第04讲复数的乘除运算-2021-2022学年高一数学下学期考点(人教A版2019)（原卷版）

第4讲复数的乘、除运算知识点1复数的乘法及其运算律(1)复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3注：对复数乘法的三点说明(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．(3)常用结论①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i.知识点2共轭复数1、定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数2、表示：z的共轭复数用eq\x\to(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi知识点3复数的除法1、复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i.注：对复数除法的两点说明(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化．2、记住以下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②eq\f(1－i,1＋i)＝－i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；③eq\f(1,i)＝－i.考点一复数代数表示式的乘法运算解题方略：1．两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开；(2)再将i2换成－1；(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R);(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；(3)(1±i)2＝±2i.【例1】i(2＋3i)＝()A．3－2iB．3＋2iC．－3－2i D．－3＋2i变式1：若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1z2等于()A．4＋2i B．2＋iC．2＋2i D．3＋i变式2：计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝()A．2－13i B．13＋2iC．13－13i D．－13－2i变式3：下列各式的运算结果为纯虚数的是()A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)C．(1＋i)2 D．i(1＋i)变式4：设，则“”是“复数为纯虚数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【例2】(1＋i)20－(1－i)20的值是()A．－1024B．1024C．0 D．512变式1：i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________（用a＋bi的形式表示，a，b∈R）．变式2：若是虚数单位，则__________.变式3：已知，则复数的虚部为_________．【例3】设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．变式1：【多选】已知复数满足，则可能为（

）.A．0 B． C． D．【例4】已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式1：若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)考点二共轭复数【例5】设z＝i(2＋i)，则eq\x\to(z)＝()A．1＋2iB．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i变式1：设复数，且，则的虚部为（

）A． B． C． D．变式2：已知复数z满足，则z的虚部是（

）A．1 B．1 C． D．变式3：已知，则（

）A． B．C． D．变式4：若复数z满足（i为虚数单位），为z的共轭复数，则（

）A． B．1 C． D．2变式5：已知复数z满足：，则（

）A． B． C． D．变式6：设复数（是虚数单位），则的值为（

）A． B． C． D．变式7：已知复数的实部为，i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式8：若为复数z的共轭复数，则下列判断不正确的是（

）．A．B．若，则复数z为纯虚数或C．D．复数z与其共轭复数在复平面内所对应的点关于实轴对称考点三复数代数表示式的除法运算解题方略：1．两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．2．常用公式(1)eq\f(1,i)＝－i；(2)eq\f(1＋i,1－i)＝i；(3)eq\f(1－i,1＋i)＝－i.【例6】若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－iB．－1＋iC．1－i D．1＋i变式1：计算：eq\f(1＋i4＋3i,2－i1－i)＝________.变式2：若i是虚数单位，则eq\f(i,\r(3)＋3i)等于()A.eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),12)iB.eq\f(1,4)＋eq\f(\r(3),12)iC.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),6)i D.eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),6)i变式3：复数eq\f(1＋2i2,3－4i)＝()A．－1B．1C．－i D．i变式4：已知i为虚数单位，则（

）A． B． C．－2 D．2变式5：已知eq\f(2－3i,z)＝－i，则复数z＝________.变式6：已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝()A．－2iB．2iC．－2 D．2【例7】已知复数(为虚数单位)，则z的虚部为___________.变式1：已知复数z满足，(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为（

）A．1 B． C． D．变式2：复数的实部与虚部之和为（

）A． B． C． D．【例8】设为虚数单位，，若复数是纯虚数，则实数（

）A． B．2 C． D．1变式1：已知a∈R，复数为纯虚数，则a＝（

）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2变式2：已知复数，则“”是“z是纯虚数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式3：若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且eq\f(z1,z2)为纯虚数，则实数a的值为________．变式4：若复数为纯虚数，则（

）A． B．5 C． D．2【例9】设z＝eq\f(3－i,1＋2i)，则|z|＝()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2) D．1变式1：已知复数满足，其中为虚数单位，则（

）A． B． C． D．变式2：若复数，则（

）A． B． C． D．变式3：若复数，则复数的模是（

）A．1 B． C． D．2变式4：若a为正实数，i为虚数单位，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝2，则a＝()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2) D．1【例10】的共轭复数为（

）A． B． C． D．变式1：已知是虚数单位，则复数的共轭复数的虚部是（

）A． B． C． D．1变式2：设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为eq\x\to(z)，则eq\f(2－\x\to(z),z)＝________.变式3：【多选】若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是A．的虚部为 B．C．为纯虚数 D．的共轭复数为变式4：【多选】设有下面四个命题，其中为真命题的是()A．若复数z满足eq\f(1,z)∈R，则z∈RB．若复数z满足z2∈R，则z∈RC．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝eq\x\to(z)2D．若复数z∈R，则eq\x\to(z)∈R【例11】复数在复平面内对应点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限变式1：如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是eq\o(OA,\s\up7(―→))，eq\o(OB,\s\up7(―→))，则复数eq\f(z1,z2)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点四复数范围内方程根的问题解题方略：复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为(1)当Δ≥0时，x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)；(2)当Δ<0时，x＝eq\f(－b±\r(－b2－4ac)i,2a).【例12】已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试判断1－i是否是方程的根．变式1：在复数范围内解一元二次方程x2－2x＋5＝0.变式2：已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，求p＋q的值．练习一复数代数表示式的乘法运算1、【多选】下列命题错误的是（

）A．是纯虚数 B．C．若，则 D．若，则2、设复数，（i是虚数单位，），若，则______．3、已知复数，（i是虚数单位，），若z1•z2是纯虚数，则a的值为_____．4、已知复数是纯虚数，满足（为虚数单位），则实数的值是（

）A． B． C． D．5、若复数z满足，则A． B． C． D．6、已知复数为虚数单位，则（

）A． B．2 C．4 D．67、若，其中a，，是虚数单位，则（

）A． B． C． D．8、已知，，(i为虚数单位)，则（

）A． B．1 C． D．39、设复数z＝1＋eq\r(2)i，则z2－2z＝________.10、已知复数z满足（其中为虚数单位），则（

）A． B． C． D．11、已知复数z满足，则z＝（

）A．4＋3i B．4－3i C．3＋4i D．3－4i12、已知复数z满足，则（

）A．5 B．4 C． D．213、已知复数（i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．14、设，则（

）A． B． C．1 D．15、设复数，且，则的虚部为（

）A． B． C． D．16、已知eq\x\to(z)为z的共轭复数，若z·eq\x\to(z)－3ieq\x\to(z)＝1＋3i，求z.17、已知复数．（1）求复数的共轭复数及；（2）求复数是纯虚数，求实数的值．练习二共轭复数1、在下列命题中，①若为复数，则为非负数；②互为共轭的两个复数的差为纯虚数；③若（，），则（是虚数单位），一定正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．32、复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面中对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3、已知复数z满足z(1－i)＝2i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4、若，则（

）A． B． C． D．5、设（i为虚数单位），则（

）A．25 B．5 C．13 D．6、【多选】已知复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且，为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的是（

）A．在复平面内对应的点位于第二象限 B．C．的实部为 D．的虚部为练习三复数代数表示式的除法运算1、复数的虚部是（

）A． B． C． D．2、已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（

）.A． B． C． D．3、已知复数，则复数的虚部为（

）.A． B．1 C． D．4、若复数满足其中为虚数单位，则复数的虚部为（

）A． B． C．2 D．5、已知复数为纯虚数，则实数_______________6、若复数，其中为虚数单位，则（

）A． B． C． D．7、若复数（为虚数单位），则（

）A．B．C． D．8、复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限9、已知是虚数单位，复数的共轭复数在复平面中对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10、在复平面内，复数z所对应点的坐标为，则（

）A． B． C． D．11、复数z满足，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限计算：(1)eq\f(1＋i2＋31－i,2＋i)；(2)eq\f(1,i)(eq\r(2)＋eq\r(2)i)5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1