专题18任意角与弧度制

辅导专题十八任意角与弧度制A版(基础版)一、知识结构图二、知识及例题知识点1任意角平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。（射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。正角：按逆时针方向旋转所形成的角平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。（射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。正角：按逆时针方向旋转所形成的角负角：按顺时针方向旋转所形成的角零角：射线没有作任何旋转所形成的角例1将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转150°所得的角的大小为()A.150°B.－150°C.30°D.210°【解析】逆时针方向旋转为正角，所以150°为所求，故选A.【练习1.1】在直角坐标系中，以x轴为始边，绕原点O按顺时针方向旋转480°所得的角的大小为.【解析】顺时针方向旋转为负角，故答案为－480°.【练习2】写出图(1)、(2)中的角α、β、γ的度数．【解析】由图，角的终边α＝360°－30°＝330°；γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.【提醒】任意角，旋转方向决定符号。【知识点2】象限角象限角：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与象限角：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。轴上角：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限，称为轴上角.终边与坐标轴重合的角，例如【各象限角的范围】第一象限角的范围为，Z第二象限角的范围为，Z第三象限角的范围为，Z第四象限角的范围为，Z【例2】试判断下列角是哪个象限角？105︒，1110︒，－210︒【解析】105︒第二象限角，变式1.角是哪个象限角？。【解析】第二象限角变式2.下列命题正确的是()【解析】BA．第一象限角是锐角B．钝角是第二象限角C．终边相同的角一定相等D．不相等的角，它们终边必不相同变式3.若－30°角的始边与x轴的非负半轴重合，现将－30°角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是_________．【解析】690°归结：归结：【知识点3】终边相同的角的表示终边与终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.A组例3.下列与150°角终边相同的角是()【解析】DA.30° B.150° C.390° D.210°变式1.下列各角中，与－1110°的角终边相同的角是()【解析】DA．60°B．－60°C．30°D．－30°变式2.与210°角的终边相同的角（包括210°角）组成的角的集合是.

【解析】{β|β=210°+k·360°,k∈Z}例4.若角α的终边在函数y=x的图象上,试写出角α的集合.【解析】(思路一)函数y=x的图象平分第二、四象限,可以先在0°~360°范围内找出满足条件的角,再写出满足条件的所有角,并化简.(思路二)结合图形,α与135°相差180°的整数倍,由此写出集合.解法一：因为y=x的图象平分第二、四象限,所以在0°~360°范围内所对应的两个角分别为135°及315°,从而角α的集合为S={α|α=k·360°+135°或α=k·360°+315°,k∈Z}={α|α=2k·180°+135°或α=(2k+1)·180°+135°,k∈Z},即S={α|α=k·180°+135°,k∈Z}.解法二:如图.因为角α的终边在函数y=x的图象上,所以角α的集合为S={α|α=k·180°+135°,k∈Z}.变式1.若角α的终边在函数的图象上,试写出角α的集合.【解析】：即S={α|α=k·360°+60°,k∈Z}.变式2.已知集合A＝{α|α＝k·180°±45°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝k·90°＋45°，k∈Z}，则A与B的关系是()ABB．BAC．A＝BD．AB且BA【解析】C例5.已知角α＝2016°．(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°．【解析】(1)由2016°除以360°，得商为5，余数为216°．∴取k＝5，β＝216°，α＝5×360°＋216°．又β＝216°是第三象限角，∴α为第三象限角．（2）与2016°终边相同的角为k·360°＋2016°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2016°<720°(k∈Z)．解得－6eq\f(3,5)≤k<－3eq\f(3,5)(k∈Z)．所以k＝－6，－5，－4．将k的值代入k·360°＋2016°中，得角θ的值为－144°，216°，576°．反思与感悟：求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．变式1.与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，弧度表示为＿＿【解析】；变式2.已知角β＝k·180°＋45°，k∈Z，则角β属于第几象限角？【解析】当k为偶数时，β为第一象限角，当k为奇数时，β为第三象限角例6.已知α为第二象限角,求【解析】可知k·180°+45°<α所以，为第一或第三象限角，故的终边所在的象限是第一或第三象限.变式1.若角α是第一象限角，问－α、2α、eq\f(α,3)是第几象限角？【解析】∵α是第一象限角，∴k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)．(1)－k·360°－90°<－α<－k·360°(k∈Z)，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角(2)2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边落在y轴的非负半轴．(3)k·120°<eq\f(α,3)<k·120°＋30°(k∈Z)方法一：(分类讨论)当k＝3n(n∈Z)时，n·360°<eq\f(α,3)<n·360°＋30°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第一象限角；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°<eq\f(α,3)<n·360°＋150°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第二象限角；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°<eq\f(α,3)<n·360°＋270°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第三象限角．综上可知：eq\f(α,3)是第一、二或第三象限角．方法二：(几何法)如右图，先将各象限分成3等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上1、2、3、4，则标有1的区域即为eq\f(α,3)终边所落在的区域，故eq\f(α,3)为第一、二或第三象限角．技巧与方法：技巧与方法：此时此地你有什么领悟吗？若讨论所属象限，你能get到吗?【知识点4】角度制与弧度制的转化弧度制：半径为r弧度制：半径为r的圆，其圆弧等于半径所对的圆心角即为1弧度，记作：1rad.角度制与弧度制的关系：常用特殊角的弧度数0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0例7.（1）将角度制转换成弧度制：①rad.②rad.③rad【解析】，，（2）将弧度制转换成角度制：①2=②③.【解析】，，变式1.角度制与弧度制间的互化：①,;②rad,rad【解析】①，；②，变式2．α＝－2rad，则α的终边在 ()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解析】∵1rad≈57.30°，∴－2rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限．【知识点5】弧长公式，扇形面积公式：，扇形面积公式：（为弧度制）.例8.已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。【解析】2变式1.已知半径为10cm的圆上，有一条弧的长是40cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是_____．【解析】4变式2.已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【解析】设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.(0<r<20)∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100．∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，此时θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(40－2×10,10)＝2(rad)．三、易错点整理易错一区间角的表示例1.已知，如图所示．①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【解析】①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．误区警示

正角是按逆时针方向旋转，区间角的书写注意旋转方向，逆时针方向旋转，角变大，区间角是大于小角小于大角。易错二扇形的弧长、面积例2.求半径为πcm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．【解析】因为r＝π，α＝120×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,3)，所以l＝αr＝eq\f(2π2,3)cm，S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(π3,3)cm2.错误区警示扇形的弧长、面积公式中，圆心角的度数应为弧度制。易错三任意角三角函数的定义运用四、课后检测一、单选题1．下面与角终边相同的角是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据终边相同的角的表示方法，即可得到答案．【详解】解：因为.所以与的终边相同.故选C．【点睛】本题主要考查终边相同的角的集合，注意集合的表示方法是解题的关键，属基础题．2．化为弧度是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】3．若，则角的终边在（）A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第一、四象限 D．第二、四象限【答案】B【解析】【分析】由可得或由三角函数在各个象限的符号可求角的终边所在象限.【详解】由可得或当时，角的终边位于第一象限，当时，角的终边位于第三象限.故选：B.【点睛】本题考查角函数在各个象限的符号，属基础题.4．设终边在轴的负半轴上的角的集合为则（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据角的表示方法及终边在轴的负半轴上,即可得解.【详解】根据角的表示方法可知,终边在轴的负半轴上的角可以表示为,,故选:D【点睛】本题考查了角的表示方法,终边在轴的负半轴上角的表示形式,属于基础题.二、多选题5．（多选）下列说法正确的是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．的角是周角的，的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关【答案】ABC【解析】【分析】根据角度制和弧度制的概念，以及角度制和弧度制的互化，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A中，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位,所以是正确的；对于B中，周角为，所以的角是周角的，周角为弧度，所以的角是周角的是正确的；对于C中，根据弧度制与角度制的互化，可得，所以是正确；对于D中，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关的，所以D项是错误的.故选ABC.【点睛】本题主要考查了角度制与弧度制的概念，以及角度制与弧度制的互化，其中解中熟记角度制和弧度制的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．设是第三象限角，则所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】BD【解析】【分析】用不等式表示第三象限角α，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定的终边所在的象限．【详解】是第三象限角，，，则，，令，有，；在二象限；，，有，；在四象限；故选：B．【点睛】本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限,属于容易题.三、填空题7．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦矢+）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于9m的弧田.按照上述经验公式计算所得弧田的面积是________.【答案】.【解析】【分析】如下图所示，在中，求出半径，即可求出结论.【详解】设弧田的圆心为，弦为，为中点，连交弧为，则，所以矢长为，在中，，，所以，，所以弧田的面积为.故答案为：.【点睛】本题以数学文化为背景，考查直角三角形的边角关系，认真审题是解题的关键，属于基础题.8．如图，是直角边长为的等腰直角三角形，直角边是半圆的直径，半圆过点且与半圆相切，则图中阴影部分的面积是_______.【答案】【解析】【分析】利用等弦所对的弧相等，先把阴影部分变化成一个直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圆的半径，从而求出阴影部分的面积。【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了应用面积的计算，解答的关键是理解经过一定的平移后，阴影部分的面积为直角梯形的面积，注重考查了推理与运算能力，属于中档试题.四、解答题9．已知扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求：（1）弧AB的长；（2）扇形所含弓形的面积.【答案】（1）4π；（2）12π－9.【解析】【分析】（1）根据弧长公式，代值即可求得结果；（2）利用扇形面积公式，求得扇形面积；再减去三角形面积，则问题得解.【详解】（1）l＝α·R＝π×6＝4π，所以弧AB的长为4π.（2）S扇形OAB＝lR＝×4π×6＝12π.如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，π＝120°，所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，于是有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos30°×3＝9.所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.所以弓形的面积是12π－9.【点睛】本题考查弧长公式和扇形面积公式，属基础题.10．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．【答案】α＝15°，β＝65°.【解析】试题分析：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.结合题意令k＝1，得α＋β＝80°.α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，令k＝－2，得α－β＝－50°.求解方程组可得α＝15°，β＝65°.试题解析：由题意可知，