专题03立体几何大题拔高练（原卷版）

【一专三练】专题03立体几何大题拔高练新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）如图，已知四棱锥中，，，，平面，平面平面(1)证明：；(2)若，且，为的重心．求直线与平面所成角的正弦值．2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，在四面体中，为的重心，，分别在棱，上，平面平面.(1)求的值；(2)若平面，，且，求平面与平面的夹角的大小.3．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）如图，四棱锥的底面是正方形，点P，Q在侧棱上，E是侧棱的中点．(1)若，证明：BE∥平面；(2)若每条侧棱的长都是底面边长的倍，从下面两个条件中选一个，求二面角的大小．①平面；②P为的中点．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．4．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上的动点（不与A、C重合），平面与棱交于点.(1)求证；(2)若平面平面，，判断是否存在点D使得平面与平面所成的锐二面角为，并说明理由.5．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知平行六面体中，，，，侧面是菱形，．(1)求与底面所成角的正切值；(2)点分别在和上，，过点的平面与交于G点，确定G点位置，使得平面平面．6．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）如图所示，在三棱锥中，满足，点M在CD上，且，为边长为6的等边三角形，E为BD的中点，F为AE的三等分点，且.(1)求证：面ABC；(2)若二面角的平面角的大小为，求直线EM与面ABD所成角的正弦值.7．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图，在多面体PABCFE中，PA⊥平面ABC，，且,D为PA的中点，连接BD，PC，点M，N满足.(1)证明：平面PEF；(2)若，，求直线PC与平面PEF所成角的正弦值．8．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，四边形为菱形，E为棱的中点，为等边三角形．(1)求证：；(2)若，求平面和平面夹角的余弦值．9．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）图1是直角梯形ABCD，，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达的位置，且．(1)求证：平面平面ABED．(2)在棱上是否存在点P，使得点P到平面的距离为？若存在，求出直线EP与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．10．（2023·河北石家庄·统考一模）如图，四棱锥中，底面为矩形且垂直于侧面，为的中点，，．(1)证明：平面；(2)侧棱上是否存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求的值；若不存在，说明理由．11．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面和侧面均为正方形，为棱的中点．(1)证明：平面平面；(2)若直线与平面所成角为30°，求平面与平面夹角的余弦值．12．（2023·福建厦门·统考二模）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB⊥AD，A1D⊥BD1．(1)证明：四边形ADD1A1为正方形；(2)若直线BD1与平面ABCD所成角的正弦值为，CD＝2AB，求平面ABD1与平面BCD1的夹角的大小．13．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，直角梯形ABCD中，，直角梯形ABCD绕BC旋转一周形成一个圆台．(1)求圆台的表面积和体积；(2)若直角梯形ABCD绕BC逆时针旋转角到，且直线与平面ABCD所成角的正弦值为，求角的最小值．14．（2023·山东青岛·统考一模）如图，在中，，且，，将绕直角边PA旋转到处，得到圆锥的一部分，点D是底面圆弧BC(不含端点)上的一个动点．(1)是否存在点D，使得？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由；(2)当四棱锥体积最大时，求平面PCD与平面PBD夹角的余弦值．15．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）如图所示，在直三棱柱中，E，F分别是线段AC，的中点，．(1)求证：平面平面；(2)若，且二面角的余弦值为，求的值．16．（2023·湖北·统考模拟预测）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，．(1)当时，求三棱柱的体积；(2)设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．17．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，四棱台的下底面和上底面分别是边和的正方形，侧棱上点满足.(1)证明：直线平面；(2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值.18．（2023·湖南·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面ABC⊥平面，侧面为菱形，，底面ABC为等腰三角形，，O是AC的中点．(1)证明：；(2)若二面角的余弦值为，求三棱柱的体积．19．（2023·山东聊城·统考一模）如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面．(1)证明：平面平面；(2)若，，，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．20．（2023·湖南郴州·统考三模）如图，在三棱锥中，侧面底面是边长为2的正三角形，分别是的中点，记平面与平面的交线.(1)证明：直线平面.(2)若在直线上且为锐角，当时，求二面角的余弦值.21．（2023·湖南岳阳·统考二模）在中，，过点作，交线段于点（如图1），沿将折起，使（如图2），点分别为棱的中点.(1)求证：；(2)在①图1中，②图1中，③图2中三棱锥的体积最大.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再解答问题.问题：已知__________，试在棱上确定一点，使得，并求平面与平面的夹角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，D，E，P分别在棱AC，AB，BC上，且D为AC中点，，于F.(1)证明：平面平面；(2)当，，二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正弦值.23．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）如图在三棱柱中，为的中点，，.(1)证明：；(2)若，且满足：______，______（待选条件）.从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角的正弦值.①三棱柱的体积为；②直线与平面所成的角的正弦值为；③二面角的大小为60°；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.24．（2023·浙江·校联考三模）如图，四面体中，，，与面的所成角为．(1)若四面体的体积为，求的长；(2)设点在面中，，，过作的平行线，分别交于点，求面与面所成夹角的余弦值．25．（2023·广东江门·统考一模）如图，在四棱锥中，底面是菱形，是的中点，点在上，且平面.(1)求的值；(2)若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值.26．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，．(1)求证：平面平面ACD；(2)若，，五面体ABCDE的体积为，求平面CDE与平面ABED所成角的余弦值．27．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）如图，直三棱柱内接于圆柱，，平面平面．(1)证明：为圆柱底面的直径；(2)若M为中点，N为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．28．（2023·江苏·二模）已知矩形，，为的中点，现分别沿，将和翻折，使点重合，记为点．(1)求证：(2