数学学案：课堂导学求函数零点近似解的一种计算方法-二分法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、函数零点的性质【例1】函数f（x)=x3-2x2+3x—6在区间［—2,4］上的零点必定在（）A.［-2,1］内B.［,4]内C.［1，］内D。[，］内解析：由于f（-2)=-8-8—6—6=-28〈0,f（4）=64-32+12-6=38〉0，且f（)=f（1)=1—2+3-6=—4〈0,∴零点在区间［1,4］内。又f()=f（)=+—6=—11〉0,∴零点在区间［1，］内.又f()=f()<0，∴零点在区间[，]内.∴选D。答案：D二、求方程的近似解【例2】求方程2x3+3x-3=0的一个实数解,精确到0.01.思路分析：考查函数f(x）=2x3+3x—3,从一个两端函数值反号的区间开始,应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间。解：经试算，f（0）=—3<0,f(2）=19〉0,所以函数f(x）=2x3+3x-3在［0，2］内存在零点，即方程2x3+3x—3=0在［0,2］内有解.取［0,2］的中点1，经计算f（1）=2>0，又f（0)〈0，所以方程2x3+3x—3=0在[0,1］内有解。如此下去，得到方程2x3+3x-3=0实数解所在区间如下表所示。左端点右端点第1次02第2次01第3次0.51第4次0.50。75第5次0。6250.75第6次0.68750。75第7次0。718750。75第8次0.7343750。75第9次0.7343750。7421875∵0.7421875-0.734375=0.0078125<0.01。∴x10==0。73828125≈0。74为方程2x3+3x-3=0精确到0.01的一个实数解.三、函数零点的应用【例3】已知二次函数f（x）=ax2+bx+c.(1）若a>b>c且f（1）=0,证明f(x)必有两个零点;(2)若对x1、x2∈R且x1〈x2,f（x1）≠f（x2)，方程f（x）=［f(x1)+f（x2）］有两个不等实根，证明必有一实根属于（x1,x2）。证明:(1）∵f(1)=0，∴a+b+c=0。又∵a〉b〉c,∴a>0,c<0，即ac〈0.∴Δ=b2-4ac>0.∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根.故函数f(x）有两个零点.（2）令g(x）=f（x)[f（x1)+f（x2)],则g（x1)=f(x1）［f(x1)+f（x2)］=,g(x2）=f(x2）［f(x1)+f（x2）］=。∴g(x1)·g(x2)=[f（x1）—f（x2)］2。∵f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g（x2）〈0.∴g(x）=0在(x1，x2)内必有一实根。故f(x）=［f（x1）+f（x2）]在（x1,x2）内必有一实根.各个击破类题演练1函数y=lgx的零点所在的大致区间是…(）A.（6,7)B。(7，8)C。(8，9）D.（9，10)解析：代入验证，可知f(9）=lg9-1<0,f(10)=1〉0。∴f(9)·f（10)<0。答案:D变式提升1下列各图中函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是(）解析：用二分法只能求变号零点的近似值,而B中的零点是不变号零点，故选B.答案：B类题演练2求方程x3-4x+1=0的一个正数的零点.（精确到0.1)解析：设f（x）=x3-4x+1,由于f(1)=—2<0,f(2)=1〉0,故可取区间[1，2］作为计算的初始区间。用二分法逐次计算，列表如下:端点（中点）坐标计算中点的函数值取区间f（1)=-2〈0x1==1。5x2==1.75x3==1.875x4=1。813x5=1。844ff（2）=1〉0f（1。5）=-1。625〈0f(1.75)=-0.641〈0f（1.875）=0。092f(1。813）=—0。296f（1。844）=-0.107［1,2］[1.5,2］［1.75，2］［1.75，1。875]［1。813,1.875]由上表计算可知区间［1.813,1.875］的长度小于0.1，∴这个区间的中点1.8437为所求函数的一个正实数零点近似值.变式提升2先用求根公式求出方程2x2—3x—1=0的解，用二分法求出这个方程的近似解.（精确到0。1）解析：方程的两个解分别为x1=,x2=。取区间（1.775，1.8)和(—0.3，—0。275）。令f(x)=2x2-3x—1在区间(1.775,1。8)内，用计算器可算得f（1。775)=-0。02375,f（1。8）=0.08.于是f(1。775)\5f(1。8)〈0。∴方程在区间(1.775，1。8)内有一个解。又｜1。8-1.775｜=0.025〈0.1,此时区间（1.775，1。8）的两个端点精确到0.1的近似值都是1。8，∴方程在区间(1。775，1.8）内精确到0。1的近似解为1.8.同理，可得方程在区间（-0。3，-0。275)内精确到0.1的近似解为—0。3.类题演练3x1与x2分别是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0和—ax2+bx+c=0的一个根，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0.求证:方程x2+bx+c=0有且仅有一根介于x1与x2之间.证明:令f（x)=x2+bx+c.∵x1、x2分别是方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根,∴ax12+bx1+c=0,—ax22+bx2+c=0.故bx1+c=—ax12,bx2+c=ax22,f(x1）=x12+bx1+c=x12-ax12=ax12，f（x2）=x22+bx2+c=x22+ax22=ax22。∴f(x1）f（x2）=a2x12x22。∵a≠0，x1x2≠0，∴f（x1)·f（x2）<0.故方程x2+bx+c=0有且仅有一根介于x1与x2之间.变式提升3一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点（如图所示)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处焊口脱落,问至多需要检测的次数是多少？解析:对焊接点一一检测很麻烦,当然也是不需要的.只需选线路AB的中点C，然后判断出焊口脱落的点所在的线路为AC,还是BC,然后依次循环上述过程即可很快检验出焊点的位置，最多次数是6次.根据“二分法"的思想