数学学案：课堂探究对数及其运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一对数式与指数式的互化由对数的定义知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式，其关系如下表：式子名称意义axN指数式ax＝N底数指数幂a的x次幂等于N对数式logaN＝x底数对数真数以a为底N的对数等于x【典型例题1】完成下表指数式与对数式的转换．题号指数式对数式(1)103＝1000（2）log39＝2（3）log210＝x（4)e3＝x解析：（1)103＝1000⇔log101000＝3，即lg1000＝3；(2）log39＝2⇔32＝9；（3)log210＝x⇔2x＝10;(4）e3＝x⇔logex＝3，即lnx＝3。答案：(1）lg1000＝3（2)32＝9（3)2x＝10（4)lnx＝3探究二对数基本性质的应用1．对数恒等式alogaN＝N的应用(1)能直接应用对数恒等式的求值．（2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．2．利用对数的基本性质求值时经常用到两个关键的转化(1)logax＝1⇔x＝a（a〉0，且a≠1)．（2)logax＝0⇔x＝1(a〉0,且a≠1）．我们常用其来实现一些较复杂的指数式的转化．【典型例题2】(1)若log3(lgx）＝1，则x＝__________；(2）求值：4＝__________。解析：(1)∵log3（lgx）＝1，∴lgx＝3。∴x＝103＝1000.（2)原式＝2(log29－log25)＝＝.答案：（1）1000(2)点评在对数的相关运算中,除了对数的定义外，应灵活应用如loga1＝0，logaa＝1，alogaM＝M等常用性质,另外要特别注意真数与底数的取值要求,做到及时检验．探究三对数运算法则的应用对数运算法则的使用技巧及注意事项：1．“收”：同底的对数式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂等，然后化简求值，如log24＋log25＝log220.2．“拆”：将式中真数的积、商、幂等运用对数的运算法则把它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值，如log2＝log29－log25。3．各字母的取值范围即字母的取值必须保证底数大于0且不等于1，真数大于0。4．注意“同底”这个化简的方向，因为同底的对数才可能利用对数的运算法则．5．要保证所得结果中的对数与化简过程中的对数都有意义．【典型例题3】化简下列各式：(1）4lg2＋3lg5－lg；（2)；(3)2log32－log3＋log38－5.思路分析:利用对数的运算法则，将所给式子转化为积、商、幂的对数．解：(1)原式＝lg＝lg(24×54)＝lg（2×5）4＝4；（2）原式＝＝＝；(3)原式＝2log32－（5log32－2)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.点评(1）注意对数运算法则的正用和逆用；(2)综合运用对数运算法则时应注意掌握变形技巧，如化为最简形式或统一底数等．探究四对数换底公式的应用1．应用换底公式表示已知对数的两个策略2．利用换底公式进行化简求值的技巧及常见处理方式(1)技巧:“化异为同”，即将不同底的对数尽量化为同底的对数来计算．（2)常见的三种处理方式：①借助运算性质：先利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底求解．②借助换底公式：一次性地统一换为常用对数(或自然对数)，再化简、通分、求值．③利用对数恒等式或常见结论：有时可熟记一些常见结论，这样能够提高解题效率．【典型例题4】(1)计算lg－lg＋lg12.5－log89·log98的值;（2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.解：(1)原式＝lg－·＝lg10－1＝0.（2)方法一：∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b。于是log3645＝＝＝＝＝。方法二:∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b。于是log3645＝＝＝。方法三：∵log189＝a，18b＝5，∴lg9＝alg18，lg5＝blg18.∴log3645＝＝＝＝＝.点评在解题过程中,根据问题的需要将指数式转化为对数式，或者将对数式转化为指数式，这正是数学转化思想的具体体现，要注意学习、体会，逐步达到灵活应用．探究五易错辨析易错点忽视底数的限制条件而致误【典型例题5】已知log（x＋3)（x2＋3x)＝1，求实数x的值．错解:由对数的性质，可得x2＋3x＝x＋3,解得x＝1或x＝－3。错因分析：错解中忽视了对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1