2022-2023学年六年级数学上册典型例题之期末复习专题四长方体和正方体篇

20222023学年六年级数学上册典型例题系列——期末复习特别篇期末复习专题四：长方体和正方体篇（解析版）编者的话：期末复习特别篇，它是在《20222023学年六年级数学上册典型例题系列》的基础上，结合常年考点考题总结与编辑而成的，主要分为期末专题复习篇、期末典例专项篇、期末题型专项篇、期末检测卷四大部分。期末专题复习篇结合典型例题系列，统观整册内容，按照篇目划分为计算和应用部分，其优点在于知识精炼，考题精准，练习精细。期末典例专项篇选取最高频考点内容、最重点难点内容进行专项练习，按照难易程度和频次高低进行编排，其优点是内容涵盖广泛，选题精准典型，各类考题丰富（部分专项选题较广，建议选择性使用）。期末题型专项篇选取具有易错易混特点的高频真题，按照期末试卷题型进行分类编辑，其优点是理清脉络，巩固基础，精细化练习。期末检测卷依据历年高频考题真题进行变式测试，主要分为期末专项卷、期末模拟卷、期末压轴卷。本专题是期末复习专题四：长方体和正方体篇篇，它包括长方体和正方体的认识、表面积、体积等内容，考题综合性强，部分考点难度较大，一共划分为五大篇目，建议作为期末复习核心内容进行讲解，欢迎使用。【篇目一】长方体和正方体的棱长和。【知识总览】一、长方体的认识。1.长方体的特征：注意：长方体的6个面都是长方形，特殊情况有两个面是正方形。2.长方体的长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。二、正方体的认识。1.正方体的特征：（1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。（2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等。2.正方体和长方体的关系：总结：正方体是特殊的长方体。三、长方体的棱长和。1.棱长和一般表示的是12条棱的长度之和。2.长方体的棱长和=4×长+4×宽+4×高=4×（长+宽+高）。3.根据棱长和公式反求长、宽、高。长=棱长和÷4宽高宽=棱长和÷4长高高=棱长和÷4长宽四、正方体的棱长和。1.正方体的棱长和=12×棱长2.反求棱长，棱长=棱长和÷12【典型例题1】长方体的棱长和。1.用铁丝焊接一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体框架，至少需要铁丝()厘米。解析：602.一个长方体的棱长总和是80cm，其中长是10cm，宽是7cm，高是()cm。解析：80÷4－10－7＝20－10－7＝3（cm）3.小军过生日，爸爸妈妈给他订了一个长方体形状的蛋糕。蛋糕盒的外面用彩带进行了捆扎，接头处长20厘米，一共用彩带多少厘米？解析：40×2＋60×2＋30×4＋20＝80＋120＋120＋20＝200＋120＋20＝320＋20＝340（厘米）答：至少要用340厘米的丝带捆扎这个礼品盒。【典型例题2】正方体的棱长和。1.一个正方体的棱长是a厘米，棱长总和是()厘米。解析：12a2.一根长96厘米的铁丝围成一个正方体，这个正方体的棱长是()厘米。解析：83.妈妈给奶奶买了一件母亲节礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎，打结处需要45厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？解析：8×25＋45＝200＋45＝245（厘米）答：捆扎这个礼物一共需要245厘米丝带。【典型例题3】等长转化问题。1.一个棱长6分米的正方体钢块，把它融化后锻造成宽2.5分米，高3分米的长方体钢条，能锻造多长？解析：6×6×6÷（2.5×3）＝216÷7.5＝28.8（分米）答：能锻造28.8分米长。2.用一根铁丝围成一个长方体，长是12分米，宽是8分米，高是4分米。如果用这根铁丝改围成一个正方体，那么这个正方体的棱长是多少分米？解析：（12＋8＋4）×4÷12＝24×4÷12＝8（分米）答：这个正方体的棱长是8分米。【篇目二】长方体和正方体的表面积。【知识总览】一、长方体的表面积。1.长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。2.已知表面积，反求长、宽、高：方程法。二、正方体的表面积。正方体的表面积=6×棱长×棱长，用字母表示为：S=6a2。三、长方体和正方体的棱长扩倍问题。1.如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。2.如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍，体积就会扩大倍数的立方倍。【典型例题1】长方体的表面积。1.一节长方体的通风管长是3分米，宽是2分米，高是8分米。做一节这样的通风管至少需要多大的铁皮？解析：3×2×2＋2×8×2＝12＋32＝44（平方分米）答：做一节这样的通风管至少需要44平方分米的铁皮。2.一个长方体的表面积是242平方厘米，它的宽是7厘米，高是3厘米。那么，聪明的你知道这个长方体的长是多少厘米吗?解析：方法一：用算术方法求解∶（242÷221）÷（7+3）=10。方法二：用方程求解∶解：设长为c厘米，那么根据表面积公式可得出如下的方程：2×（21+7×x+3×x）=242解方程可得：x=10答：这个长方体的长是10厘米。3.下图是长方体盒子的展开图，原来长方体盒子的表面积是多少平方米？解析：高：8－5＝3（米）长：（20－3×2）÷2＝（20－6）÷2＝14÷2＝7（米）宽：8－3×2＝8－6＝2（米）（7×2＋7×3＋2×3）×2＝（14＋21＋6）×2＝41×2＝82（平方米）答：原来长方体盒子的表面积是82平方米。【典型例题2】正方体的表面积。1.一个玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长5分米，制作这个鱼缸至少需多少平方分米的玻璃？解析：5×5×5＝25×5＝125（平方分米）答：制作这个鱼缸至少需要125平方分米的玻璃。2.一个正方体的表面积是150平方分米，它的棱长是（）分米。解析：5。【典型例题3】棱长扩倍问题。1.正方体的棱长扩大到原来的3倍，它的表面积扩大到原来的（）倍。A.3B.9C.12D.27解析：B2.一个长方体的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，把它的长、宽、高都扩大至原来的2倍，它的表面积扩大为原来的多少倍?解析：4倍。3.长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的（）倍。解析：8【典型例题4】不规则立体图形的表面积。1.把一个棱长为3分米的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下木块的表面积是多少？解析：3×3×6－1×1×2＋3×1×2＝54－2＋6＝58（平方分米）答：剩下部分的表面积是58平方分米。2.求下面几何形体的表面积。（单位：厘米）解析：5×5×6＋5×2×4＝25×6＋10×4＝150＋40＝190（平方厘米）【篇目三】表面积增减变化问题。【知识总览】表面积的增减变化问题主要有三种，一种是切片问题，表面积会相应增加，一种是拼接问题，表面积会相应减少，一种是高的变化引起的表面积变化。一、切片问题。1.切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。2.刀数×2=切面个数。二、拼接问题。1.长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。2.段数1=刀数；刀数×2=切面个数。三、高的变化问题。1.正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。2.长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。【典型例题1】切片问题。1.把一个长12厘米，宽和高都是4厘米的长方体，分割成棱长4厘米的正方体，表面积比原来增加了多少？解析：4×4×4＝16×4＝64（平方厘米）答：表面积比原来增加了64平方厘米。2.把一个棱长是2cm的正方体切成两个完全一样的长方体后，表面积比原来增加了（）平方厘米，每个小长方体的表面积是（）平方厘米。解析：8；163.一根长1米的长方体木料锯成2段后，表面积增加了6平方分米。这根木料的体积是多少立方分米？如果每立方分米木料重1.5千克，这根木料重多少千克？解析：1米＝10分米6÷2×10＝3×10＝30（立方分米）1.5×30＝45（千克）答：这根木料的体积是30立方分米，这根木料重45千克。【典型例题2】高的变化问题。1.如果一个长方体的高减少4分米后，表面积就减少了1600平方厘米，这时正好变成了一个正方体，原长方体的体积是多少？解析：减少的面的宽（剩下正方体的棱长）1600÷4÷40＝400÷40＝10（厘米）原来长方体的高：10＋40＝50（分米）原来的体积：10×10×50＝100×50＝5000（立方厘米）答：原长方体的体积是5000立方厘米。2.一个正方体的底面周长是40厘米，如果把它的高增加3厘米，则表面积比原来增加多少平方厘米？解析：根据题意可知，增加的面为前后、左右四个面，根据棱长＝底面周长÷4求出棱长，再根据“表面积增加的数量＝棱长×增加的高度×4”，解答即可。40÷4＝10（厘米）10×3×4＝30×4＝120（平方厘米）3.一个长方体（如图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体。体积增加了多少立方厘米？解析：10×10×10－10×10×（10－4）＝1000－100×6＝1000－600＝400（立方厘米）答：体积增加了400立方厘米。【篇目四】长方体和正方体的体积。【知识总览】一、体积及容积单位。1.容积：容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。2.体积：体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。3.由于测量方法的不同，体积一般大于容积。4.体积及容积单位进率：1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。二、长方体的体积。1.长方体的体积=长×宽×高，用字母表示V=abh。2.长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。3.宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。4.高=体积÷长÷宽，h=V÷a÷b。三、正方体的体积。正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a=a³。【典型例题1】单位换算。单位换算。()m2＝520dm2＝()cm2

3.6L＝()mL＝()cm3=()dm3解析：5.2；52000；3600；3600；3.6【典型例题2】长方体的体积。1.某工地运来9.6立方米的沙子，铺在一个长6米、宽2.5米的沙坑里，可以铺多厚？解析：9.6÷6÷2.5＝0.64（米）答：可以铺0.64米。2.学校要砌一道长20米、宽2.4分米、高2米的墙，每立方米需要525块砖，学校需要买多少块砖？解析：2.4分米＝0.24米20×0.24×2＝4.8×2＝9.6（立方米）525×9.6＝5040（块）答：学校需要买5040块砖。3.一块长、宽的长方形铁皮（如下图），从四个角各切掉一个边长的正方形，然后做成盒子。（1）这个盒子用了多少平方厘米的铁皮？（2）它的容积是多少？解析：

（1）80×40－10×10×4＝3200－400＝2800（平方厘米）答：这个盒子用了2800平方厘米的铁皮。（2）（立方厘米）答：它的容积是12000立方厘米。【典型例题3】正方体的体积。一个正方体玻璃容器的棱长是15厘米，体积是多少立方厘米？解析：15×15×15＝225×15＝3375（立方厘米）答：体积是3375立方厘米。【典型例题4】等积变化问题。1.一个正方体实心铁块的棱长总和是48分米，现将它熔铸成一个底面积是32平方分米的实心长方体铁块，熔铸成的实心长方体铁块的高是多少分米？解析：48÷12＝4（分米）4×4×4÷32＝16×4÷32＝64÷32＝2（分米）答：熔铸成的实心长方体铁块的高是2分米。2.一个正方体玻璃缸，棱长6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为30平方分米，高为10分米的长方体水槽中，水深多少？解析：6×6×6÷30＝216÷30＝7.2（分米）答：水深7.2分米。3.如下图所示，密闭的容器中装有5厘米深的水。如果以这个容器的右侧面为底面把容器竖起来，这时水深多少厘米？解析：30×10×5÷（10×15）＝300×5÷150＝1500÷150＝10（厘米）答：这时水深10厘米。【篇目五】排水法与不规则立体图形。【知识总览】一、排水法。形状不规则的物体可以用排水法求体积。排水法的公式：V物体=V现在－V原来也可以V物体=S×(h现在h原来)V物体=S×h升高二、溢水问题。物体完全浸没在水中，如果物体的体积超过空白部分的体积，就会溢出，求溢出部分的体积需要用物体的体积减去空白部分的体积。三、不规则及组合立体图形的体积。求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。【典型例题1】排水法与溢水问题。1.在一个底面长20厘米，宽15厘米的长方体水箱中，水面高度为10厘米，一块石头后水面上升到14厘米。这块石头的体积是多少？解析：20×15×（14－10）＝300×4＝1200（立方厘米）答：这块石头的体积是1200立方厘米。2.一个长为25厘米，宽为18厘米的长方形玻璃缸，水