2024-2025学年高中数学第三讲一二维形式的柯西不等式学案含解析新人教A版选修4-5

PAGE一二维形式的柯西不等式考纲定位重难突破1.相识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，以及定理1、定理2、定理3等几种不同形式，理解它们的几何意义．2.会用柯西不等式的代数形式和向量形式以及定理1、定理2.重点：二维形式柯西不等式的几何意义．难点：会利用二维形式的柯西不等式进行简洁证明.授课提示：对应学生用书第27页[自主梳理]一、二维形式的柯西不等式1．若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．2．二维形式的柯西不等式的推论(a＋b)(c＋d)≥(eq\r(ac)＋eq\r(bd))2(a，b，c，d为非负实数)；eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．二、柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．三、二维形式的三角不等式1.eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))＋eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))≥eq\r(x1－x22＋y1－y22)(x1，y1，x2，y2∈R)．2．推论：eq\r(x1－x32＋y1－y32)＋eq\r(x2－x32＋y2－y32)≥eq\r(x1－x22＋y1－y22)，(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)．[双基自测]1．函数y＝eq\r(x－5)＋2eq\r(6－x)的最大值是()A.eq\r(3) B．eq\r(5)C．3 D．5解析：依据柯西不等式，知y＝1×eq\r(x－5)＋2×eq\r(6－x)≤eq\r(12＋22)×eq\r(\r(x－5)2＋\r(6－x)2)＝eq\r(5)，当且仅当eq\r(6－x)＝2eq\r(x－5)，即x＝eq\f(26,5)时，等号成立．答案：B2．已知a，b>0，且a＋b＝1，则(eq\r(4a＋1)＋eq\r(4b＋1))2的最大值是()A．2eq\r(6) B．eq\r(6)C．6 D．12解析：(eq\r(4a＋1)＋eq\r(4b＋1))2＝(1×eq\r(4a＋1)＋1×eq\r(4b＋1))2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当eq\r(4b＋1)＝eq\r(4a＋1)，即a＝b＝eq\f(1,2)时等号成立．答案：D3．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为________，此时b＝________.解析：依据柯西不等式的向量形式，有|a·b|≤|a|·|b|，∴|a·b|≤eq\r(－22＋12＋22)×6＝18，当且仅当存在实数k，使a＝kb时，等号成立．∴－18≤a·b≤18.∴a·b的最小值为－18，此时b＝－2a＝(4，－2，－4)．答案：－18(4，－2，－4)4．设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)，Q＝eq\r(ma＋nc)·eq\r(\f(b,m)＋\f(d,n))，则P与Q的大小关系是________．解析：∵a，b，c，d，m，n都是正实数，∴eq\r(ma＋nc)·eq\r(\f(b,m)＋\f(d,n))＝eq\r(ma＋nc\f(b,m)＋\f(d,n))≥eq\r(\r(ma)·\r(\f(b,m))＋\r(nc)·\r(\f(d,n))2)＝eq\r(\r(ab)＋\r(cd)2)＝eq\r(ab)＋eq\r(cd).当且仅当eq\f(m2a,b)＝eq\f(n2c,d)时，“＝”成立．答案：Q≥P授课提示：对应学生用书第28页探究一利用柯西不等式证明不等式[例1]设a，b，c为正数，求证：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(a2＋c2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．[证明]因为a，b，c为正数，所以由柯西不等式得，eq\r(a2＋b2)·eq\r(12＋12)≥a＋b，即eq\r(2)·eq\r(a2＋b2)≥a＋b， ①同理eq\r(2)·eq\r(b2＋c2)≥b＋c， ②eq\r(2)·eq\r(a2＋c2)≥a＋c， ③将①②③相加得eq\r(2)(eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(a2＋c2))≥2(a＋b＋c)，∴eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(a2＋c2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．利用二维形式柯西不等式的代数形式证题时，关键在于利用已知条件和所证不等式，构造柯西不等式的基本形式：一是和的乘积形式；二是和的完全平方形式，然后再进行整体换元、应用．1．设a，b∈R＋，且a＋b＝2.求证：eq\f(a2,2－a)＋eq\f(b2,2－b)≥2.证明：依据柯西不等式，有：[(2－a)＋(2－b)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2－a)＋\f(b2,2－b)))＝[(eq\r(2－a))2＋(eq\r(2－b))2]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2－a))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(2－b))))2))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2－a)·\f(a,\r(2－a))＋\r(2－b)·\f(b,\r(2－b))))2＝(a＋b)2＝4.∴eq\f(a2,2－a)＋eq\f(b2,2－b)≥eq\f(4,2－a＋2－b)＝2.当且仅当a＝b＝1时，等号成立．∴原不等式成立．探究二利用柯西不等式求最值[例2]求函数y＝5eq\r(x－1)＋eq\r(10－2x)的最大值．[解析]函数的定义域为{x|1≤x≤5}．y＝5eq\r(x－1)＋eq\r(2)eq\r(5－x)≤eq\r(52＋2)eq\r(x－1＋5－x)＝eq\r(27)×2＝6eq\r(3)，当且仅当5eq\r(5－x)＝eq\r(2)eq\r(x－1)，即x＝eq\f(127,27)时取等号，故函数的最大值为6eq\r(3).利用柯西不等式求最值(1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)而有些最值问题的解决须要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必需一样，不能自相冲突，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．2．若2x＋3y＝1，求x2＋y2的最小值及最小值点．解析：由柯西不等式得(x2＋y2)(22＋32)≥(2x＋3y)2，即13(x2＋y2)≥1，所以x2＋y2≥eq\f(1,13)，当且仅当3x＝2y时，等号成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝1，,3x＝2y.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,13)，,y＝\f(3,13).))所以x2＋y2的最小值为eq\f(1,13)，最小值点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,13)，\f(3,13))).探究三柯西不等式向量形式的应用[例3]已知p、q∈R＋，且p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.[证明]p、q∈R＋，且p3＋q3＝2，设α＝(eq\r(p3)，eq\r(q3))，β＝(eq\r(p)，eq\r(q))，由向量数量积知|α||β|≥|α·β|，则|α|2·|β|2≥(α·β)2，即(p3＋q3)(p＋q)≥(eq\r(p3)·eq\r(p)＋eq\r(q3)·eq\r(q))2，∴(p3＋q3)(p＋q)≥(p2＋q2)2.又∵(p2＋q2)(12＋12)≥(p＋q)2，∴(p3＋q3)(p＋q)≥eq\f(p＋q4,4)，∴(p＋q)3≤8，即p＋q≤2.应用二维形式柯西不等式的代数形式证题时常须要构造两列数，同样，向量形式的柯西不等式须要构造两个向量，通常我们使构造的向量满意待证不等式一侧的形式，再证另一侧．同时要留意向量模的计算公式|a|＝eq\r(x2＋y2)对数学式子的影响．3．已知x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求函数f(x)＝3cosx＋4eq\r(1＋sin2x)的最大值，并说明等号成立的条件．解析：设m＝(3,4)，n＝(cosx，eq\r(1＋sin2x))，则依据柯西不等式的向量形式可得：f(x)＝3cosx＋4eq\r(1＋sin2x)≤eq\r(32＋42)·eq\r(cos2x＋1＋sin2x)＝5eq\r(2).当且仅当m∥n时上式取等号，此时，3eq\r(1＋sin2x)－4cosx＝0，而且x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，解得sinx＝eq\f(\r(7),5).所以当sinx＝eq\f(\r(7),5)时，f(x)＝3cosx＋4eq\r(1＋sin2x)取最大值为5eq\r(2).二维柯西不等式的综合应用[典例]已知关于x的不等式|x＋a|<b的解集为{x|2<x<4}．(1)求实数a，b的值；(2)求eq\r(at＋12)＋eq\r(bt)的最大值．[解析](1)由|x＋a|<b，得－b－a<x<b－a，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－b－a＝2，,b－a＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝1.))(2)eq\r(－3t＋12)＋eq\r(t)＝eq\r(3)eq\r(4－t)＋eq\r(t)≤eq\r([\r(3)2＋12][\r(4－t)2＋\r(t)2])＝2eq\r(4－t＋t)＝4，当且仅当eq\f(\r(4－t),\r(3))＝eq\f(\r(t),1)，即t＝1时，等号成立，故(eq\r(－3t＋12)＋eq\r(t))max＝4.[规律探究](1)本题(1)考查肯定值不等式的解法，用好等价关系|x＋a|<b⇔－b<x＋a<b是解答本题的关键．(2)本题(2)考察柯西不等式的应用，明显须要构造二维柯西不等式的相关条件和结构特征，而获得最值的关键是确保含t的一组数的平方和必需是定值，最终还要验证等号成立的条件.[随堂训练]对应学生用书第29页1．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是()A.eq\f(5,6) B．eq\f(6,5)C.eq\f(25,36) D．eq\f(36,25)解析：法一：正用柯西不等式，2x2＋3y2＝eq\f(1,5)[(eq\r(2)x)2＋(eq\r(3)y)2][(eq\r(3))2＋(eq\r(2))2]≥eq\f(1,5)(eq\r(6)x＋eq\r(6)y)2＝eq\f(6,5)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1,2x＝3y))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5),y＝\f(2,5)))时，2x2＋3y2有最小值为eq\f(6,5).法二：因为x＋y＝1，所以y＝1－x，所以2x2＋3y2＝5x2－6x＋3＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,5)))2＋eq\f(6,5)，所以当x＝eq\f(3,5)，y＝eq\f(2,5)时，2x2＋3y2有最小值，最小值为eq\f(6,5).答案：B2．已知函数f(x)＝eq\r(x－12＋1)＋eq\r(x＋12＋1)，则f(x)的最小值为________．解析：f(x)＝eq\r(x－12＋1)＋eq\r(x＋12＋1