《高等数学》课件第2章

第2章导数与微分

2.1导数2.2函数的求导法则2.3隐函数及参数方程所确定的函数的求导法则

2.4高阶导数2.5微分本章小结2.1导数

2.1.1两个经典问题导数是微分学中最基本的概念之一，来源于实际问题.为了说明导数的基本概念，我们首先讨论两个问题：变速直线运动的速度和平面曲线的切线斜率问题.引例2-1变速直线运动的瞬时速度.分析：在匀速直线运动中，物体在各个时刻的速度不变，公式为但对于变速直线运动而言，物体在不同时刻的速度不全相同.上述公式只能反映物体在某个时间间隔上的平均速度，而不能反映某一时刻运动的快或慢.要想精确地表示物体在运动中各个时刻的快或慢，需要进一步研究任一时刻的速度，即瞬时速度.设一物体在数轴上作直线运动，s表示时刻t物体所在位置的坐标，显然，s是t的函数，即s=s(t)，习惯上将该函数叫做位置函数.那么，对物体在非匀速直线运动过程中某一时刻t0的速度如何理解并求得呢？首先选取时刻t0到t0+Δt这样一个时间间隔，在该时间段上，物体运动的路程为Δs=s(t0+Δt)－s(t0)运动的平均速度为由于变速直线运动的速度是连续变化的，因此时间间隔Δt越小，平均速度就越接近时刻t0时的瞬时速度v(t0).当Δt无限趋近于零时，平均速度将无限地趋近于时刻t0

的瞬时速度.故当Δt→0时，如果平均速度的极限存在，那么就把该极限定义为物体在时刻t0处的瞬时速度.即引例2-2平面曲线的切线斜率.分析：在中学数学中，圆的切线被定义为“与圆只有一个交点的直线”.但是，对于一般曲线而言，就不能把与曲线只有一个交点的直线定义为曲线的切线.例如，对于立方抛物线y=x3，在坐标原点O处，x轴、y轴都与曲线相交且只有交点O.显然，x轴是曲线的切线，而y轴不是它的切线.下面利用极限给出一般曲线切线的定义.如图2-1所示，设曲线y=f(x)上有定点M0(x0，y0)和动点M(x+Δx，y+Δy)，作割线M0M.当动点M沿着曲线趋向于定点M0时，割线M0M的极限位置M0T就定义为曲线在点M0处的切线，过M0且与切线垂直的直线叫做曲线在点M0处的法线.图2-1割线M0M的斜率为其中φ为割线M0M的倾斜角.当Δx→0时，点M将沿着曲线无限趋于点M0，上式的极限存在，即由切线的定义可知，该极限就是曲线在点M0处的切线M0T的斜率，其中α是切线M0T的倾斜角.2.1.2导数的概念虽然上面两个实际问题的背景各不相同，但从数学结构上看，却具有完全相同的形式.在自然科学和工程技术领域内，还有许多的量，如电流强度、化学反应速度、角速度等都具有这种形式，即为函数的增量与自变量增量之比在自变量的增量趋于零时的极限.数学上，把这种形式的极限定义为函数的导数.

1.导数的定义

定义2-1设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在点x0处取得增量Δx(≠0)时，函数f(x)有相应的增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0).如果当Δx→0时存在，则称f(x)在点x0处可导，并将该极限称为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作f′(x0)，也可记为y′(x0)或、.如果不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导注意:导数的定义也可用其他的不同形式表述，常见的有导数是概括了各种各样的变化率而得出的一个更为抽象的概念，不考虑自变量和因变量所代表的特殊意义，纯粹从数量上描述变化率本质的.因变量的增量Δy与自变量的增量Δx之比是因变量y在以x0和x0+Δx为端点的区间上的平均变化率；而导数y′(x0)则是因变量在点x0处的变化率，反映了因变量相对于自变量变化的快慢程度.如果函数y=f(x)在区间(a，b)内的每一点都可导，则称函数y=f(x)在区间(a，b)内可导，于是，对于任意x∈(a，b)，都有一个确定值f′(x)与之对应，这样就确定了一个新函数.我们称这个新函数为函数y=f(x)在区间(a，b)内的导函数，简称导数，记作y′、f′(x)、或.导函数计算公式为注意:求极限过程中x是不变的.显然f′(x0)是函数y′=f′(x)在x0处的函数值，即有了导数的概念，引例2-1和引例2-2可以重述为:

(1)变速直线运动在时刻t0处的瞬时速度，就是位置函数s=s(t)在t0处对时间t的导数，即

(2)平面曲线的切线斜率是曲线纵坐标y在该点处对横坐标x的导数，即

2.左、右导数既然函数y=f(x)在x0处的导数是比值当Δx→0时的极限，而极限有左、右之分，故把下面两个极限分别叫做函数y=f(x)在点x0处的左导数和右导数，分别记作f′－

(x0)和f′+(x0).根据极限与左、右极限的关系，有下列定理.

定理2-1函数y=f(x)在点x0处的左、右导数存在且相等是函数y=f(x)在点x0处可导的充分必要条件.

3.利用定义求导数

根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数可以分为三步：

(1)求增量Δy=f(x+Δx)－f(x)；

(2)算比值；

(3)取极限.一般地，对于求幂函数xu的导数，有如下公式:其中，u为任意常数.例2-3求函数y=sinx的导数.解

(1)求增量:(2)算比值：(3)取极限:即(sinx)′=cosx

类似地，可以得到(cosx)′=－sinx

例2-4求对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的导数.解

(1)求增量:

(2)算比值:

(3)取极限:即

例2-5(边际利润)在经济数学中，边际利润定义为产量增加一个单位时所增加的总利润.解设某产品产量为x单位时总利润为A=A(x)，当产量由x变为x+Δx时，总利润函数的改变量为ΔA=A(x+Δx)－A(x)总利润函数的平均变化率为它表示产量由x变到x+Δx时，在平均意义下的边际利润.当总利润函数A=A(x)可导时，其变化率

表示该产品产量为x时的边际利润，即边际利润是总利润函数关于产量的导数.

类似地，在经济数学中，边际成本定义为多生产一个单位产品所增加的成本投入，即C′(x).其中C(x)表示生产量为x时的总成本投入.2.1.3导数的意义

1.导数的几何意义

由引例2-2可知，函数y=f(x)在点x0处的导数就是它所表示的曲线在点M0(x0，y0)处的切线M0T的斜率.即K=tanα=f′(x0)故曲线y=f(x)在点M0(x0，y0)处的切线方程为y－y0=f′(x0)(x－x0)若f′(x0)≠0，则曲线y=f(x)在点M0(x0，y0)处的法线方程为若f′(x)=0，则y=f(x)在点(x0，y0)处的切线平行于x轴，切线方程为y=y0，法线方程为x=x0.

若f′(x)=∞，则y=f(x)在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，切线方程为x=x0，法线方程为y=y0.例2-6求立方抛物线y=x3在点(1，1)处的切线和法线方程.

解因为y′=3x2，由导数的几何意义可知，曲线y=x3

在点(1，1)处的切线斜率为K=y′|x=1=3所以所求的切线方程为y－1=3(x－1)即y=3x－2法线方程为即2.1.4可导与连续的关系

设函数y=f(x)在点x处可导，即存在，由极限的运算法则得由函数连续性的定义可知函数在x处连续，故有如下结论：定理2-2如果函数y=f(x)在点x处可导，那么函数f(x)在点x处一定连续.但其逆命题不一定成立，即函数y=f(x)在x处连续未必在x处可导.例2-7讨论函数在x=0处的连续性与可导性.解如图2-2所示，因为Δy=f(0+Δx)－f(0)=|Δx|所以故在x=0处连续.在点x=0处左导数又因为函数在点x=0处右导数左、右导数不相等，所以函数在该点不可导.因此，函数连续是可导的必要条件而非充分条件.一般地，若曲线y=f(x)的图像在点xO处出现“尖点”，如图2-2所示，则它在该点不可导.因此，若函数在一个区间内有连续的导数时，则其图像不出现“尖点”，称之为光滑曲线.2.2函数的求导法则

2.2.1导数的四则运算法则

引例2-3(物体的运动速度)已知某物体作直线运动，路程s(单位m)与时间t(单位s)的函数关系为s=t2－tlnt+5，t∈[1，5].求物体在t=2s时的速度.

分析:问题即为求导数.因为s的表达式较复杂，所以直接用定义求解很繁琐，是否有便捷的方法呢？可以看到，s是由t2、t、lnt、5这四个基本初等函数通过加、减、乘法运算组成的，而这四个基本初等函数的导数都有现成的公式可用，因此若能找到导数的四则运算法则，则问题迎刃而解.定理2-3如果函数u=u(x)、v=v(x)都在点x处可导，则函数u(x)±v(x)、u(x)v(x)、也在点x处可导，且有(1)

[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x)；[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)；

(3)(v(x)≠0).注意:上述导数的四则运算法则中，法则(1)、(2)可以推广到有限个函数的情形，即(u±v±w)′=u′±v′±w′(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′其中，u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)都在点x处可导.在法则(2)中，如果u(x)=c(c为常数)时，则(cv)′=cv′.

根据导数的四则运算法则，引例2-3的解为s′=(t2－tlnt+5)′=2t－[t′lnt+t(lnt)′]+0=2t－lnt－1则即物体在t=2s时的速度约为2.3069m/s.例2-8求函数的导数.解

例2-9求函数y=tanx的导数.解即(tanx)′=sec2x

类似地，可得(cotx)′=－csc2x

(secx)′=secxtanx

(cscx)′=－cscxcotx

例2-10设，求f′(x).解例2-11

某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果，时间t后冰箱的温度，问冰箱温度关于时间的变化率是多少？解

即冰箱温度T关于时间t的变化率是.2.2.2反函数的求导法则

定理2-4如果单调函数x=g(y)在点y处可导，且g′(y)≠0，那么其反函数y=f(x)在对应点x处可导，且有或者例2-12求y=ax(a>0，a≠1)的导数.

解因为y=ax是x=logay的反函数，且x=logay在(0，+∞)内单调可导，又所以即(ax)′=axlna

特别地，当a=e时，有(ex)′=ex

例2-13求反正弦函数y=arcsinx的导数.解因为y=arcsinx(-1≤x≤1)是的反函数，又x=siny在区间内单调可导，且所以即(-1<x<1)类似地，可得(-1<x<1)例2-14

y=arctanx的导数.解因为y=arctanx(-∞<x<+∞)是x=tany的反函数，又x=tany在内单调可导，且有所以即类似地，可得2.2.3复合函数的求导法则

引例2-4设函数y=(2x+3)2，求y′.分析:因为y′=[(2x+3)2]′=(4x2+12x+9)′=8x+12，函数y=(2x+3)2可看成由函数y=u2和u=2x+3复合而成的，其中u是中间变量.由于，因而也就是说，对于复合函数y=(2x+3)2，有定理2-5(复合函数的求导法则)设函数u=φ(x)在点x处可导，函数y=f(u)在相应的u处可导，则复合函数y=f[φ(x)]在点x处也可导，且有或复合函数求导法则可叙述为：复合函数关于自变量的导数，等于函数对于中间变量的导数乘以中间变量对于自变量的导数.

注意:该法则可以推广到多个中间变量的情形.例如：y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则由它们复合的函数y=f{φ[ψ(x)]}的导数

例2-15求函数y=cos2x的导数.解

y=cos2x可看做是由y=cosu和u=2x复合而成，故y′=(cos2x)′=(cosu)′u(2x)′=－2sinu=－2sin2x

例2-16求函数y=ln(tan3x)的导数.解

y=ln(tan3x)可看做是由y=lnu、u=tanv、v=3x复合而成的，故由以上几个例子可以看出，应用复合函数求导法则求函数导数的关键，是把函数正确地分解成基本初等函数或常数与基本初等函数的四则运算，然后由外向里逐层求导.如果对复合函数的求导法则熟练后，那么在求导过程中就可以不设置中间变量，直接求复合函数的导数.例2-17求函数的导数.解

例2-18求函数的导数.解

例2-19河水以8m3/s的流量流入水库中，水库形状是长为4000m、顶角为120°的水槽，如图2-3所示.问水库水深20m时，水库的水面每小时上升多少？图2-3解如图2-3所示，设水库水深为h时，其中水的总体积为v，则

其中，v和h都是时间t的函数.上式两边对t求导，得

由题设条件可知:所以，当h=20m/s时，

即水库水深20m时，其水面每小时上升约0.104m.例2-20一长为5m的梯子斜靠在墙上，如果梯子下端以0.5m/s的速度滑离墙壁，试求梯子下端离墙3m时，梯子上端向下滑落的速度.

解设x表示梯子下端离墙的距离，y表示梯子上端到地面的距离，如图2-4所示.x和y是时间t的函数，显然，x，y满足方程x2+y2=25方程式两边对t求导，得解得当x=3时，y=4，以及题设，代入上式得.即梯子上端向下滑落的速率为.图2-42.2.4初等函数的导数至此，已经介绍了所有基本初等函数导数的求法，建立了函数的四则运算求导法则、反函数及复合函数的求导法则.运用上述法则和基本初等函数的导数，就可以求出初等函数的导数.现归纳如下：

1.导数的基本公式

(1)

(C)′=0(C为常数)；

(2)

(xu)′=uxu－1(u为常数);

(3)

(ax)′=axlna;

(4)

(ex)′=ex;(5)；(6)；(7)

(sinx)′=cosx；(8)

(cosx)′=－sinx

；(9)

(tanx)′=sec2x；(10)

(cotx)′=－csc2x

；(11)

(secx)′=secxtanx；(12)

(cscx)′=－cscxcotx;(13)；；；

(16)

.2.函数求导的四则运算法则(1)［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).(2)［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);

［Cu(x)］′=Cu′(x).(3)

(v(x)≠０)；(v(x)≠０)

3.反函数的求导法则设y=f(x)是x=g(y)的反函数，则(g′(y)≠０)

4.复合函数的求导法则设y=f(u)，u=φ(x)，则复合函数y＝f[φ(x)]的导数为{f[φ(x)]}′=f′(u)φ′(x)2.3隐函数及参数方程所确定的函数的

求导法则

2.3.1隐函数的求导法则

以前遇到的函数都是一个变量明显地用另一个变量的解析式直接表示的，即可表示为y=f(x)的形式，如y=2x+3，y=x+ln(4x)，y=cos5x.这种形式的函数称之为显函数.但有些函数的表示方式却不同，例如方程x+y5+2=0与ey－x+y=0分别表示一个函数，因为当自变量x在(－∞，+∞)内每取一值时，变量y有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，这种函数关系隐含在方程x+y5+2=0和ey－x+y=0中，通常称之为隐函数.一般地，把由方程式F(x，y)=0所确定的函数y=f(x)叫做隐函数.有些隐函数可以转化成显函数.例如，由方程x+y5+2=0确定的隐函数可转化为显函数，该过程称为隐函数的显化.有些隐函数不能显化，如由方程式ey－x+y=0所确定的隐函数.实际中有时需要计算隐函数的导数，因此，可以找到一种不需要显化而直接能由方程求出它所确定的隐函数导数的方法：把方程F(x，y)=0中的y看做x的函数y=f(x)，把它代入方程得新方程F[x，y(x)]=0，方程式两边同时对x求导，利用复合函数求导法则，得到一个关于x、y、y′的方程式，解出y′，即得所求隐函数的导数.例2-21求由方程ey－x+y=0确定的隐函数的导数y′.

解方程式两边同时对x求导，得eyy′－1+y′=0所以注意:隐函数导数的表示式中一般含有y，这点与显函数不同.例2-22求由方程y5+2y－x－3x7=0确定的隐函数在x=0处的导数y′(0).

解方程式两边同时对x求导，得5y4y′+2y′－1－21x6=0所以当x=0时，由方程得y=0.故例2-23求曲线3y2=x3+x2在点(2，2)处的切线方程.解方程式两边同时对x求导，得6yy′=3x2+2x

所以(y≠0)故于是，切线方程为即4x－3y－2=02.3.2对数求导法

形如y=u(x)v(x)[u(x)>0]的函数，称之为幂指函数.对于幂指函数以及由若干个因子通过乘、除、乘方所构成的较复杂的函数求导时，直接用前面介绍的求导法则很麻烦，可以先在函数两边取对数，再利用隐函数求导法求其导数，把这种方法称为对数求导法.

例2-24求y=xsinx(x>0)的导数.解等式两边同时取对数，得lny=sinxlnx等式两边对x求导，得所以例2-25设(cosy)x=(sinx)y，求y′.解等式两边同时取对数，得xlncosy=ylnsinx

等式两边对x求导，得所以例2-26设，求y′.解等式两边同时取对数，得上式两边同时对x求导，得所以2.3.3由参数方程所确定的函数求导法平面曲线的方程，除了可用显函数y=f(x)和隐函数F(x，y)=0表示外，还可以用参数方程表示.例如，研究斜上抛物体运动(不计空气阻力)时，如图2-5所示，物体的运动规律为其中，v1、v2分别是物体初速度的水平和垂直分量；g是重力加速度；t是时间；x、y分别是物体在水平、垂直方向上运动的位移.图2-5在上述运动方程中，

x、y均为t的函数，因此，x与y之间通过t联系，这样y与x之间存在着确定的函数关系，消去该运动方程中的t，得这就是由参数方程确定的函数式.一般地，如果参数方程确定y是x的函数，则称该函数是由参数方程所确定的函数.对于参数方程所确定的函数求导，一般不需要消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求导，直接由参数方程便可求其导数.如果x=φ(t)，y=ψ(t)都可导，且φ′(t)≠0，又x=φ(t)具有单调连续的反函数t=φ－1(x)，则参数方程确定的函数就可看成是y=ψ(t)与t=φ－1(x)复合而成的.由复合函数与反函数的求导法则，得例2-27求摆线(0≤t≤2π)(1)在任何点处的切线斜率；(2)在点处的切线方程.解

(1)摆线在任何点处切线斜率为

(2)当时，摆线上相应点M0的坐标为摆线在点M0处切线斜率于是，切线方程为即2.4高阶导数

2.4.1高阶导数的概念引例2-5(变速直线运动的加速度)火箭在发射后的某一段时间内运行的轨迹是直线，设火箭在该段时间内的运动方程为s=f(t)，试求火箭在时刻t的加速度a.分析:我们已推导火箭在时刻t的速度为，可以看到，速度仍然是时间变量t的函数.给定时间变量t一个增量Δt，对应的速度函数的增量为Δv=v(t+Δt)－v(t)，则比值称为在时间区间[t，t+Δt]内的平均速度.于是，火箭在时刻t的加速度可定义为这就是说，加速度是速度对时间的导数.因为v(t)=f′(t)，所以加速度又可表示为上式表明，加速度是路程对时间的导数的导数，我们称之为二阶导数.a=v′(t)=[f′(t)]′例如，自由落体的运动方程为速度为加速度为a=v′(t)=(gt)′=g

这与物理学中的结论是一致的.一般地，如果函数y=f(x)的导数y′=f′(x)仍然可导，就把y′=f′(x)的导数称为函数y=f(x)的二阶导数，记作或相应地，y=f(x)的导数y′=f′(x)叫做函数y=f(x)的一阶导数.类似地，函数y=f(x)的二阶导数的导数称为函数y=f(x)的三阶导数；三阶导数的导数叫做四阶导数；……一般地，函数y=f(x)的(n－1)阶导数的导数叫做函数y=f(x)的n阶导数，分别记作或且有或二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.函数y=f(x)在点x0处的各阶导数值，是其各阶导数在点x0处的函数值，即2.4.2求导举例由函数高阶导数的定义可知，求高阶导数并不需要新的方法，只要把求一阶导数的方法逐阶去用，直到所求的阶数即可.

例2-28求函数y=2x+1的二阶导数.

解

y′=2，y″=0.

例2-29(刹车测试)某一汽车厂在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车行驶的路程s(单位：m)与时间t(单位：s)满足s=19.2t－0.4t3.假设汽车作直线运动，求汽车在t=3s时的速度和加速度.解汽车刹车后的速度为车刹车后的加速度为t=3s时汽车的速度为t=3s时汽车的加速度为

例2-30求函数y=xn(n∈N)的n阶导数.解由于y′=nxn－1

y″=n(n－1)xn－2

y=n(n-1)(n-2)xn-3

以此类推，得y(n)=n!因而有y(n+1)=0也就是说，函数y=xn(n∈N)的一切阶数高于n阶的导数都为零.例2-31求正弦函数y=sinx的n阶导数.解一般地，可得类似地，可得例2-32求y=ln(1+x)(x>－1)的n阶导数.解

一般地，可得例2-33设ey+xy=e，求f″(0).解方程式两边同时对x求导，得y′ey+y+xy′=0所以上式再对x求导，得把代入上式，得把x=0代入原等式，得y=1，故例2-34求方程(0≤t≤2π)所确定函数的二阶导数.分析:因为参数方程的导数所以由于公式不易记忆，因此在解题时通常不套用公式.解2.5微分

2.5.1微分的概念

引例2-6一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由x0变到x0+Δx，如图2-6所示.求此薄片的面积改变了多少？

图2-6分析:如图2-6所示，设正方形薄片的边长为x0、面积为A，那么.薄片受温度变化的影响，面积变为(x0+Δx)2，面积A的改变量为ΔA=(x0+Δx)2－x02=2x0Δx+(Δx)2

上式包含两个部分，第一部分2x0Δx是Δx的线性函数，即图2-6中带有斜线的两个矩形面积之和；第二部分(Δx)2

在图2-6中是空白的小正方形的面积，因为，所以第二部分(Δx)2是比Δx高阶的无穷小.由此可见，如果边长x的改变量Δx的绝对值很小时，可以将第二部分(Δx)2这个高阶无穷小忽略，面积增量ΔA可近似地用第一部分代替.即ΔA≈2x0Δx

又因为所以，有ΔA≈A′(x0)Δx

抛开该问题的实际背景，从数量关系上看，当一个函数y=f(x)在x0处可导时，在x0处对自变量x任取增量Δx，相应的函数增量可以表示成两部分，一部分是自变量增量的线性部分，系数是该点的导数；另一部分是比自变量增量高阶的无穷小.当自变量增量的绝对值很小时，函数的增量可用该点的导数与自变量增量之积近似代替.上述结论对一般函数y=f(x)而言，只要其在x0点可导都成立，说明如下：设函数y=f(x)在点x处可导，在x处任取增量Δx，相应地y有增量Δy，于是有

根据函数极限与无穷小的关系，可得其中α为无穷小，即因此Δy=f′(x)Δx+αΔx

上式的第一部分f′(x)Δx是Δx的线性函数，当f′(x)≠0时，是和Δx同阶的无穷小；在第二部分中，因为，所以第二部分是比Δx高阶的无穷小.因此，当|Δx|很小时，第二部分可以忽略.于是第一部分就成了Δy的主要部分，因而有近似公式Δy≈f′(x)Δx通常，当f′(x)≠0时，称f′(x)Δx为Δy的线性主部.定义2-2设函数y=f(x)在某区间内有定义，x及x+Δx在这区间内.如果函数的增量Δy=f(x+Δx)－f(x)可表示为Δy=AΔx+o(Δx)其中A是不依于Δx的常数，那么称函数y=f(x)在x处可微；把AΔx叫做函数y=f(x)在点x处的微分，记作dy，即dy=AΔx.由引例2-6的讨论可知，当y=f(x)在点x处可导时，一定有Δy=f′(x)Δx+o(Δx)由微分的定义可知，函数一定在x处可微，且dy=f′(x)Δx

当函数y=f(x)在点x处可微时，由定义可知，存在常数A且有下式成立：Δy=AΔx+o(Δx)上式两边同除以Δx，得于是，当Δx→0时，由上式可得因此，如果函数y=f(x)在点x处可微，那么函数y=f(x)在点x处一定可导，且

f′(x)=A由此可见，函数y=f(x)在点x处可微的充要条件是:函数y=f(x)在点x处可导.即一元函数的可导与可微是等价的，其关系为dy=f′(x)Δx

当函数y=x时，函数的微分dy=dx=Δx，即dx=Δx

因此，规定自变量的微分等于自变量的增量，即dx=Δx.这样，函数y=f(x)的微分可以写成dy=f′(x)Δx=f′(x)dx

上式两边同除以dx，有注意:微分与导数虽有密切联系，但它们是有区别的，导数是函数在某一点处的变化率，而微分是函数在某一点处当自变量有增量时，函数增量的主要部分；导数的值只与x有关，而微分的值与x和Δx都有关.例2-35求函数y=x3当x=2和Δx=0.02时的微分.解先求函数在任意点x的微分dy=(x3)′Δx=3x2Δx

再求函数当x=2和Δx=0.02时的微分例2-36求函数y=x2在x=1处的微分.解函数y=x2在x=1处的微分为dy=(x2)′|x=1Δx=2Δx

2.5.2微分的几何意义

为了较直观地了解微分，需要讨论微分的几何意义.在直角坐标系中，函数y=f(x)的图形是一条曲线，如图2-7所示.对于某一固定的x0的值，曲线上有一个确定的点M0(x0，y0)，当自变量x有微小增量Δx时，得到曲线上另一点M(x0+Δx，y0+Δy)，过点M0作曲线的切线M0T，其倾斜角为α，则即由此可知，微分dy=f′(x0)Δx就是当x有改变量Δx时，曲线y=f(x)在点(x0，y0)处的切线上纵坐标的改变量.用dy近似代替Δy，就是用点M(x0，y0)处切线纵坐标的改变量来近似代替曲线y=f(x)的纵坐标的改变量.当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|小得多，因此，在点M0附近可用切线段近似地代替曲线段.图2-72.5.3微分的运算法则

函数y=f(x)的微分等于导数f′(x)乘以dx，根据导数公式和导数运算法则，可得到相应的微分公式和运算法则.

1.微分的基本公式

(1)d(C)=0(C为常数)；

(2)d(xu)=uxu－1dx(u为常数);

(3)d(ax)=axlnadx；

(4)

d(ex)=exdx；(5)；(6)；(7)

d(sinx)=cosxdx；(8)d(cosx)=－sinxdx;(9)d(tanx)=sec2xdx；(10)d(cotx)=－csc2xdx；(11)d(secx)=secxtanxdx；(12)d(cscx)=－cscxcotxdx；(13)；(14)；(15)；(16).2.函数和、差、积、商的微分运算法则(1)d(u±v)=du±dv；(2)d(uv)=vdu+udv；(3)d(cu)=cdu，(c为常数)；(4)，(v≠0).

3.复合函数的微分运算法则设函数y=f(u)，根据微分的定义，当u是自变量时，函数y=f(u)的微分是dy=f′(u)du

如果u不是自变量，而是x的可导函数，即u=φ(x)，则复合函数y=f[φ(x)]的导数为y′=f′(u)φ′(x)于是，函数的微分为dy=f′(u)φ′(x)dx

因为φ′(x)dx=du

所以dy=f′(u)du

由此可知，无论u是自变量还是中间变量，函数y=f(u)的微分总是保持同一形式，即dy=f′(u)du，这一性质称为一阶微分的形式不变性.利用它求复合函数，特别是隐函数的导数或微分比较方便.例2-37设y=cos(2x+1)，求dy.解解法一:由公式dy=f′(x)dx得dy=[cos(2x+1)]′dx=－2sin(2x+1)dx

解法二：由一阶微分形式不变性得dy=d[cos(2x+1)]=－sin(2x+1)d(2x+1)

=－sin(2x+1)·2dx=－2sin(2x+1)dx

例2-38设，求dy.

解解法一:由公式dy=f′(x)dx得解法二:由一阶微分形式不变性得例2-39求方程x2+2xy－y2=a2确定的隐函数y=f(x)的微分及导数.解方程式两边求微分，得2xdx+2ydx+2xdy－2ydy=0(x+y)dx=(y－x)dy

即故例2-40利用微分求由参数方程确定的函数的一阶和二阶导数.解因为dy=costdt，dx=－sintdt，所以利用导数为微分之商得2.5.4微分在近似计算中的应用

1.计算函数增量Δy的近似值如果函数y=f(x)在点x0处可微，由微分的定义以及微分与导数间的关系得Δy=f′(x0)Δx+ο(Δx)当f′(x0)≠0、|Δx|相对很小时，有Δy≈f′(x0)Δx=dy这是计算函数增量Δy的近似公式，即微分在近似计算中应用的理论基础.例2-41一种金属圆片，半径为20cm，加热后其半径增大0.05cm，求该金属圆片的面积增大了多少？解圆面积公式A=πr2(r为半径)，令r=20，Δr=0.05，因为Δr相对于r较小，所以可用微分dA近似代替ΔA.由ΔA≈dA=2πrdr

且dr=Δr=0.05，得ΔA≈2π×20×0.05=2πcm2

例2-42某企业有一批半径为1cm的球100只，为了提高球表面的光洁度，需要镀上一层厚度为0.01cm的铜.已知铜的密度为8.9g/cm3，试估计镀这批球共需要用多少铜？解球的体积，当半径由1cm增加到(1+0.01)cm时，体积V增加了ΔV，且ΔV≈dV，将r=1cm和dr=Δr=0.01cm代入该式得于是，镀这批球大约需用铜100×0.1257×8.9=111.87g

2.计算函数y=f(x)在定点x0附近某一点函数值的近似值

因为Δy=f′(x0+Δx)－f(x0)，而Δy≈f′(x0)Δx，所以f(x0+Δx)－f(x0)≈f′(x0)Δx

即f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx

令x=x0+Δx，Δx=x－x0，上式变形为f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x－x0)该式为求函数y=f(x)在一定点x0处附近某一点函数值的近似值的公式.

注意：应用该公式求f(x0)、f′(x0)较为容易，|x－x0|相对很小.在上式中令x0=0，得f(x)≈f(0)+f′(0)x

上式是求函数y=f(x)在零点附近某一点函数近似值的公式.例2-43当|x|很小时，证明ex≈1+x.

证明令f(x)=ex，则f′(x)