专题07解三角形图形类问题

专题07解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在梯形中，，，，．(1)若，求梯形的面积；(2)若，求．【解析】(1)设，在中，由余弦定理得：，即，而x>0，解得，所以，则的面积，梯形中，，与等高，且，所以的面积，则梯形的面积；(2)在梯形中，设，而，则，，，，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，两式相除得：，整理得，即解得或，因为，则，即．例2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））如图，在平面四边形ABCD中，，，．(1)若，求的面积；(2)若，求BC．【解析】(1)由可得，又故，故(2)设，则，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化简得，即，利用降幂公式有，利用辅助角公式有，故，利用诱导公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故例3．（江苏省南京市宁海中学2023届高三下学期4月模拟考试数学试题）在中，内角的对边分别为，，点在边上，满足，且．(1)求证：；(2)求．【解析】(1)，，；在中，由正弦定理得：；在中，由正弦定理得：；又，，即，.(2)在中，由余弦定理得：；在中，由余弦定理得：；，，即，整理可得：；在中，由余弦定理得：，则，，，即；.例4．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面四边形中，，，.(1)当，时，求的面积；(2)当，时，求.【解析】(1)当时，在中，由余弦定理得，即，解得，，因为，则，又，所以的面积是.(2)在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，则，整理得，而，为锐角，所以.题型二：两角使用余弦定理例5．（2023·湖北·襄阳四中模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.(1)证明：，；(2)若，，求的最小值.【解析】(1)在和中，可得，，所以，，由正弦定理，得，，两式相除得，可得，，又由，根据余弦定理得所以代入可得.(2)解：由，及，可得根据基本不等式得，解得，当且仅当时等号成立，又由，，可得，所以的最小值是3.例6．（2023·湖北武汉·二模）如图，内一点满足.(1)若，求的值；(2)若，求的长.【解析】(1)，此时.在中，，又，故所以(2)设，在中，.在中，，代入得：.又，故.即，解得：，所以.例7．（2021·全国·高考模拟）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【解析】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，因为，所以，即．又因为，所以．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为，如图，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因为，所以，解得或，当时，（舍去）．当时，．所以．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知，则，即，而，即，故有，从而．由，即，即，即，故，即，又，所以，则．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化简得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作，交于点E，则．由，得．在中，．在中．因为，所以，整理得．又因为，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为，所以．以向量为基底，有．所以，即，又因为，所以．③由余弦定理得，所以④联立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于的直线为y轴，长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则．由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设，则．⑤由知，，即．⑥联立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．题型三：张角定理与等面积法例8．（广东省2023届高三三模数学试题）已知△ABC中，分别为内角的对边，且.(1)求角的大小；(2)设点为上一点，是的角平分线，且，，求的面积.【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理及得：，..由余弦定理得，又，所以(2)是的角平分线，，由可得因为，，即有，，故例9．（2023·湖北武汉·模拟预测）在中，设角，，所对的边分别为，，，且(1)求；(2)若为上的点，平分角，且，，求.【解析】(1)因为，所以由正弦定理可得：，整理得.由余弦定理得：又因为所以(2)由（1）知.又因为平分角，所以.由得.即.又因为，，所以.再由角平分线的性质可知：例10．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（理））在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)若，D为AC边上的一点，，且______，求的面积．①BD是的平分线；②D为线段AC的中点．（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）．【解析】(1)由正弦定理知：又：代入上式可得：，则故有：又，则故的大小为：(2)若选①：由BD平分得：则有：，即在中，由余弦定理可得：又，则有：联立可得：解得：（舍去）故若选②：可得：，，可得：在中，由余弦定理可得：，即联立解得：故题型四：角平分线问题例11．（2022·河南·模拟预测（理））如图，在中，D为边BC的中点，的平分线分别交AB，AD于E，F两点．(1)证明：；(2)若，，，求DE．【解析】(1)在中，由正弦定理可知，且在中，由正弦定理可知，因为D为BC中点，即，所以，即．(2)当时，可知，，又因为，且为锐角，所以，所以，，因为，所以，，，，，由余弦定理可知，可得．例12．（2022·广东佛山·三模）设的内角、、的对边分别为、、，已知，的平分线交于点，且．(1)求；(2)若，求．【解析】(1)解：由及正弦定理可得，、，则，所以，，解得，所以.(2)解：因为，即，所以，因为，则，所以，所以.例13．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知的内角、、的对边分别为、、，且的面积为．(1)求；(2)若，的角平分线与边相交于点，延长至点，使得，求．【解析】(1)解：由题可知，所以，由余弦定理，所以，可得，因为，所以.(2)解：不妨令，因为，可得，，又因为为的角平分线，所以，，得，所以在中，由余弦定理可得，即，在中，可得，，所以，为等边三角形，所以，在中，由余弦定理可得，得．题型五：中线问题例14．（2023·广东佛山·高三期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若边上的中线，求的面积.【解析】(1)解；因为，所以，所以，即，因为，所以，所以；(2)在中，由余弦定理得，即①，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，两式相加得②，由①②得，所以.例15．（2023·全国·模拟预测）在中．．(1)求角；(2)若，点是线段的中点，于点，且，求的长．【解析】(1)，；，，，解得：.(2)是中点，，又，解得：；在中，由余弦定理得：，，则，.例16．（2023·海南海口·二模）在中，角的对边分别为已知，．(1)求；(2)若，边的中点为，求．【解析】(1)在中，由正弦定理，得．(2)由及，得，中，由余弦定理，得，即，解得或（舍），所以，又因为边的中点为，所以即，在中，由余弦定理得，所以．题型六：高问题例17．（2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，的面积为4，求BC边上的高．【解析】(1)，即．，，．又，．(2)，．故由余弦定理可知．而，解得，所以BC边上的高为．例18．（2023·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）从①为锐角且sinB－cosC＝；②b＝2asin(C＋)这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求角A；(2)若b＝c且BC边上的高AD为2，求CD的长．【解析】(1)选①因为，所以，由余弦定理得，，所以，即由正弦定理得在中，有，故由A为锐角，得选②因为b＝2asin(C＋)，由正弦定理得即

化简得在中，有，由A为锐角得，所以，得(2)由题意得，，所以，又b＝c，所以由余弦定理，解得所以，，所以是钝角三角形所以，所以在直角中，例19．（2023·北京房山·二模）在中，.(1)求；(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上的高.条件①：；条件②：；条件③：的面积为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】(1)方法一：在中，因为，所以由正弦定理可得.因为，所以.所以.在中，，所以，所以.方法二：在中，因为，由余弦定理得，整理得所以，所以.(2)选条件②：由（1）知因为在中，，所以又，所以所以设边上高线的长为h，则.选条件③：因为所以，由余弦定理得所以.设边上高线的长为h，则例20．（2023·山东青岛·一模）在中，内角，，的对边分别为，，，且．(1)求角；(2)若，边上的高为，求边．【解析】(1)因为，所以，所以由正弦定理得，所以由余弦定理得，因为，所以.(2)由三角形面积公式得，，所以，即，由余弦定理得，将代入上式得，解得或（舍），所以边.【过关测试】1．（2022·山东潍坊·统考三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．(1)求角的大小；(2)若，，的平分线交边于点，求的长．【解析】(1)，，由正弦定理得：，因为，所以，即，因为，所以，所以，即，因为，所以，，解得：.(2)由（1）知：，所以，即，解得：，由余弦定理得：，所以，解得：，解得：或当得：，则，所以，在三角形ABT中，由正弦定理得：，，即，解得：；当时，同理可得：；综上：2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，对角线平分的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知.(1)求B；(2)若，且________，求线段的长.从下面①②中任选一个，补充在上面的空格中进行求解.①△ABC的面积；②.【解析】（1）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以.（2）选①，因为的面积，所以，即，，由余弦定理得所以，所以，因为平分，所以，所以，选②，因为，在中，由余弦定理：，即，所以，因为，所以，因为平分，所以，因为，，由正弦定理得，，所以，又，所以，所以是直角三角形，且，所以.3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的内接四边形ABCD中，，BC=2，．(1)求四边形ABCD的面积；(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求的值．【解析】（1）在中，在中，∵A，B，C，D四点共圆，∴，∴，∴，因为，所以，所以，，（2）由（1）可知即外接圆的直径，设的中点为，所以，．4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，，，且是边长为的等边三角形，交于点．(1)若，求；(2)若，设，求．【解析】（1）因为，可得，因为，可得，，故中，，可得．（2）设，则，，在中，由余弦定理得，所以，可得，可得，可得，解得，因为，则，得，则，所以，得．5．（2023春·全国·高一专题练习）在平面四边形中，，，．(1)若的面积为，求；(2)记，若，，求．【解析】（1），解得，由余弦定理得，因此，.（2）在中，，在中，，

由正弦定理得，即，所以，，即，故.6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，分别是的中点．从条件①；②中选择一个作为已知条件，完成以下问题：(1)求的余弦值；(2)若相交于点，求的余弦值．（注：若两个条件都选择作答，则按第一个条件作答内容给分）【解析】（1）若选择条件①：在中，由余弦定理可求得，．若选择条件②：在中，，，由余弦定理可求得，所以，在中，由余弦定理可求得．．（2）若选择条件①：在中，由余弦定理可求得，由于分别是的中点，所以，则，，，在中，由余弦定理可得．连接，由，可得，则．所以，，在中，余弦定理求得．若选择条件②：由于分别是的中点，所以，则，，，在中，由余弦定理可得．连接，由，可得，则．所以，，在中，余弦定理求得．7．（2022·湖南·校联考模拟预测）如图，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求的值；(2)在的延长线上有一点D，使得，求．【解析】（1）在中，由正弦定理得，又在中，，所以上式可化为．因为，所以，又因为是锐角三角形，．解得．（2）由（1）得：，又是锐角三角形，所以，所以．在中，由正弦定理得：，即，解得．8．（2022秋·福建福州·高三福建省福州屏东中学校考开学考试）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，使得问题成立，并求的长和的面积．如图，在中，D为边上一点，，_______，求的长和的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】选条件①，，所以．在中，由余弦定理，得．在中，由正弦定理，得，即，所以．所以，所以，所以．所以的面积为．选条件②，，所以，所以．在中，由正弦定理，得，得，．因为，所以，所以，所以的面积为．选条件③，．所以．因为，所以，在中，可得，所以．所以．在中，由正弦定理，得，得．因为，所以，所以，所以．所以的面积为．9．（2022春·四川·高一四川省峨眉第二中学校校考期中）如图，在平面四边形ABCD中，，，．(1)求；(2)若，的面积为，求CD．【解析】(1)中，，．所以，所以；(2)中，由正弦定理得，，所以，又，所以，因为的面积，所以．10．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在△ABC中，，，，Q为△ABC内一点，．(1)若，求；(2)若，求．【解析】(1)在△ABC中，，，，由余弦定理得：，即，则即，所以．在△QBC中，由正弦定理得：，即，解得，所以，所以，所以，在△AQC中，由余弦定理得：，即，所以．(2)因为，，所以，设，则，所以，在Rt△AQB中，，在△QBC中，由正弦定理得：，即，所以，，解得：．11．（2022·江西南昌·南昌市实验中学校考一模）如图，在中，角、、所对的边分别为、、，．(1)求；(2)若，，，求的长．【解析】（1）在中，由正弦定理得：，，，即，因为，所以.（2）∵，且，则，在中，，，，由余弦定理得，即，整理得,解得：或.经验证或均满足三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.故的长为1或3.12．（2023春·全国·高一专题练习）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边上，为的角平分线．．(1)求；(2)若，求的大小．【解析】（1），，即由正弦定理可得，即（2），即设，则，解得13．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）如图，在平面四边形ABCD中，，，．(1)若，求的面积；(2)若，求BC．【解析】（1）由可得，又故，故（2）设，则，，在中，由正弦定理可得，即，交叉相乘化简得，即，利用降幂公式有，利用辅助角公式有，故，利用诱导公式可得，故，又，解得，又由正弦定理有，故14．（2022·全国·河源市河源中学校联考模拟预测）已知凸四边形ABCD满足，点E为AD的中点，且.(1)求证：AB⊥AD；(2)若AD上一点F满足，且有，求的余弦值.【解析】(1)连接AC，由余弦定理可知，化简得到，∴，△ACD为等腰三角形.∵点E为AD的中点，而等腰三角形三线合一，∴，又∵，∴AB⊥AD.(2)连接CF，由余弦定理得，将，代入上式，化简得，即，故.15．（2022春·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）在中，，，，(1)若平分边且交于，