111空间向量及其线性运算-高二上学期数学(人教A版2019选择性)

高中数学

人教A版（2019）

选择性必修第一册第一章

空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算山东沂水县第四中学教材分析

第一章空间向量与立体几何课时内容1.1.1空间向量及其线性运算1.1.2空间向量的数量积运算所在位置教材第2页教材第6页新教材内容分析向量是既有大小也有方向的量，即用有向线段表示空间中具体存在的矢量；空间向量是平面向量的延伸，基本具有平行向量的性质，具有加法、减法和数乘等线性运算以及数量积运算，并且均满足运算律：结合律、交换律和结合律，向量在数学、物理以及现代科技中有着广泛应用。空间向量的数量积运算与平面向量的数量积运算一样，均满足运算律：交换律和数乘运算结合律和分配律，并且在数学、物理以及现代科技中有着广泛应用。空间向量的运算还包括较为特殊的数量积运算，即是AxA=B的形式。在向量运算背景下，我们得以实现对长度、面积和体积等度量单位的计算问题，向学生们展现了不一样的计算类型。

核心素养培养在教学时，类比平面向量得出空间向量的相关概念，体现了直观想象的核心素养；通过空间向量的性质与运算，强化数学运算的核心素养，通过几何体中的线性运算，巩固学习空间向量的含义与运算，有利于培养学生空间想象能力即数学抽象、直观想象和数学运算等数学核心素养。

通过空间向量的数量积运算，强化数学运算的核心素养，通过几何体中的数量积运算，有利于培养学生空间想象能力即数学抽象、直观想象和数学运算等数学核心素养。

教学主线空间向量的线性运算与数量积运算本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第一章《空间向量与立体几何》的第一节《空间向量及其运算》。以下是本节的课时安排：学习目标

1.理解空间向量的含义，能够区别于平面向量，懂得一些特殊向量如零向量和单位向量。理解相等向量和相反向量，后续进一步理解共面向量和异面向量。2.掌握空间向量的加法、减法和数乘等线性法则、以及结合律和交换律等运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解，培养数形结合思想，发展数学抽象等核心素养。重点、难点1.重点：通过类比平面向量的概念来归纳并理解空间向量的含义，发现空间向量也与平面向量满足线性运算(加法、减法和数乘），懂得运算律。2.难点：空间向量的线性在简单空间几何体中的计算和应用。（一）新知导入

想象一个滑翔伞运动的场景，在滑翔过程中，飞行员受到来自不同方向、大小各异的力，如绳索的拉力、风力、重力等，这些力在同一平面内吗？我们知道，力是既有大小又有方向的量，在数学上，我们把这些力称为什么？[提示]这些力不在同一平面内，在数学上，我们把这些力称为空间向量．（二）空间向量及其线性运算【知识点1】空间向量的有关概念

大小方向

01相反互相平行重合平行任意相同相等空间向量的相关概念与平面向量类似，可对比记忆。（二）空间向量及其线性运算

（二）空间向量及其线性运算【知识点2】空间向量的线性运算

【思考】平面向量的加法、减法、数乘运算法则是什么?（二）空间向量及其线性运算(1)空间向量的加法、减法以及数乘运算图(1)图(2)

(2)空间向量的线性运算满足的运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa,λ(a＋b)＝λa＋λb.(3)一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量．空间向量的线性运算法则与平面向量的线性运算法则一样。（二）空间向量及其线性运算

（二）空间向量及其线性运算【知识点3】共线向量与共面向量【探究1】根据平面向量知识，回答下列两个问题：(1)在平面向量中，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是什么？对于空间向量是否也成立呢？[提示]a∥b(b≠0)的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.对于空间向量仍然成立．(2)当向量a，b不共线时，对于平面内任一向量p是否都能用向量a，b表示？怎样表示？【提示】是，存在唯一的有序实数对(x，y)，使向量p＝xa＋yb.【探究2】任意两个向量是共面的，若有三个向量，在什么条件下可以共面？【提示】若三个向量中其中一个可以被另外两个线性表示，即向量P,a，b，存在有序数对（x，y）使得P=xa+yb时，这三个向量共面。（二）空间向量及其线性运算(1)

共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相

，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于

的向量，叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb

(2)直线l的方向向量：已知O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，存在实数λ，使得＝λa.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．(3)与直线、平面平行的向量：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.同一个平面平行或重合（二）空间向量及其线性运算

【答案】B

【重要结论】（三）典型例题1.空间向量的有关概念

（三）典型例题【类题通法】1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．【巩固练习1】下列命题中正确的个数是()①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．A．1B．2

C．3 D．4【解析】对于①，由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②，共线不一定同向，故②错误；对于③，正确；对于④，正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．【答案】C（三）典型例题2.空间向量的线性运算

（三）典型例题

（三）典型例题【类题通法】用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型，解决这类问题，要注意两个方面：(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；(2)要注意数形结合思想的运用，培养直观想象素养.

（三）典型例题3.空间向量共线问题

（三）典型例题【类题通法】1.判断向量a，b共线的方法有两种：(1)定义法，即证明a，b所在直线平行或重合．(2)利用“a＝λb⇒a∥b”判断．2.如果a，b是由空间图形中的有向线段表示的，可利用空间向量的运算性质，结合具体图形，化简得出a＝λb，从而得出a∥b，即a与b共线.

（三）典型例题4.空间向量共面问题

（三）典型例题

（四）操作演练

素养提升

答案：1.D2.C3.14.略（五）课堂小结知识总结学生反思（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2