区间。【解析】(1)依题意得:SKIPIF1<0,周期SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,又图象过点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0SKIPIF1<0。(2)由SKIPIF1<0得:SKIPIF1<0故函数SKIPIF1<0的递增区间为:SKIPIF1<0。【考点易错】1.已知函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0,为了得到函数SKIPIF1<0的图象,只要将SKIPIF1<0的图象()A.向左平移SKIPIF1<0个单位长度B.向右平移SKIPIF1<0个单位长度C.向左平移SKIPIF1<0个单位长度D.向右平移SKIPIF1<0个单位长度【点拨】对于不同三角函数图象之间的平移变换,一定要根据诱导公式将二者之间变换清楚.【答案】A【解析】由题知SKIPIF1<0又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0显然将SKIPIF1<0SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度便可得到SKIPIF1<0的图象.故选A.2.函数SKIPIF1<0(A>0,ω>0,SKIPIF1<0)的图象如图所示,为了得到y=cos2x的图象,则只要将f(x)的图象()A.向左平移SKIPIF1<0个单位长度B.向右平移SKIPIF1<0个单位长度C.向左平移SKIPIF1<0个单位长度D.向右平移SKIPIF1<0个单位长度【答案】C【解析】由图象可知A=1,T=π,∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴将函数f(x)向左平移SKIPIF1<0可得到SKIPIF1<0故选C.3.已知函数SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0)的周期为SKIPIF1<0,且图象上一个最低点为SKIPIF1<0.(Ⅰ)求SKIPIF1<0的解析式;(Ⅱ)当SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最值.【答案】(Ⅰ)SKIPIF1<0(Ⅱ)最小值为1,最大值为SKIPIF1<0.【解析】(1)由最低点为SKIPIF1<0由SKIPIF1<0由点SKIPIF1<0在图像上得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0(Ⅱ)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.4.已知函数SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(I)若SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的值;(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数SKIPIF1<0的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于SKIPIF1<0,求函数SKIPIF1<0的解析式;并求最小正实数SKIPIF1<0,使得函数SKIPIF1<0的图像象左平移SKIPIF1<0个单位所对应的函数是偶函数.【点拨】(1)把所给的式子化简,然后结合平方关系式得出SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求出SKIPIF1<0的值.(Ⅱ)由题意求得,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,进一步求出SKIPIF1<0的解析式.【答案】(I)SKIPIF1<0(Ⅱ)SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】(I)由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0.(Ⅱ)由(I)得,SKIPIF1<0依题意,SKIPIF1<0又SKIPIF1<0故SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的图像向左平移SKIPIF1<0个单位后所对应的函数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0是偶函数当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0从而,最小正实数SKIPIF1<0【总结升华】本题考查了同角三角函数的基本关系式及函数SKIPIF1<0的性质,属中等难度题.5.已知f(x)的定义域为[-π,π],且f(x)为偶函数,且当x∈[0,π]时,SKIPIF1<0.(1)求f(x)的解析式及f(x)的单调递增区间;(2)若SKIPIF1<0,求x的所有可能取值.【答案】(1)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0;(2)0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0【解析】(1)当x∈[―π,0]时,―x∈[0,π],SKIPIF1<0由于f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),故SKIPIF1<0,x∈(-π,0]即SKIPIF1<0.画出f(x)的图象由图象易得f(x)的单调增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.(2)方程等价于f(x)=0或SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时f(x)=0;当0或SKIPIF1<0时SKIPIF1<0综上可知x的所有可能取值为0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.【巩固提升】1.已知函数SKIPIF1<0在一个周期内,当SKIPIF1<0时,取得最大值2,当SKIPIF1<0时取得最小值-2,那么()SKIPIF1<0【答案】B【解析】A=2,SKIPIF1<0,代入点(SKIPIF1<0,2)得到SKIPIF1<02.函数y=2sin2x的图象可看成是由y=sinx的图象按下列哪种变换得到的?()A.横坐标不变,纵坐标变为原来的SKIPIF1<0倍B.纵坐标变为原来的2倍,横坐标变为原来的SKIPIF1<0倍C.横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍D.纵坐标变为原来的SKIPIF1<0倍,横坐标变为原来的2倍【答案】B【解析】SKIPIF1<0.3.已知函数SKIPIF1<0的最小正周期为π,将SKIPIF1<0的图象向左平移|SKIPIF1<0|个单位长度,所得图象关于y轴对称,则SKIPIF1<0的一个值是()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】由T=πSKIPIF1<0ω=2,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0,当k=0时,SKIPIF1<0.4.要得到函数y=sinx的图象,只需将函数y=SKIPIF1<0的图象()A.向右平移SKIPIF1<0个单位B.向右平移SKIPIF1<0个单位C.向左平移SKIPIF1<0个单位D.向左平移SKIPIF1<0个单位【答案】A【解析】y=sinx=cosSKIPIF1<0=cosSKIPIF1<0=SKIPIF1<0,∴须将y=cosSKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位.5.要得到y=SKIPIF1<0的图象,只需将y=SKIPIF1<0的图象()A.向左平移SKIPIF1<0个单位B.向右平移SKIPIF1<0个单位C.向左平移SKIPIF1<0个单位D.向右平移SKIPIF1<0个单位【答案】B【解析】y=sinSKIPIF1<0=sinSKIPIF1<06.为得到函数SKIPIF1<0的图象,只需将函数y=sinx的图象()A.向左平移SKIPIF1<0个单位长度B.向右平移SKIPIF1<0个单位长度C.向左平移SKIPIF1<0个单位长度D.向右平移SKIPIF1<0个单位长度【答案】C【解析】SKIPIF1<0.7.函数SKIPIF1<0的图象为C,①图象C关于直线SKIPIF1<0对称;②函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内是增函数;③由y=3sin2x的图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度可以得到图象C.以上三个结论中,正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】对于①,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,因此图象C关于直线SKIPIF1<0对称;对于②,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,k∈Z,令k=0,得函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内是增函数;对于③,由y=3sin2x的图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度可以得到SKIPIF1<0,故①②正确;③不正确.8.函数SKIPIF1<0的图象经平移后所得的图象关于点SKIPIF1<0中心对称.A.向左平移SKIPIF1<0个单位B.向左平移SKIPIF1<0个单位C.向右平移SKIPIF1<0个单位D.向右平移SKIPIF1<0个单位【答案】D【解析】设平移后得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时,y=0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,k=0,SKIPIF1<0,故向右平移SKIPIF1<0个单位.9.函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值为―2,其图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差是3π,又图象过点(0,1),则这个函数的解析式是()A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】由已知得A=2,T=2×π=6π,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,又图象过点(0,1),所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,选B.10.函数f(x)=2sinSKIPIF1<0,当f(x)取得最小值时,x的取值集合为()A.{x|x=4kπ-SKIPIF1<0π,k∈Z}B.{x|x=4kπ+SKIPIF1<0π,k∈Z}C.{x|x=4kπ-SKIPIF1<0,k∈Z}D.{x|x=4kπ+SKIPIF1<0,k∈Z}11.已知a是实数,则函数SKIPIF1<0的图象不可能是()【答案】D【解析】当a=0,图象如C;当0<a<1,图象如A;当1<a<2,图象如B;在D中,就振幅看a>1,就周期看0<a<1.12.若函数SKIPIF1<0对于任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立,则SKIPIF1<0的最小值为()A.1B.2C.SKIPIF1<0D.4【答案】B【解析】“对于任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立”的含义是SKIPIF1<0是函数的最小值,SKIPIF1<0是函数的最大值,SKIPIF1<0是使得函数取得最小值的一个自变量,SKIPIF1<0是使得函数取得最大值的一个自变量,那么,SKIPIF1<0的最小值应为半个周期.因为函数SKIPIF1<0的最小正周期为4,所以SKIPIF1<0的最小值为2.13.有下列四种变换方式:①向左平移SKIPIF1<0,再将横坐标变为原来的SKIPIF1<0;②横坐标变为原来的SKIPIF1<0,再向左平移SKIPIF1<0;③横坐标变为原来的SKIPIF1<0,再向左平移SKIPIF1<0;④向左平移SKIPIF1<0,再将横坐标变为原来的SKIPIF1<0.其中能将正弦曲线y=sinx的图象变为SKIPIF1<0的图象的是________.【答案】①②【解析】对于①,SKIPIF1<0,故①正确;对于②,SKIPIF1<0,故②正确.12.如图是函数SKIPIF1<0的图象的一部分,则A=________,SKIPIF1<0=________,SKIPIF1<0=________.【答案】22SKIPIF1<0【解析】由图象最高点及最低点的纵坐标可知A=2.由图象可得半周期SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,ω=2,所以SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,y=0,即SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.14.函数SKIPIF1<0(A,ω,SKIPIF1<0为常数,A>0,ω>0)在区间[-π,0]上的图象如下图所示,则ω=________.【答案】3【解析】SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.15.函数SKIPIF1<0
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