解题技巧：巧用幂的运算法则压轴题三种模型全攻略（解析版）

专题04解题技巧专题：巧用幂的运算法则压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一逆用幂的相关公式求值】 1【类型二先化为同底数，再灵活运用幂的公式计算】 3【类型三利用幂的运算比较大小】 6【典型例题】【类型一逆用幂的相关公式求值】例题：（2023春·广东河源·八年级校考开学考试）已知：，则．【答案】【分析】根据同底数幂的除法及乘法进行计算即可．【详解】解：，把代入得：．故答案为：．【点睛】本题考查的是同底数幂的除法及乘法，解答此题的关键是逆用同底数幂的除法及乘法的运算法则进行计算．【变式训练】1．（2023春·四川达州·七年级统考期末）已知，则．【答案】【分析】逆用同底数幂的乘法法则对原式进行变形，再逆用幂的乘方法则继续变形，代入求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，熟练掌握公式是解题的关键．2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）计算的结果是．【答案】/【分析】逆用同底数幂的乘法法则计算即可．【详解】∵，故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握公式的逆用是解题的关键．3．（2023·上海·七年级假期作业）若，，求的值．【答案】【分析】逆用幂的乘方，除法法则计算即可．【详解】，把，代入得．【点睛】本题考查了同底数幂的乘方与除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．（2023秋·八年级课时练习）（1）已知，，用，表示的值；（2）已知，，求的值．【答案】（1）（2）5．【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，逆用法则可得．再将，，代入，即可解决此题．（2）先根据幂的乘方得到，再将，代入，即可解决此题．【详解】解：（1），，.（2），，原式.【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．5．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）（1）已知，，求的值．（2）已知为正整数，且，求的值．【答案】（1）；（2）56【分析】（1）根据同底数幂的乘法公式的逆应用求解即可；（2）根据幂的乘方与积的乘方运算法则求解即可．【详解】解：（1）∵，，∴；（2），∵n为正整数，且，∴原式．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．【类型二先化为同底数，再灵活运用幂的公式计算】例题：（2023春·江苏常州·七年级常州市第二十四中学校考阶段练习）若，求的值．【答案】5【分析】先根据幂的乘方法则变为以3为底的幂，再根据同底数幂的乘法计算，进而列出关于x的方程求解即可．【详解】∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，以及解一元一次方程，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知为正整数，且，求的值．【答案】【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方，即可解答．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，解决本题的关键是转化为同底数幂的乘法．2．（2023春·江苏徐州·七年级校考阶段练习）（1）已知，求的值．（2）已知，求n的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根据幂的乘方的逆运算得到，再根据同底数幂乘法计算法则求解即；（2）先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，进一步推出，由此得到，则，即．【详解】解：（1）∵，∴，∵，∴；（2）∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，幂的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．3．（2023春·江苏·七年级校考周测）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）81（2）【分析】（1）首先将变形为，再将变形为，然后利用幂的乘方与同底数幂乘法得到，再把代入计算即可；（2）首先将变形为，即，则，求得,代入计算即可．【详解】解：（1）∵，∴，∴；（2）∵，∴，，，∴，解得：，∴．【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘方法则及其灵活运用是解题的关键．4．（2023春·江苏·七年级期中）求值：(1)已知，求的值．(2)已知，，求的值．(3)已知，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴；（2）∵，，∴；（3）∵，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算．正确掌握相关运算法则是解题的关键．【类型三利用幂的运算比较大小】例题：（2023春·江苏无锡·七年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习）比较下列各题中幂的大小：(1)比较，，，这4个数的大小关系；(2)已知，，，比较a、b、c的大小关系；(3)已知，，比较P，Q的大小关系；【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根据幂的乘方的逆用进行转换得、、，，比较即可；（2）根据幂的乘方的逆用进行转换得、、，比较即可；（3）依据积的乘方公式及同底数的幂的除法化简可得即可得结果．【详解】（1）解：，，，，，；（2），，，，，；（3）．【点睛】此题考查了幂的乘方的逆用，积的乘方以及同底数幂的除法；解题的关键是利用相关公式将底数或指数统一．【变式训练】1．（2023春·江苏·七年级期中）阅读：已知正整数显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题．(1)比较大小：520420（填写＞、＜或＝）．(2)比较与的大小（写出具体过程）．(3)已知，求的值．【答案】(1)(2)(3)603979776【分析】（1）根据同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，即可进行解答；（2）将根据幂的乘方的逆运算，将与转化为同指数的幂，再比较大小即可；（3）根据同底数幂乘法的逆运算，将转化为，再根据积的乘方的逆运算，整理为含有和的形式，进行计算即可．【详解】（1）解：，故答案为：．（2）（3）．【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算法则和逆运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则及其逆运算法则．2．（2023春·广东茂名·七年级校联考阶段练习）阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较，的大小；当时，，当同底数相同时，指数越大值越大；②比较和的大小，，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大；根据上述材料，回答下列问题．(1)比较大小____________（填写>、<或=）；(2)已知，，，试比较、、的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂的乘方的逆运算进行化简比较即可；（2）根据题目中的方法，变化成指数相同时，比较底数即可．【详解】（1）解：，；故答案为：；（2），．，，，．【点睛】题目主要考查幂的乘方的逆运算及有理数的乘方运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题关键．3．（2023春·七年级课时练习）探究题：(1)计算下列算式的结果：______，______；发现，小浦猜想会有如下规律：______（用，，表示）；(2)利用上述规律，你能帮助小浦解决下列问题吗？①若，求的值；②比较，，的大小，并用“”号连接．【答案】(1)64；64；(2)①；②【分析】（1）根据乘