新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第27讲 正弦定理、余弦定理及应用（原卷版）

第27讲正弦定理、余弦定理【基础知识网络图】【基础知识全通关】一、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：SKIPIF1<0【微点拨】（1）正弦定理适合于任何三角形，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外接圆半径）；（2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．（3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.二、余弦定理在△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0变形为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【微点拨】（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它=3\*GB3③已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用.三、三角形的面积公式(1)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的高(2)SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0四、三角形形状的判定方法设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C，解斜三角形的主要依据是：（1）角与角关系：由于A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；SKIPIF1<0；（2）边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b；（3）边与角关系：正弦定理、余弦定理常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边.【微点拨】=1\*GB3①化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.=2\*GB3②在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列.五、解三角形应用的分类（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；（3）角度问题；（4）面积问题.【考点研习一点通】考点01运用正余弦定理解三角形例1、在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值：（2）求SKIPIF1<0的值．【变式1-1】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【变式1-2】在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=（）A．1 B．2 C．3 D．4考点02利用正余弦定理判定三角形形状例2、△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【变式】(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为()A．直角三角形 B．等腰非等边三角形C．等边三角形 D．钝角三角形考点03运用正余弦定理解决三角形的面积例3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcosC＋ccosB＝2acosA．(1)求角A的大小；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\r(3)，求△ABC的面积．【变式】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c＝eq\r(3)，cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB．(1)求角C的大小；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求△ABC的面积．考点04利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题例4、某市电力部门需要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A，B两地距离．现测量人员在相距eq\r(3)km的C，D两地(假设A，B，C，D在同一平面上)，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A，B距离的eq\f(4,3)倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？【变式4-1】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(eq\r(3)－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A为2nmile的C处的缉私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？考点05正余弦定理在三角形中的运用例5、如图，在SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．ABCD（1）求SKIPIF1<0的值；ABCD（2）求SKIPIF1<0的长．【变式5-1】如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2eq\r(10)，∠CAD＝eq\f(π,4)，tan∠ADC＝－2.(1)求CD的长；(2)求△BCD的面积．【变式5-2】如图，在四边形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝eq\r(65)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝50.(1)求cos∠BAC的值；(2)求sin∠CAD的值；(3)求△BAD的面积．【考点易错】1.如图，在△ABC中，∠B＝SKIPIF1<0，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝SKIPIF1<0．(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C＝2B．(1)求cosB的值；(2)若b2＝ac，求sinAsinC的值．3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0．（1）求sinC的值；（2）当a＝2，2sinA＝sinC时，求b及c的长．4.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知SKIPIF1<0＝2，cosB＝SKIPIF1<0，b＝3，求：(Ⅰ)a和c的值；(Ⅱ)cos(B－C)的值．5.SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF1<0（=1\*ROMANI）求C；（=2\*ROMANII）若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长．6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知SKIPIF1<0.(1)求证:SKIPIF1<0(2)若,求△ABC的面积.7.设锐角三角形SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的大小；（2）求SKIPIF1<0的取值范围．【巩固提升】1、在△ABC中，cosC=SKIPIF1<0，AC=4，BC=3，则cosB=A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为SKIPIF1<0，沿点A向北偏东SKIPIF1<0前进100m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为SKIPIF1<0，则“泉标”的高度为（）A．50m B．100m C．120m D．150m4.SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为_________．5、某小区有一个四边形草坪ABCD，∠B＝∠C＝120°，AB＝40m，BC＝CD＝20m，则该四边形ABCD的面积等于__________m2．6、如图，一栋建筑物的高为(30－10eq\r(3))m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为________m．7、SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.（I）求B；（II）若SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0的面积.8、如图，甲船从A处以每小时30海里的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A北偏西105°方向且与A相距10eq\r(2)海里处．当甲船航行20分钟到达C处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的D处，此时两船相距10海里．