自动控制原理-控制系统的数学模型

第二章

控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型2-1线性微分方程的建立与求解2-2传递函数

2-3控制系统的结构图及其等效变换2-4自动控制系统例题

2学习要点1.掌握典型元件的传递函数2.根据系统原理图或系统方框图能建立系统的结构图3.熟练掌握采用结构图变换方法求闭环系统传递函数4.熟练掌握采用梅逊公式计算系统的闭环传递函数3引言要对自动控制系统进行定量地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。控制系统数学模型是对实际物理系统的一种数学抽象描述方法：微分方程、传递函数、结构图、信号流图频率特性以及状态空间描述同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。控制系统数学模型的类型时域模型微分方程频域模型频率特性方框图=原理图＋数学模型复（S）域模型传递函数41.建立系统数学模型的方法:

---分析法、实验法2-1系统线性微分方程的建立与求解◆实验法（黑箱法、辨识法）：

人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型或用适当的数学模型去逼近。

黑匣子输入（充分激励）输出（测量结果）◆分析法根据系统运动规律(定律、经验公式)和结构参数,推导系统输入输出之间数学关系。5设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：

c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。2.线性系统的基本特征性质：满足叠加原理6第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量,得到描述系统输出、输入关系的微分方程。第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的输出输入的数学表达式。利用适当物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫定律、能量守恒定律等。3.系统微分方程的建立步骤7

例

如图所示，写出RLC电路的微分方程。------二阶线性微分方程解：输入量，输出量第一步：环节数学表达式第二步：消去中间变量8补充：拉普拉斯变换与反变换1、拉氏变换定义

设函数f(t)满足

①t<0时f(t)=0

②t>0时，f(t)分段连续

则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作

控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限92、拉氏变换基本定理1）线性定理：2）延迟定理：3）微分定理：零初始条件：函数f(t)及其各阶导数的初始值都等于零零初始条件下，105）初值定理：

若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数f(t)

的初值为4）积分定理：6）终值定理：

若函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，sF(s)在包含虚轴的右半平面内无极点，则函数f(t)

的终值为注意：在运用终值定理前必须先判定条件是否满足，比如在右半平面上有极点11f(t)F(s)单位脉冲1单位阶跃1(t)单位速度t指数单位加速度正弦函数3、工程上典型函数的拉氏变换12F(s)化成下列因式分解形式：

4、拉氏反变换◆F(s)中具有单极点时，可展开为

ò¥+¥-=jjstjdsesFtfssp)()(21查表实现13例1求的原函数解：将F(s)的分母因式分解为拉氏反变换得14◆F(s)含有r重极点时，可展开为

15例2求的原函数解：164.线性微分方程的求解拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤：（1）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉式变换，变成变量s的代数方程。（2）由变量s的代数方程求出系统输出量的拉式变换式。（3）对输出量的拉式变换式进行拉式反变换，得到系统微分方程的解。

17

例

设线性微分方程为式中，为单位阶跃函数，初始条件为，，试求该微分方程的解。解：（1）对微分方程中的各项进行拉式变换得（2）将初始条件代入上式，得18（3）对式（1）进行分解：式中对Y（s）进行拉式反变换（查表）19式中，为单位阶跃函数，初始条件为零，试求

例

设线性微分方程为解：对微分方程中的各项进行拉式变换得式中20若取某一平衡状态为工作点,如图,A点附近有点，当很小时，AB段可近似看作线性的。非线性环节微分方程的线性化

对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项，得到等效的线性环节。设具有连续变化的非线性函数:y=f(x)AByx05.非线性元件(环节)微分方程的线性化经典控制领域，主要研究线性定常控制系统线性定常系统：描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程。可以应用叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。21若

很小，则

，即

式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。设f(x)在

点连续可微，则将函数在该点展开为泰勒级数得：非线性环节微分方程的线性化AByx0为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。22设双变量非线性方程为：，工作点为则可近似为：