2025版高中数学一轮复习课时作业梯级练七十古典概型几何概型课时作业理含解析新人教A版

PAGE课时作业梯级练七十古典概型、几何概型一、选择题(每小题5分，共25分)1.甲、乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参与,若每人必需参与并且仅能参与一个学习小组,则两人参与同一个小组的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.甲、乙两人参与三个不同的学习小组共包含9个基本领件,其中两人参与同一个小组包含3个基本领件(A,A),(B,B),(C,C),则所求概率为P=QUOTE=QUOTE.2.现有2个正方体,3个三棱柱,4个球和1个圆台,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.共有10个几何体,其中旋转体有5个,所以从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为QUOTE=QUOTE.3.在一个球内有一棱长为1的内接正方体,一动点在球内运动,则此点落在正方体内部的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTEπ C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由题意可知这是一个几何概型,棱长为1的正方体的体积V1=1,球的直径是正方体的体对角线长,故球的半径R=QUOTE,球的体积V2=QUOTEπ×QUOTE=QUOTEπ,则此点落在正方体内部的概率P=QUOTE=QUOTE.4.若任取x、y∈QUOTE,则点P(x,y)满意y>x的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.依据几何概型的概率计算公式可知P=QUOTE=QUOTE.5.在区间QUOTE上随机地选择一个数p,则方程x2-px+3p-8=0有两个正根的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为方程x2-px+3p-8=0有两个正根,所以QUOTE,所以p≥8或QUOTE<p≤4,又因为p∈QUOTE,所以所求概率为P=QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.七巧板是中国古代劳动人民的独创,其历史至少可以追溯到公元前一世纪,清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道“近又有七巧图,其式五,其数七,其改变之式多至千余.”在18世纪,七巧板流传到了国外,被誉为“东方魔板”,至今英国剑桥高校的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.完整图案为一正方形(如图):五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形,假如在此正方形中随机取一点,那么此点取自阴影部分的概率是.

【解析】设大正方形边长为1,大正方形面积为S=1,阴影部分是两个等腰直角三角形和一个正方形,由图可知阴影部分正方形的边长为QUOTE,阴影部分大的等腰直角三角形的直角边长为QUOTE,小的等腰直角三角形的直角边长为QUOTE,阴影部分的面积为S′=QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以所求概率为P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7．(2024·怀化模拟)甲、乙两人随意住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是________．【解析】由题意符合古典概型，甲，乙两人随意入住两间空房，每人有两种住法，故两人有4种住法，甲乙两人各住一间房的住法种数有2种，所以甲、乙两人各住一间房的概率为P＝eq\f(2,4)＝0.5.答案：0.58．(2024·汕头模拟)如图是一种圆内接六边形ABCDEF，其中BC＝CD＝DE＝EF＝FA且AB⊥BC.则在圆内随机取一点，则此点取自六边形ABCDEF内的概率是________.【解析】因为BC＝CD＝DE＝EF＝FA且AB⊥BC.所以该图形是该圆的内接正八边形AMNBCDEF的一部分(如图).易知，以O为顶点，正八边形的各边为底边的八个等腰三角形全等．且它们的腰长为圆的半径r，顶角为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(360,8)))°＝45°.故每个小等腰三角形的面积为S＝eq\f(1,2)r2sin45°＝eq\f(\r(2),4)r2.内接六边形ABCDEF的面积为S△OAF＋S△OFE＋S△OED＋S△ODC＋S△OCB＋S△OAB，由正八边形的性质知：四边形ABCF是矩形，且S△OAB＝S△OAF，所以S六边形ABCDEF＝6S△OAF＝6S＝6×eq\f(\r(2),4)r2＝eq\f(3\r(2)r2,2).又S圆O＝πr2，故所求概率为：P＝eq\f(\f(3\r(2)r2,2),πr2)＝eq\f(3\r(2),2π).答案：eq\f(3\r(2),2π)三、解答题(每小题10分，共20分)9．某地区有小学21所，中学14所，高校7所，现采纳分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、高校中分别抽取的学校数目．(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出全部可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．【解析】(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×eq\f(21,21＋14＋7)＝3；从中学中抽取的学校数目为6×eq\f(14,21＋14＋7)＝2；从高校中抽取的学校数目为6×eq\f(7,21＋14＋7)＝1.故从小学、中学、高校中分别抽取的学校数目为3，2，1.(2)①在抽取的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，高校记为A6，则抽取2所学校的全部可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事务B)的全部可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种，所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).10．已知向量a＝(－2，1)，b＝(x，y).(1)若x，y分别表示将一枚质地匀称的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、其次次出现的点数，求满意a·b＝－1的概率；(2)若x，y在连续区间[1，6]上取值，求满意a·b＜0的概率．【解析】(1)将一枚质地匀称的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本领件总数为6×6＝36，由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，所以满意a·b＝－1的基本领件为(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3个．故满意a·b＝－1的概率为eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).(2)若x，y在连续区间[1，6]上取值，则全部基本领件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6}．满意a·b＜0的基本领件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6，1≤y≤6且－2x＋y＜0}．画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形＝25，阴影部分的面积为S阴影＝25－eq\f(1,2)×2×4＝21，故满意a·b＜0的概率为eq\f(21,25).1．（5分）如图所示，设M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长超过eq\r(2)R的概率为()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)【解析】选D.如图，在圆上过圆心O作与OM垂直的直径CD，则MD＝MC＝eq\r(2)R，当点N不在半圆弧上时，MN＞eq\r(2)R，故所求的概率P(A)＝eq\f(πR,2πR)＝eq\f(1,2).2．（5分）(2024·榆林模拟)勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛(1829－1905)首先发觉的，所以以他的名字命名，其作法如下：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另外两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．若在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形外部的概率为()A．eq\f(3\r(3)－π,2（π－\r(3)）) B．eq\f(2π－3\r(3),2（π－\r(3)）)C．eq\f(2π－3\r(3),2π－\r(3)) D．eq\f(2π－3,2π－\r(3))【解析】选B.如图，设BC＝2，以B为圆心的扇形面积是：eq\f(π×22,6)＝eq\f(2π,3)，△ABC的面积是：eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即eq\f(2π,3)·3－2eq\r(3)＝2π－2eq\r(3)，所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率是：1－eq\f(\r(3),2π－2\r(3))＝eq\f(2π－3\r(3),2（π－\r(3)）).3．（5分）连续投骰子两次得到的点数分别为m，n，作向量a＝(m，n)，则a与b＝(1，－1)的夹角θ成为直角三角形内角的概率是________．【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的全部事务数为6×6，因为m＞0，n＞0，所以a＝(m，n)与b＝(1，－1)不行能同向．所以夹角θ≠0.因为θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，a·b≥0，所以m－n≥0，即m≥n.当m＝6时，n＝6，5，4，3，2，1；当m＝5时，n＝5，4，3，2，1；当m＝4时，n＝4，3，2，1；当m＝3时，n＝3，2，1；当m＝2时，n＝2，1；当m＝1时，n＝1.所以满意条件的事务数为6＋5＋4＋3＋2＋1，所以概率P＝eq\f(6＋5＋4＋3＋2＋1,6×6)＝eq\f(7,12).答案：eq\f(7,12)4．（10分）甲、乙两人参与普法学问竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，推断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)求甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到推断题的概率是多少；(2)求甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少．【解析】5个不同题目，甲、乙两人各抽一题，共有20种状况，把3个选择题记为x1，x2，x3，2个推断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到推断题”的状况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到推断题，乙抽到选择题”的状况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的状况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到推断题”的状况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．(1)“甲抽到选择题，乙抽到推断题”的概率为eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，“甲抽到推断题，乙抽到选择题”的概率为eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到推断题”的概率为eq\f(3,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).(2)“甲、乙两人都抽到推断题”的概率为eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).5．（10分）已知函数f(x)＝ax＋eq\f(1,x).(1)从区间(－2，2)内任取一个实数a，设事务A表示“函数y＝f(x)－2在区间(0，＋∞)上有两个不同的零点”，求事务A发生的概率；(2)若连续掷两次一枚匀称的骰子(骰子六个面上标注的点数分别为1，2，3，4，5，6)得到的点数分别为a和b，记事务B表示“f(x)＞b在x∈(0，＋∞)上恒成立”，求事务B发生的概率．【解析】(1)因为函数y＝f(x)－2在区间(0，＋∞)上有两个不同的零点，所以f(x)－2＝0，即ax2－2x＋1＝0有两个不同的正根x1和x2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0,x1＋x2＝\f(2,a)＞0,x1x2＝\f(1,a)＞0,Δ＝4－4a＞0))，解得0＜a＜1，所以P(A)＝eq\f(1－0,2－（－2）)＝eq\f(1,4).(2)由已知a＞0，x＞0，所以f(x)＞b，即ax2－bx＋1＞0在x∈(0，＋∞)上恒成立，故Δ＝b2－4a＜0(*).当a＝1时，b＝1适合(*)；当a＝2时，b＝1，2适合(*)；当a＝3，4时，b＝1，2，3均适合(*)；当a＝5，6时，b＝1，2，3，4均适合(*).所以满意(*)的基本领件个数为m＝1＋2＋6＋8＝17.而基本领件总数为n＝6×6＝36，所以事务B发生的概率P(B)＝eq\f(m,n)＝eq\f(17,36).1．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，则有______个不同的染色方法，出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的概率为______．【解析】用黑白两种颜色随机地染表格中6个格子，每个格子染一种颜色，则有：26＝64个不同的染色方法，出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子，包含的基本领件有：全染黑色，有1种方法，第一个格子染黑色，另外五个格子中有1个格染白色，剩余的都染黑色，有5种方法，第一个格子染黑色，另外五个格子中有2个格染白色，剩余的都染黑色，有9种方法，第一个格子染黑色，另外五个格子中有3个格染白色，剩余