专题13-相似三角形中的圆的切线问题专练(一)(解析版)九下数学专题培优训练

第=page22页，共=sectionpages22页专题13相似三角形中的圆的切线问题专练（一）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，C是劣弧AB的中点，连接BC并延长交PA于D，若PDAD=23，则CDCBA.13 B.23 C.35【答案】B【分析】连接OA、OB，过B作BE//PA与PO的延长线交于点E，证明Rt△OAP≌Rt△OBP，进而可得CDCB=PDPA．

本题主要考查了圆的切线长定理，圆的切线的性质，相似三角形的性质与判定，关键是构造相似三角形．

【解答】解：连接OA、OB，过B作BE//PA与PO的延长线交于点E，

∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，

∴∠OAP=∠OBP=90°，OA=OB，PA=PB，

∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL)，

∴∠APE=∠BPE，∠AOP=∠BOP，

∴OP平分AB，

∵C是劣弧AB的中点，

∴点C在OP上，

∵BE//PA，

∴∠BEP=∠APE=∠BPE，

∴BE=PB=PA，

∵BE//PA，

∴△PCD∽△ECB，

∴DCBC=PDEB，

∴CD如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E，若DE=4，AC=2，则⊙O的半径为(

)A.6 B.15 C.17 D.2【答案】C【分析】

本题考查矩形的判定与性质，切线的性质，平行线分线段成比例，求得BC的长是解题的关键，属于中档题．

连接OD交CB于点F，根据AD平分∠BAC及OA=OD，得AE//OD，结合DE是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，得到四边形FDEC是矩形；根据AE//OD，AO=BO，得到BC=2CF=8，在中，运用勾股定理得到AB=217，即可得到⊙O的半径．

【解答】

解：如图，连接OD交CB于点F，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAB=∠DAE，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠DAE，

∴AE//OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠OFC=90°，

∵过点D的切线交AC的延长线于点E，

∴OD⊥DE，

∴四边形FDEC是矩形，

∴CF=DE=4，

∵AE//OD，AO=BO，

∴BC=2CF=8，

在中，

AB=BC2+AC2=8如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③点P是△ACQ的外心；④AC2=AE⋅AB；A.①③⑤ B.②④⑤ C.①②⑤ D.①③④【答案】D【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，所对的弦相等，据此推理可得①正确，②错误；通过推理可得∠ACE=∠CAP，得出AP=CP，再根据∠PCQ=∠PQC，可得出PC=PQ，进而得到AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，故P为Rt△ACQ的外心，即可得出③正确；连接BD，则∠ADG=∠ABD，根据∠ADG≠∠BAC，∠BAC=∠BCE=∠PQC，可得出∠ADG≠∠PQC，进而得到CB与GD不平行，可得⑤错误．

此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质以及三角形的外接圆与圆心的综合应用，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．解题时注意：弦切角等于弦所对的圆周角．

【解答】解：∵在⊙O中，点C是AD的中点，

∴AC=CD，

∴∠CAD=∠ABC，故①正确；

∵AC≠BD，

∴AD≠BC，

∴AD≠BC，故②错误；

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∵CE⊥AB，

∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°，

∴∠ACE=∠ABC，

又∵C为AD的中点，

∴AC=CD，

∴∠CAP=∠ABC，

∴∠ACE=∠CAP，

∴AP=CP，

∵∠ACQ=90°，

∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠PQC=90°，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ，

∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，

∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；

由∠ACB=∠AEC=90°，∠ACE=∠ABC，

可得△ABC∽△ACE，可得AEAC=ACAB，

可得AC2=AE⋅AB，故④正确；

如图，连接BD，则∠ADG=∠ABD，

∵AC≠BD，

∴AD≠如图，直线PA是⊙O的切线，且AB是⊙O的直径，连接OP交⊙O于点D.过点A作AC⊥OP交⊙O于点C，垂足为E，连接BC.若PA=3OA=3，则BC的长为(    )

A.12 B.23 C.255【答案】D【分析】

此题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理的应用等.求得三角形相似是本题的关键．

首先要根据圆的性质，直径所对的圆周角是直角，再根据切线的性质可得∠PAO=90°，在Rt△AOP中，由勾股定理求出OP长，由AC⊥OP，∠ABC=90°，得PO//BC，根据平行线的性质，可得∠AOP=∠CBA，所以可证得△ABC∽△POA，根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例可求得BC的长．

【解答】

解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵PA是⊙O的切线，

∴∠OAP=90°，

∵AC⊥OP，∠ACB=90°

BC//OP，

∴∠AOP=∠CBA，

则△ABC∽△POA，

OABC=OPAB

∵PA=3OA=3，

∴OA=1，AB=2，PA=3，

在Rt△OAP中，

∴OP=10，如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE，CB于点P，Q，连结AC.给出下列结论： ①∠BAD=∠ABC; ②AD=CB; ③点P是△ACQ的外心; ④GP=GD; ⑤CB//GD.其中正确的结论有(    )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【分析】

此题是圆的综合题，其中涉及到切线的性质，圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，平行线的判定，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．

根据切线的性质、垂径定理、圆周角定理、弧与弦的关系、三角形的外心的定义、等腰三角形的判定方法．平行线的判定方法一一判断即可．

【解答】

解：

∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，

∴ AC =  CD ≠  BD，

∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；

∵AC ≠  BD，

∴AC +  CD ≠  BD +  CD，

即

AD ≠  BC，

∴AD≠BC，故②错误；

∵弦CE⊥AB于点F，

∴A为

 CE的中点，即

AE =  AC，

又∵C为

AD的中点，

∴  AC =  CD，

∴ AE =  CD，

∴∠CAP=∠ACP，

∴AP=CP．

∵AB为圆O的直径，

∴∠ACQ=90°，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ，

∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，

∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；

连接OD，

则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，

∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EPA+∠FAP=∠FAP+∠GPD=90°，

∴∠GPD=∠GDP；

∴GP=GD，故④正确；

∵CE⊥AB，

∴ BC =  BE，

∵ 如图，AB为⊙O的直径，BC，CD是⊙O的切线，切点分别为点B，D.点E为线段OB上的一个动点，连接AD，OD，CE，DE.已知AB=25，BC=2，当CE+DE的值最小时，则CEDE的值为(    )

A.53 B.23 C.910【答案】C【分析】

本题是圆的综合题，主要考查了切线长定理，切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理以及轴对称—最短路线问题等知识，问题较复杂，作的辅助线较多，正确作辅助线是解决问题的关键．延长CB到F使得BC=BF，则C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，此时CE+DE=DF值最小，连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H，先求得BG，再求BH，进而DH，运用相似三角形得EFDE=BFDH，便可得解．

【解答】

解：延长CB到F使得BC=BF，则C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，此时CE+DE=DF值最小，

连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H，

则OC⊥BD，OC=OB2+BC2=5+4=3，

∵CB⊥OB，∠COB=∠BOG，

ΔCOB∽ΔBOG，

∴BCBG=OCOB，

∴OB⋅BC=OC⋅BG，

∴BG=235，

∴BD=2BG=二、填空题如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=CB，已知∠BAO=25∘，OA=2.下列结论：①BC是⊙O的切线；②∠AQB=65∘；③▵CBP与▵ABQ相似：④AQB的长为239π.正确的是________(写出正确结论的序号【答案】①②④【分析】

本题主要考查切线的判定和弧长的计算以及圆周角定理等知识的综合运用，①连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠PBC，等量代换得到∠APO=∠CBP，根据OC⊥OA，即可得到∠CBO=90°，从而得到BC是⊙O的切线；②根据等腰三角形和三角形内角和定理得到∠AOB=130°，根据圆周角定理即可得到结论；③△CBP是等腰三角形，而点Q是⊙O的优弧AB上的一点，无法证明△ABQ是等腰三角形，即无法证明▵CBP与▵ABQ相似；④根据弧长公式即可得到AQB的长，据此判断即可得到答案．

【解答】证明：①连接OB，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵PC=CB，

∴∠CPB=∠PBC，

∵∠APO=∠CPB，

∴∠APO=∠CBP，

∵OC⊥OA，

∴∠AOP=90°，

∴∠OAP+∠APO=90°，

∴∠CBP+∠ABO=90°，

∴∠CBO=90°，

∴BC是⊙O的切线；故①正确；

②∵∠BAO=25°，

∴∠ABO=25°，

∴∠AOB=180°−25°−25°=130°

∴∠AQB=12∠AOB=12×130°=65°；故②正确；

③∵在△CBP中，CP=CB，

∴△CBP是等腰三角形，

∵点Q是⊙O的优弧AB上的一点，

∴无法证明△ABQ是等腰三角形，

∴无法证明▵CBP与▵ABQ相似，

故③错误；

④∵∠AOB=130°，OA=2，

∴AQB

如图9，AB是的直径，AD是的切线，点C在上，，AB=2，OD=3，则BC的长为_________。【答案】2【分析】

此题主要考查了圆周角定理、切线的性质以及相似三角形的判定和性质，能够根据已知条件得到与所求相关的相似三角形，是解题的关键．由于OD//BC，可得同位角∠B=∠AOD，进而可证得Rt△AOD∽Rt△CBA，根据相似三角形所得比例线段即可求出BC的长．

【解答】

解：∵OD//BC，

∴∠AOD=∠B；

∵AD是⊙O的切线，

∴AD是○O的切线，AB为圆O的直径，

∴∠OAD=∠ACB=90°，

∴Rt△AOD∽Rt△CBA，

∴BCOA=ABOD，即BC1=如图，圆O是锐角△ABC的外接圆，D是弧AB的中点，CD交AB于点E，∠BAC的平分线交CD于点F，过点D的切线交CA的延长线于点P，连接AD，则有下列结论：

①点F是△ABC的重心；

②PD//AB；

③AF=AE；

④DF2=DE⋅CD，

其中正确结论的序号是______【答案】②④【分析】结论②④正确，利用垂径定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质即可解决问题．

本题考查三角形的重心，内心，切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用切线的性质解决问题，属于中考常考题型．

【解答】解：∵D是弧AB的中点，

∴∠ACD=∠BCD，

∵AF平分∠CAB，

∴点F是△ABC的内心，故①错误，

连接OD，

∵PD是切线，

∴OD⊥PD，

∵AD=DB，

∴OD⊥AB，

∴PD//AB，故②正确，

∵∠AFE=∠FAC+∠ACF，AEF=∠B+∠ECB，∠ACF=∠ECB，∠CAF与∠B不一定相等，

∴∠AFE与∠AEF不一定相等，

∴AE与AF不一定相等，故③错误，

∵∠DAF=∠EAF+∠EAD，∠AFD=∠FAC+∠ACF，∠FAC=∠FAE，∠EAD=∠DCB=∠ACF，

∴∠DAF=∠DFA，

∴DA=DF，

∵∠ADE=∠ADC，∠DAE=∠DCB=∠DCA，

∴△ADE≌△CDA，

∴ADCD=DEAD，

∴AD2如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，点C在⊙O上，BC//OD，AB=2，OD=3，则BC的长为______．【答案】2【分析】由于OD//BC，可得同位角∠B=∠AOD，进而可证得Rt△AOD∽Rt△CBA，根据相似三角形所得比例线段即可求出BC的长．

此题主要考查了圆周角定理、切线的性质以及相似三角形的判定和性质，能够根据已知条件得到与所求相关的相似三角形，是解题的关键．

【解答】解：∵OD//BC，

∴∠AOD=∠B；

∵AD是⊙O的切线，

∴BA⊥AD，AB为圆O的直径，

∴∠OAD=∠ACB=90°，

∴Rt△AOD∽Rt△CBA，

∴BCOA=ABOD如图，⊙O是锐角△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH // BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF。下列结论：①BF⌢=FC⌢；②连接DC，点F为△BCD的外心；③若EF=4，DE=3，则AD=234；④BECE【答案】①②④【分析】此题主要考查了切线的性质、圆周角定理及相似三角形的判定和性质．

①连接OF，通过切线的性质证OF⊥FH，进而由FH//BC，得OF⊥BC，即可由垂径定理得到F是弧BC的中点即可；

②由三角形外角性质和同弧所对的圆周角相等可得∠BDF=∠FBD，可得BF=DF=CF，可得点F为△BDC的外心；

③由EF、DE的长可得出DF的长，进而可由②的结论得到BF的长；然后证明△FBE∽△FAB，根据相似三角形得到的成比例线段，可求出AF的长，即可由AD=AF−DF求出AD的长；

④如图2，过点C作CG//AB，交AF的延长线于点G，通过证明△BAE∽△CGE，可得

【解答】解：如图1，连接OF，CF，

①解：∵FH是⊙O的切线，

∴OF⊥FH，

∵FH//BC，

∴OF⊥BC，且OF为半径，

∴OF垂直平分BC，

故①正确，

②解：∵∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2，

∴∠1+∠4=∠2+∠3，

∴∠1+∠4=∠5+∠3，

∵∠1+∠4=∠BDF，∠5+∠3=∠FBD，

∴∠BDF=∠FBD，

∴BF=FD，且BF=CF，

∴BF=DF=CF，

∴点F为△BDC的外心，

故②正确；

③解：

在△BFE和△AFB中

∵∠5=∠2=∠1，∠AFB=∠AFB，

∴△BFE∽△AFB

④解：

如图2，过点C作CG//AB，交AF的延长线于点G，

∵CG//AB，

∴∠BAE=∠EGC，且∠BAE=∠CAE，

∴∠CAE=∠CGE，

∴AC=CG，

∵CG//AB，

∴△BAE∽△CGE，

如图，AB为半圆的直径，点D在半圆弧上，过点D作AB的平行线与过点A半圆的切线交于点C，点E在AB上，若DE垂直平分BC，则AECD=______．【答案】5【分析】连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，可证四边形ACHB是矩形，可得AC=BH，AB=CH，由垂直平分线的性质可得BE=CE，CD=BD，可证CE=BE=CD=DB，通过证明Rt△ACE≌Rt△HBD，可得AE=DH，通过证明△ACD∽△DHB，可得AC2=AE⋅BE，由勾股定理可得BE2−AE2=AC2，可得关于BE，AE的方程，即可求解．

本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，列出关于BE，AE的方程是本题的关键．

【解答】解：连接CE，过点B作BH⊥CD交CD的延长线于点H，

∵AC是半圆的切线

∴AC⊥AB，

∵CD//AB，

∴AC⊥CD，且BH⊥CD，AC⊥AB，

∴四边形ACHB是矩形，

∴AC=BH，AB=CH，

∵DE垂直平分BC，

∴BE=CE，CD=BD，且DE⊥BC，

∴∠BED=∠CED，

∵AB//CD，

∴∠BED=∠CDE=∠CED，

∴CE=CD，

∴CE=BE=CD=DB，

∵AC=BH，CE=BD，

∴Rt△ACE≌Rt△HBD(HL)

∴AE=DH，

∵CE2−AE2=AC2，

∴BE2−AE2=AC2，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADC+∠BDH=90°，且∠ADC+∠CAD=90°如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，下列四个结论中：①AC平分∠DAB；②PC= PF；③PF2= PB· PA；④若tan∠ABC =43，BE =72，则PC的长为12.其中正确的结论有：_______________【答案】①②③【分析】

此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质.①由PD切⊙O于点C，AD与过点C的切线垂直，易证得OC//AD，进而证得AC平分∠DAB；②由已知推出∠PFC=∠PCF，即可证得PC=PF；③证明△PAC∽△PCB，即可证得PF2 = PB· PA；④首先连接AE，易得AE=BE，即可求得AB的长，根据△PAC∽△PCB和tan∠ABC=43，可得PCPB=43，设PC=4k，PB=3k，BE=72，利用勾股定理求得PC的值即可得到答案．

【解答】

解：①∵PD切⊙O于点C，

∴OC⊥PD，

又∵AD⊥PD，

∴OC//AD，

∴∠ACO=∠DAC，

又∵OC=OA，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB．

故①正确；

②∵AD⊥PD，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴∠PCB+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠PCB，

又∵∠DAC=∠CAO，

∴∠CAO=∠PCB，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACF=∠BCF，

∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，

∴∠PFC=∠PCF，

∴PC=PF．

故②正确；

③∵PD切⊙O于点C，

∴∠PAC=∠PCB，

又∵∠P=∠P，

∴△PAC∽△PCB，

∴PCPB=PAPF，

∵PC=PF，

∴PFPB=PAPF，

∴PF2=PB·PA．

故③正确；

④连接AE，如图所示，

∵CE平分∠ACB，

∴AE=BE，

∴AE=BE=72，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°．

在Rt△ABE中，AB=AE2+BE2=14，

∴OB=12AB=7，

∵△PAC∽△PCB，

∴PCPB=ACBC，

又三、解答题如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E时AC的中点，F是射线AC上一点，作FG⊥AC交直线BC于点G，过E、F、G作⊙O，⊙O交BC于点H，连接GE、EH．

(1)当AF=1时，求FG的长；

(2)当点F在线段AC上时，若△EFG与△EHG全等，求⊙O的半径；

(3)当⊙O与矩形各边所在的直线相切时，求AF的长．【分析】(1)首先求出CF的长度，再证明△ABC和△GFC相似，即可求出FG的长度；

(2)把△EFG与△EHG全等当作已知条件，通过△ABC和△GFC相似即可求出⊙O的半径；

(3)连接圆心与切点，过点O作直线BC的垂线，通过垂径及勾股定理求出GH的长，再通过△ABC和△GFC相似即可求出AF的长．

本题考查了相似三角形，切线的性质，垂径定理等，有一定难度，综合性强，解题的关键是对各知识掌握要全面．

【解答】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∴AC=AB2+BC2=10，

∵E是AC中点，

∴AE=CE=5，

∴EF=EA−AF=4，CF=AC−AF=9，

∵∠ACB=∠ACB，∠ABC=∠GFE=90°，

∴△ACB∽△GCF，

∴CBCF=ABGF，

∴89=6GF，

∴GF=274；

(2)①如图1−1，当△EFG≌△EHG时，

∵∠GFE=90°，

∴GE是⊙O直径，∠EHG=90°，

∴EH//AB，

∴△CEH∽△CAB，

∴EHAB=CECA=12，

∴EH=EF=12AB=3，

∴CF=8，

由(1)知，△ACB∽△GCF，

∴CBCF=ABGF，

∴FG=6，

在Rt△EFG中，GE=GF2+EF2=35，

∴⊙O的半径是352；

②如图2−2，当△EFG≌△EHG时，

由①知EF=EH=3，CH=12CB=4，

∴FC=EC−EF=2，

∵∠FCG=∠FCG，∠CFG=∠ABC=90°，

∴△CFG∽△CBA，

∴CFCB=CGCA，

即28=CG10，

∴CG=52，

∴HG=4−52=32，

∴EG=GF2+HG2=352，

∴⊙O的半径是354；

综上所述，当点F在线段AC上时，若△EFG与△EHG全等，⊙O的半径是352或354；

(3)①如图2−1，当⊙O与直线AB相切点N时，连接ON，作OM⊥BC于M，

则GM=HM，

∴HM=4−r，

∴GH=8−2r，

在Rt△EGH中，

EG2=GH2+EH2，

∴(2r)2=32+(8−2r)2，

∴r=7332，

∴BH=8−2r=5516，

∴CG=CH+GH=11916，

∵△CFG∽△CBA，

∴CFCB=CGCA，

∴CF8=1191610，

∴CF=11920，

∴AF=AC−CF=8120；

②如图2−2，当⊙O与直线BC相切时，切点与H，G重合，

∵△CFG∽△CBA，

∴CFCB=CGCA，

∴CF8=410，

∴CF=165，

∴AF=AC−CF=345；

③如图2−3，当⊙O与直线如图1，在边长为5的菱形ABCD中，cos∠BAD=35，点E是射线AB上的点，作EF⊥AB，交AC于点F．

(1)求菱形ABCD的面积；

(2)求证：AE=2EF；

(3)如图2，过点F，E，B作⊙O，连结DF，若⊙O与△CDF的边所在直线相切，求所有满足条件的AE的长度．【分析】(1)如图1中，作DH⊥AB于H.在Rt△ADH中，由∠AHD=90°，AD=5，cos∠DAH=35，推出AH=3，DH=52−32=4，即可解决问题；

(2)如图1中，BD与AC交于点G.在Rt△DHB中，可得BD=DH2+BH2=22+42=25，由四边形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，BG=DG=5，AG=AB2−BG2=52−(5)2=25，由△AEF∽△AGB，推出AEAF=AGBG=255=2，即可解决问题；

(3)分三种情形分别求解：①如图2中，当⊙O与直线DF相切时．②如图3中，当⊙O与AC相切时．③如图4中，当⊙O与CD相切于点M.分别求解即可；

本题考查圆综合题、菱形的性质、直线与圆的位置关系、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．

【解答】(1)解：如图1中，作DH⊥AB于H．

在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=5，cos∠DAH=35，

∴AH=3，DH=52−32=4，

∴S菱形ABCD=AB⋅DH=5×4=20．

(2)证明：如图1中，BD与AC交于点G．

在Rt△DHB中，∵DH=4，BH=2，

∴BD=DH2+BH2=22+42=25，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BG=DG=5，AG=AB2−BG2=52−(5)2=25，

∵∠EAF=∠BAG，∠AEF=∠AGB=90°，

∴△AEF∽△AGB，

∴AEAF=AGBG=255=2，

∴AE=2EF．

(3)解：①如图2中，当⊙O与直线DF相切时，易知，∠BFD=90°，DF=BF．

∵BD=25，

∴BF=10，设EF=x，则AE=2EF=2x，

在Rt△BEF中，∵BF2=EF2+BE2，

∴10=x2+(5−2x)2，

解得x=1或3，

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC、AB的延长线于点E、F，DG⊥AB于点G，连接BD．

(1)求证：△AED∽△DGB；

(2)求证：EF是⊙O的切线；

(3)若BFDF=33，【分析】本题为圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，平行线的判定和性质，弧长的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．

(1)根据圆周角定理得到∠ACB=∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠AED=∠ACB=90°，由三角形内角和定理得到∠ADE=∠ABD，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；

(2)连接OD，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠EAF=∠DOF，求得AE//OD，根据平行线的性质得到OD⊥EF，于是得到EF是⊙O的切线；

(3)根据余角的性质得到∠DAF=∠BDF，根据相似三角形的性质得到ADDB=AFDF=DFBF=3，根据勾股定理得到AD=43，求得BD=4，根据三角函数的定义得到∠DAB=30°，根据弧长公式即可得到结论．

【解答】(1)证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

∵BC//EF，

∴∠AED=∠ACB=90°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠DAB，

∴∠ADE=∠ABD，

∵DG⊥AB，

∴∠BGD=∠AED=90°，

∴△AED∽△DGB；

(2)证明：如图，连接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠DOF=∠OAD+∠ADO=2∠DAF，

∵∠EAF=2∠DAF，

∴∠EAF=∠DOF，

∴AE//OD，

∵AE⊥EF，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线；

(3)解：∵∠EAD+∠ADE=90°，

∴∠DAF+∠ADE=90°，

∵∠BDF+∠ADE=90°，

∴∠DAF=∠BDF，

∵∠DFB=∠AFD，

∴△ADF∽△DBF，

∴ADDB=AFDF=DFBF=3，

∵AD2+B如图，已知AC是⊙O的直径，∠ACB=60°，连结AB，过A、B两点分别作⊙O的切线，两切线交于点P，连接OP交AB于D．

(1)求证：OP//BC；

(2)求证：AD2=OD⋅【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．

(1)连接OB，根据切线长定理得到PA=PB，∠APO=∠BPO，根据等腰三角形的性质，顶角平分线OP垂直平分