专题04 指、对、幂函数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）

专题04指、对、幂函数目录TOC\o"1-2"\h\u明晰学考要求 1基础知识梳理 1考点精讲讲练 5考点一：指数运算与对数运算 5考点二：幂函数的概念与性质 6考点三：指数函数的图象与性质 9考点四：对数函数的图象与性质 11考点五：比较指数式和对数式的大小 14实战能力训练 20明晰学考要求1、掌握并运用有理数指数幂的运算性质；2、会求简单的对数值，会运用对数的运算性质和换底公式进行化简求值；3、了解幂函数的概念、图象特征和性质；4、了解指数函数的概念；5、掌握指数函数的图象和性质；6、了解对数函数的概念；7、掌握对数函数的图象和性质.基础知识梳理1、实数指数幂的运算（1）n次方根①定义：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.②性质：n为奇数n为偶数a∈Ra>0a＝0a<0x＝eq\r(n,a)x＝±eq\r(n,a)x＝0不存在（2）根式①定义：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．②根式的性质：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作eq\r(n,0)＝0；(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n为大于1的偶数)．（3）根式与分数指数幂的互化①正数的正分数指数幂的意义：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；②正数的负分数指数幂的意义：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；③整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)；eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))r＝eq\f(ar,br)(a>0，b>0，r∈Q)．2、对数的概念（1）定义：一般地，如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．（2）两类特殊对数①以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN.②以无理数e＝2.71828…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.（3）对数的性质①(1)loga1＝0(a>0，且a≠1)．②logaa＝1(a>0，且a≠1)．③0和负数没有对数．④对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．3、对数的运算(1)运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN.②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.③logaMn＝nlogaM(n∈R)．（2）对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)，使用时，经常换成常用对数或自然对数，即logab＝eq\f(lgb,lga)或logab＝eq\f(lnb,lna).4、幂函数（1）幂函数的概念：函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．①自变量前的系数是1；②幂的系数为1；③幂函数的定义域与α有关．（2）一般幂函数的图象特征：①在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1,1)．②当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．③当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义．④在(—∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限．5、指数函数的概念（1）概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R.（2）指数函数的特征：底数a>0，且a≠1；指数幂的系数为1.6、指数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)最值无最值过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的图象关于y轴对称7、对数函数的概念（1）概念：一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．（2）函数特征：对数函数的系数为1，真数只能是一个x.8、对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0<x<1时，y<0，当x>1时，y>0当0<x<1时，y>0，当x>1时，y<0单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数9、反函数的概念(1)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换.(2)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.考点精讲讲练考点一：指数运算与对数运算【典型例题】例题1．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）化简的值为（

）A．0 B．1 C． D．例题2．已知，则=.例题3．下列各式中，正确的是（

）A． B．C． D．【即时演练】1.若，则的值为（

）A． B． C． D．2.计算3.计算：.考点二：幂函数的概念与性质【典型例题】例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数在0,+∞上单调递减，则实数的值为（

）A． B． C．3 D．1例题2．（2023高三·江苏·学业考试）已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（

）A．-2 B． C．2 D．33.（2023高三上·江苏徐州·学业考试）下列函数中，定义域为R且为奇函数的是（

）A． B． C． D．【即时演练】1．函数为幂函数，则（

）A．4 B．3 C．2 D．12.下列函数中，既是其定义域上的单调递减函数，又是奇函数的是（

）A． B． C． D．3.已知幂函数为偶函数，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．或1考点三：指数函数的图象与性质【典型例题】例题1．（2022高三上·江苏徐州·学业考试）若函数的图像不过第一象限，则a，b所满足的条件是（

）A．a>1，b<-1 B．0<a<1，b≤-1C．0<a<1，b<-1 D．a>1，b≤-1例题2．函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

例题3．已知函数，且f(3-2t)>f(t)，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【即时演练】1．已知指数函数的图象经过点，则（

）A．4 B．1 C．2 D．2.函数（，且）的图象过的定点是（

）A． B． C． D．3.函数的值域为（）A． B． C． D．考点四：对数函数的图象与性质【典例讲解】例题1．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）函数（，）的图象过定点，则的坐标为（

）A． B． C． D．例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）函数的定义域是（

）A． B．C． D．例题3．（2023高一上·江苏苏州·学业考试）已知函数.(1)当时，求该函数fx的值域；(2)若不等式在上有解，求的取值范围.【即时演练】1．函数（，且）的图象一定过点（

）A． B． C． D．2.函数的图象是（

）A． B．C． D．3.函数的定义域为（

）A． B． C． D．考点五：比较指数式和对数式的大小【典例讲解】例题1．（2023高三·江苏·学业考试）已知，则（

）A． B．C． D．例题2.（2022高三上·江苏徐州·学业考试）设，则a，b，c的大小关系是（

）A．a<b<c B．a<c<b C．c<c<b D．b<a<c例题3.（2024江苏扬州·学业考试模拟试卷）若，，，则（

）A． B． C． D．【即时演练】1．已知，则.（

）A． B．C． D．2.已知，，，则（

）A． B． C． D．3．三个数的大小关系为（

）A． B．C． D．实战能力训练1．（

）A． B． C．0 D．12．已知，，则的值为（

）A．4 B．8 C．16 D．323．已知.若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．34．三个数，，之间的大小关系为（

）．A． B．C． D．5.函数的图象经过（

）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（2，0）6.函数与的图象大致是（）A． B．C． D．7.已知幂函数的图象经过点，则（

）A．2 B． C． D．8