2024北京八十中高一（上）期中数学（教师版）

第1页/共1页2024北京八十中高一（上）期中数学2024年10月（考试时间120分钟满分150分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.下列函数中是偶函数的是（）A. B.C. D.3.已知，且，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.4.函数的大致图象是（）A. B.C. D.5.若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（）A.增函数且有最大值 B.增函数且有最小值C.减函数且有最大值 D.减函数且有最小值6.随着我国经济的不断发展，2023年年底某地区农民人均年收入为7000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6％的年平均增长率增长，那么2030年年底该地区的农民人均年收入为（）A.元 B.元C.元 D.元7.已知，则的最小值为（）A. B.3 C.4 D.58.如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.9.“”是“关于x的不等式对恒成立”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10.已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.11.函数的值域为（）A. B.C. D.12.由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（）A.没有最大元素，有一个最小元素B.没有最大元素，也没有最小元素C.有一个最大元素，有一个最小元素D.有一个最大元素，没有最小元素二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）13.函数的定义域为______.14.关于的不等式的解集是______.15.计算：______.16.命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是______．17.已知，当时，函数的最小值是______，最大值是______.18.如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为P，两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.若，，则当______时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是______.19.函数的单调递增区间是______.20.函数的值域是______.21.已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数m的取值范围为______.22.已知函数满足，若函数与图象的m个交点为，则的值是______.三、解答题：本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.23.记全集，集合，.（1）若，求，；（2）若，求a的取值范围；（3）若，求a的取值范围.24.已知函数（1）当，的最大值为3，求实数m的值.（2）当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围.25.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过12的部分3元/超过12但不超过18的部分6元/超过18的部分9元/（1）求出每月用水量和水费之间的函数关系；（2）若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？26.已知函数是定义在R上的奇函数，且.（1）求函数的解析式以及零点.（2）判断并用函数单调性的定义证明在-1,0的单调性.（3）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出在定义域R上的准确示意图.27.设集合为非空数集，定义，．（1）若，写出集合、；（2）若，，且，求证：；（3）若，且，求集合元素个数的最大值．

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.【答案】A【分析】首先求解集合，再根据补集的定义即可得出答案.【详解】因为，，所以.故选：A.2.【答案】B【分析】根据奇偶性的定义对各个选项逐一判断即可得出答案.【详解】解：对于A，因为函数的定义域不关于原点对称，所函数不具有奇偶性，故A不符题意；对于B，函数的定义域为，，所以函数为偶函数，故B符合题意；对于C，函数的定义域为，，所以函数不是偶函数，故C不符题意；对于D，函数的定义域为，因为，所以函数不是偶函数，故D不符题意.故选：B.3.【答案】C【分析】根据特值法可排除，，，根据在上单调递增，可判断项.【详解】当时，，故错误；当，时，，故错误；因为在上单调递增，且，所以，故正确；当，时，，故错误.综上，正确的为.故选：.4.【答案】B【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项.【详解】，所以，排除AC，且，排除D.故选：B5.【答案】A【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果.【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值5，所以，又为奇函数，所以函数在区间上是增函数，且有最大值.故选：A6.【答案】B【分析】根据指数增长模型计算即可.【详解】设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，根据题意可得，从2023年年底到2030年年底共经过了7年，所以2030年年底该地区的农民人均年收入为元．故选：B.7.【答案】D【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】因为，根据基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立；所以的最小值为5，故选：D.8.【答案】C【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合.【详解】依题意，集合或，而，则或，由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为.故选：C.9.【答案】A【分析】首先求不等式恒成立时的取值范围，再根据集合的关系，即可判断.【详解】不等式对恒成立,当时，恒成立，当时，，得，所以，所以“”是“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件.故选：A10.【答案】D【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可.【详解】因为函数满足对任意实数，都有成立，不妨假设，则，可得，即，可知函数在R上递减，则，解得：，所以的取值范围是.故选：D.11.【答案】C【分析】由指数函数与二次函数的图象与性质即可得到函数的值域【详解】当时，因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，又所以；当时，，所以，的值域为.故选：B.12.【答案】C【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法则说明C选项错误【详解】若，；则没有最大元素，有一个最小元素；故A正确；若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故B正确；若，；有一个最大元素，没有最小元素，故D正确；有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故C不正确.故选：C二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）13.【答案】【分析】根据函数的形式，列不等式，即可求解.【详解】函数的定义域需满足2x-1≠02-x>0，得且，所以函数的定义域为.故答案为：14.【答案】【分析】因式分解后，即可求解不等式.【详解】，得，所以不等式的解集为.故答案为：15.【答案】【分析】根据对数公式和指数运算公式，即可求解.【详解】.故答案为：16.【答案】∃x0＞0，x02+2x0-3≤0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【详解】命题为全称命题，则命题“∀x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是为∃x0＞0，x02+2x0-3≤0，故答案为∃x0＞0，x02+2x0-3≤0．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．17.【答案】①.##0.4②.2【分析】先判断函数单调性，再根据单调性求最值.【详解】，且，，因为，，所以，所以，即，所以在上为减函数，则，故答案为：，.18.【答案】①.②.【分析】首先设，再根据条件，用表示用纸的用量，列式后再用基本不等式，即可求解.【详解】设，纸的用量为，则，所以，，当时，即，所以当时，最少的纸的用量为.故答案为：；19.【答案】和【分析】首先去绝对值，将函数写成分段函数的形式，再结合二次函数的单调性，即可求解.【详解】，当时，，是函数的单调递增区间，当时，，是函数的单调递增区间，所以函数的单调递增区间是和.故答案为：和20.【答案】【分析】利用指数函数的值域可得，再利用不等式的性质即可求解.【详解】因为函数定义域为，又，所以，所以，即，故答案为：.21.【答案】【分析】由题意可得两个函数的值域的包含关系，进而可列关于的不等式，求解即可.【详解】因为对任意，总存在，使成立，即成立，设，因为，所以，当时，，不符合题意；当时，可得，则，解得；当时，可得，则，解得；综上所述，实数m的取值范围为.故答案为：.22.【答案】【分析】首先判断两个函数的对称性，再根据对称性，确定交点的对称性，即可求解.【详解】由条件得，，所以关于点对称，关于点对称，所以函数与图象的m个交点有对关于点对称，所以，，所以.故答案为：三、解答题：本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.23.【答案】（1），（2）（3）或【分析】（1）根据交集和补集的运算即可求解；（2）根据题意可得到有关的一个方程组，求解即可；（3）分和两种情况求解即可.【小问1详解】若，则，又或，则，；【小问2详解】集合，或，，所以，解得，所以a的取值范围为；【小问3详解】因为，则，，或，当时，，解得；当时，或，解得或，综上,若，求a的取值范围为或.24.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据二次函数的性质，分情况讨论即可；（2）先根据不等式得到在上恒成立，令，分析该函数对称轴与区间的关系，只需让区间上最小值大于零即可.【小问1详解】已知，当时，函数在上递增，所以，解得；当时，函数在上递减，所以，矛盾；当时，函数在上递减，在上递增，所以或，解得，均不符合题意；综上；【小问2详解】当时，若不等式恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，该函数对称轴为，①当，即时，函数在上递减，只需让即可，则，解得，即；②当，即时，此时，解得，即；③当，即时，函数在上递增，此时，解得，即；综上m的取值范围为.25.【答案】（1）（2）15【分析】（1）先分别求出每一段的函数解析式，再写成分段函数的形式即可；（2）由（1）分，，三种情况讨论即可的解．【小问1详解】解：当时，，当时，，当时，，关于的函数解析式为：；【小问2详解】解：当时，，解得舍去，当时，，解得，当时，，解得舍去，综上所述，若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为15.26.【答案】（1），零点为0（2）函数在上单调递减，证明见详解；（3）图象见详解.【分析】（1）根据奇函数的性质和可解得，的值，即可得函数的解析式；令可解得函数的零点；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）根据函数的性质画出函数的图象即可.【小问1详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以，解得，又，即，解得，所以，令得，解得，即函数的零点为0；【小问2详解】函数在上单调递减；证明：设，则，因为，所以，，x12+1x所以fx1-f所以函数在上单调递减；【小问3详解】函数的图像如下：27.【答案】（1），（2）证明见解析（3）1348【分析】（1）根据定义，，直接求解即可，（2）由题意利用集合中的元素间的关系及可证明，（3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式