新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第26讲 Y=sin(wx+b)的图像与性质（解析版）

第26讲Y=sin(wx+b)的图像与性质【基础知识全通关】1.用五点法作函数SKIPIF1<0的图象用“五点法”作SKIPIF1<0的简图，主要是通过变量代换，设SKIPIF1<0，由z取SKIPIF1<0来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.【微点拨】用“五点法”作图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为SKIPIF1<0.2.函数SKIPIF1<0中有关概念SKIPIF1<0表示一个振动量时，A叫做振幅，SKIPIF1<0叫做周期，SKIPIF1<0叫做频率，SKIPIF1<0叫做相位，x=0时的相位SKIPIF1<0称为初相.3.由SKIPIF1<0得图象通过变换得到SKIPIF1<0的图象（1）振幅变换：SKIPIF1<0(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的(横坐标不变)，它的值域[-A，A]，最大值是A，最小值是-A.若A<0可先作y=-Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折.A称为振幅.（2）周期变换：函数SKIPIF1<0的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短SKIPIF1<0或伸长SKIPIF1<0到原来的SKIPIF1<0倍(纵坐标不变).若SKIPIF1<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图.SKIPIF1<0决定了函数的周期.（3）相位变换：函数SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当SKIPIF1<0＞0时)或向右(当SKIPIF1<0＜0时)平行移动SKIPIF1<0个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).【微点拨】一般地，函数SKIPIF1<0的图象可以看作是用下面的方法得到的：(1)先把y=sinx的图象上所有的点向左(SKIPIF1<0>0)或右(SKIPIF1<0<0)平行移动SKIPIF1<0个单位；(2)再把所得各点的横坐标缩短SKIPIF1<0或伸长SKIPIF1<0到原来的SKIPIF1<0倍(纵坐标不变)；(3)再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变).【考点研习一点通】考点一：三角函数SKIPIF1<0的图象例1.画出函数y=sin(x+SKIPIF1<0)，x∈R的简图.【解析】法一：(五点法)：列表xSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0x+SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0sin(x+SKIPIF1<0)010-10描点画图：法二：(图象变换)函数y=sin(x+SKIPIF1<0)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动SKIPIF1<0个单位长度而得到.【变式1-1】已知函数SKIPIF1<0．（1）作出函数的简图；（2）指出其振幅、周期、初相、值域．【解析】（1）SKIPIF1<0列表：xSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0y020－20描点画图，如下图所示：把SKIPIF1<0之间的图象向左、右扩展，即可得到它的简图．（2）振幅为2，周期为4π，初相是SKIPIF1<0，最大值为2，最小值为―2，故值域是[―2，2]．【变式1-2】如何由函数y=sinx的图象得到函数SKIPIF1<0的图象？【解析】解法一：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．解法二：SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【总结】本题用了由函数y=sinx（x∈R）的图象变换到函数SKIPIF1<0（x∈R）的两种方法，要注意这两种方法的区别与联系．考点二：三角函数SKIPIF1<0的解析式例2.如图，它是函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象，由图中条件，写出该函数解析式.【点拨】由图可以确定图象的振幅、周期，由此求出SKIPIF1<0，再由题意知，点(SKIPIF1<0，5)在此函数的图象上，由此求出SKIPIF1<0.【解析】A=5，SKIPIF1<0由点(SKIPIF1<0，5)在此函数的图象上，则法一：(单调性法)∵点SKIPIF1<0在递减的那段曲线上∴SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0.法二：(最值点法)将最高点坐标(SKIPIF1<0，5)代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0取SKIPIF1<0.法三：(起始点法)函数的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由SKIPIF1<0解得的，故只要找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得角SKIPIF1<0.由图象求得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0法四：(平移法)由图象知，将SKIPIF1<0的图象沿x轴向左平移SKIPIF1<0个单位，就得到本题图象，故所求函数为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【总结】错解：将SKIPIF1<0代入该式得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0或SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.代入点坐标时，通常利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标带入解析式，再结合图形的上升、下降趋势变化求出SKIPIF1<0.【变式2-1】函数SKIPIF1<0的图象如下图，确定A、ω、SKIPIF1<0的值，确定其一个函数解析。【点拨】本题主要考查正弦型函数SKIPIF1<0解析式的求法及识图能力，由图知A=3，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可由点SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0确定。【解析】方法一：（逐一定参法）由图象知，振幅A=3，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0。由点SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0。∴SKIPIF1<0。方法二：（待定系数法）由图象知A=3，又图过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，根据五点作图法原来（以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点），有SKIPIF1<0，解得ω=2，SKIPIF1<0。∴SKIPIF1<0。【总结】如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数式SKIPIF1<0中的参数A和ω，再选取“第一零点”（即五点作图法中的第一个点）的数据代入“SKIPIF1<0”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得SKIPIF1<0。【变式2=2】（1）已知函数SKIPIF1<0的图象如下图①所示，求解析式：（2）函数SKIPIF1<0的图象如下图②所示，确定A、ω、SKIPIF1<0的值，确定其一个函数解析式。【解析】（1）∵T=(2+1)×4=12，∴SKIPIF1<0。∵C点为第四点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0。∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0。又∵点SKIPIF1<0在图象上，∴SKIPIF1<0。∴A=2，∴SKIPIF1<0。（2）由题图知，振幅A=3，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0。由点SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0。∴SKIPIF1<0。【总结】（1）若已知“五点”之外的某点坐标，可将其代入方程SKIPIF1<0中求出SKIPIF1<0，但必须判断出该点坐标是在“五点”当中的哪两点之间。若在第一、二两点之间，则SKIPIF1<0；若在第二、三两点之间，则SKIPIF1<0；若在第三、四两点之间，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；若第四、五两点之间，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。（2）如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数式SKIPIF1<0中的参数A和ω，再选取“第一零点”（即五点作图法中的第一个点）的数据代入“SKIPIF1<0”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得SKIPIF1<0。【变式2-3】已知函数SKIPIF1<0（A＞0，ω＞0，SKIPIF1<0）的图象的一个最高点为SKIPIF1<0，由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于点（6，0），试求函数的解析式．【解析】由已知条件知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴T=16，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵图象过点（6，0），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（k∈Z），又SKIPIF1<0，∴令k=1可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．考点三：函数SKIPIF1<0的性质的综合运用例3．函数SKIPIF1<0的图象如图所示，试依图推出：（1）SKIPIF1<0的最小正周期；（2）SKIPIF1<0时x的取值集合；（3）使SKIPIF1<0的x的取值集合；（4）SKIPIF1<0的单调递增区间和递减区间；（5）使SKIPIF1<0取最小值时的x的取值集合；（6）图象的对称轴方程；（7）图象的对称中心；（8）要使SKIPIF1<0成为偶函数，应对SKIPIF1<0的图象作怎样的平移变换？【点拨】先由图象得到函数的最小正周期，后面的问题可迎刃而解。【解析】（1）SKIPIF1<0。（2）在一个周期SKIPIF1<0中，使SKIPIF1<0的x是SKIPIF1<0，π，SKIPIF1<0。故所求的x的取值集合是SKIPIF1<0。（3）使SKIPIF1<0的x的取值集合是SKIPIF1<0。（4）SKIPIF1<0的单调递增区间是SKIPIF1<0；单调递减区间是SKIPIF1<0。（5）SKIPIF1<0取最小值时x的取值集合是SKIPIF1<0。（6）对称轴方程是SKIPIF1<0。（7）对称中心是SKIPIF1<0。（8）要使SKIPIF1<0成为偶函数，可以把其图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度。【总结】较强的作图、识图能力是一项重要的数学能力，为数形结合解题提供了可能，在利用SKIPIF1<0的性质解题时，一定要与y=sinx的性质结合，更离不开对定义的理解和掌握。【变式3-1】已知函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，图象上与点SKIPIF1<0最近的一个最高点是SKIPIF1<0．（1）求函数的解析式；（2）求函数SKIPIF1<0的递增区间．【解析】（1）依题意得：SKIPIF1<0，周期SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，又图象过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0故函数SKIPIF1<0的递增区间为：SKIPIF1<0．【变式3-2】已知函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0，图象上与点SKIPIF1<0最近的一个最高点是SKIPIF1<0。（1）求函数的解析式；（2）求函数SKIPIF1<0的递增区间。【解析】（1）依题意得：SKIPIF1<0，周期SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，又图象过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0。（2）由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0故函数SKIPIF1<0的递增区间为：SKIPIF1<0。【考点易错】1．已知函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0，为了得到函数SKIPIF1<0的图象，只要将SKIPIF1<0的图象（）A．向左平移SKIPIF1<0个单位长度B．向右平移SKIPIF1<0个单位长度C．向左平移SKIPIF1<0个单位长度D．向右平移SKIPIF1<0个单位长度【点拨】对于不同三角函数图象之间的平移变换，一定要根据诱导公式将二者之间变换清楚．【答案】A【解析】由题知SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0显然将SKIPIF1<0SKIPIF1<0的图象向左平移SKIPIF1<0个单位长度便可得到SKIPIF1<0的图象．故选A．2.函数SKIPIF1<0（A＞0，ω＞0，SKIPIF1<0）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移SKIPIF1<0个单位长度B．向右平移SKIPIF1<0个单位长度C．向左平移SKIPIF1<0个单位长度D．向右平移SKIPIF1<0个单位长度【答案】C【解析】由图象可知A=1，T=π，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴将函数f（x）向左平移SKIPIF1<0可得到SKIPIF1<0故选C．3.已知函数SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的周期为SKIPIF1<0，且图象上一个最低点为SKIPIF1<0.(Ⅰ)求SKIPIF1<0的解析式；（Ⅱ）当SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最值.【答案】(Ⅰ)SKIPIF1<0（Ⅱ）最小值为1，最大值为SKIPIF1<0．【解析】（1）由最低点为SKIPIF1<0由SKIPIF1<0由点SKIPIF1<0在图像上得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（Ⅱ）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．4．已知函数SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（I）若SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数SKIPIF1<0的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的解析式；并求最小正实数SKIPIF1<0，使得函数SKIPIF1<0的图像象左平移SKIPIF1<0个单位所对应的函数是偶函数．【点拨】（1）把所给的式子化简，然后结合平方关系式得出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值．（Ⅱ）由题意求得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，进一步求出SKIPIF1<0的解析式．【答案】（I）SKIPIF1<0（Ⅱ）SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】（I）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0．（Ⅱ）由（I）得，SKIPIF1<0依题意，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0故SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的图像向左平移SKIPIF1<0个单位后所对应的函数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0是偶函数当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0从而，最小正实数SKIPIF1<0【总结升华】本题考查了同角三角函数的基本关系式及函数SKIPIF1<0的性质，属中等难度题．5.已知f（x）的定义域为[－π，π]，且f（x）为偶函数，且当x∈[0，π]时，SKIPIF1<0．（1）求f（x）的解析式及f（x）的单调递增区间；（2）若SKIPIF1<0，求x的所有可能取值．【答案】（1）SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（2）0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】（1）当x∈[―π，0]时，―x∈[0，π]，SKIPIF1<0由于f（x）为偶函数，则f（－x）=f（x），故SKIPIF1<0，x∈（－π，0]即SKIPIF1<0．画出f（x）的图象由图象易得f（x）的单调增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．（2）方程等价于f（x）=0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时f（x）=0；当0或SKIPIF1<0时SKIPIF1<0综上可知x的所有可能取值为0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【巩固提升】1.已知函数SKIPIF1<0在一个周期内，当SKIPIF1<0时，取得最大值2，当SKIPIF1<0时取得最小值-2，那么()SKIPIF1<0【答案】B【解析】A=2，SKIPIF1<0，代入点(SKIPIF1<0，2)得到SKIPIF1<02．函数y=2sin2x的图象可看成是由y=sinx的图象按下列哪种变换得到的？（）A．横坐标不变，纵坐标变为原来的SKIPIF1<0倍B．纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的SKIPIF1<0倍C．横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍D．纵坐标变为原来的SKIPIF1<0倍，横坐标变为原来的2倍【答案】B【解析】SKIPIF1<0．3．已知函数SKIPIF1<0的最小正周期为π，将SKIPIF1<0的图象向左平移|SKIPIF1<0|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则SKIPIF1<0的一个值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由T=πSKIPIF1<0ω=2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，当k=0时，SKIPIF1<0．4．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝SKIPIF1<0的图象()A．向右平移SKIPIF1<0个单位B．向右平移SKIPIF1<0个单位C．向左平移SKIPIF1<0个单位D．向左平移SKIPIF1<0个单位【答案】A【解析】y＝sinx＝cosSKIPIF1<0＝cosSKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴须将y＝cosSKIPIF1<0的图象向右平移SKIPIF1<0个单位．5．要得到y＝SKIPIF1<0的图象，只需将y＝SKIPIF1<0的图象()A．向左平移SKIPIF1<0个单位B．向右平移SKIPIF1<0个单位C．向左平移SKIPIF1<0个单位D．向右平移SKIPIF1<0个单位【答案】B【解析】y＝sinSKIPIF1<0＝sinSKIPIF1<06．为得到函数SKIPIF1<0的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移SKIPIF1<0个单位长度B．向右平移SKIPIF1<0个单位长度C．向左平移SKIPIF1<0个单位长度D．向右平移SKIPIF1<0个单位长度【答案】C【解析】SKIPIF1<0．7．函数SKIPIF1<0的图象为C，①图象C关于直线SKIPIF1<0对称；②函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内是增函数；③由y=3sin2x的图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度可以得到图象C．以上三个结论中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】对于①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此图象C关于直线SKIPIF1<0对称；对于②，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，k∈Z，令k=0，得函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内是增函数；对于③，由y=3sin2x的图象向右平移SKIPIF1<0个单位长度可以得到SKIPIF1<0，故①②正确；③不正确．8．函数SKIPIF1<0的图象经平移后所得的图象关于点SKIPIF1<0中心对称．A．向左平移SKIPIF1<0个单位B．向左平移SKIPIF1<0个单位C．向右平移SKIPIF1<0个单位D．向右平移SKIPIF1<0个单位【答案】D【解析】设平移后得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，y=0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，k=0，SKIPIF1<0，故向右平移SKIPIF1<0个单位．9．函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值为―2，其图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差是3π，又图象过点（0，1），则这个函数的解析式是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由已知得A=2，T=2×π=6π，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又图象过点（0，1），所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，选B．10．函数f(x)＝2sinSKIPIF1<0，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为()A．{x|x＝4kπ－SKIPIF1<0π，k∈Z}B．{x|x＝4kπ＋SKIPIF1<0π，k∈Z}C．{x|x＝4kπ－SKIPIF1<0，k∈Z}D．{x|x＝4kπ＋SKIPIF1<0，k∈Z}11．已知a是实数，则函数SKIPIF1<0的图象不可能是（）【答案】D【解析】当a=0，图象如C；当0＜a＜1，图象如A；当1＜a＜2，图象如B；在D中，就振幅看a＞1，就周期看0＜a＜1．12．若函数SKIPIF1<0对于任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．1B．2C．SKIPIF1<0D．4【答案】B【解析】“对于任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立”的含义是SKIPIF1<0是函数的最小值，SKIPIF1<0是函数的最大值，SKIPIF1<0是使得函数取得最小值的一个自变量，SKIPIF1<0是使得函数取得最大值的一个自变量，那么，SKIPIF1<0的最小值应为半个周期．因为函数SKIPIF1<0的最小正周期为4，所以SKIPIF1<0的最小值为2．13．有下列四种变换方式：①向左平移SKIPIF1<0，再将横坐标变为原来的SKIPIF1<0；②横坐标变为原来的SKIPIF1<0，再向左平移SKIPIF1<0；③横坐标变为原来的SKIPIF1<0，再向左平移SKIPIF1<0；④向左平移SKIPIF1<0，再将横坐标变为原来的SKIPIF1<0．其中能将正弦曲线y=sinx的图象变为SKIPIF1<0的图象的是________．【答案】①②【解析】对于①，SKIPIF1<0，故①正确；对于②，SKIPIF1<0，故②正确．12．如图是函数SKIPIF1<0的图象的一部分，则A=________，SKIPIF1<0=________，SKIPIF1<0=________．【答案】22SKIPIF1<0【解析】由图象最高点及最低点的纵坐标可知A=2．由图象可得半周期SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，ω=2，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，y=0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．14．函数SKIPIF1<0（A，ω，SKIPIF1<0为常数，A＞0，ω＞0）在区间[－π，0]上的图象如下图所示，则ω=________．【答案】3【解析】SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．15．函数SKIPIF1<0