浙江省温州环大罗山联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题（含答案）

2024学年第一学期温州环大罗山联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为（）A． B． C． D．2．在正方体中，是BD的中点，则直线和夹角的余弦值为（）A． B． C． D．3．设，则“”是“直线与直线平行”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知正四面体的棱长为2，E是BC的中点，F是AE的三等分点（靠近A点），用空间向量表示，则（）A． B．C． D．5．已知A，B是椭圆长轴的两顶点，M是椭圆上的一点，直线AM与BM斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（）A． B． C． D．6．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A． B． C． D．7．《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（）A． B． C． D．8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为8，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知圆和圆，以下结论正确的是（）A．若和只有一个公共点，则 B．若，则和关于直线对称C．若和外离，则 D．若，则和内含10．在空间直角坐标系中，已知，，，，则以下正确的是（）A． B．，夹角的余弦值为C．A，B，C，D共面 D．点到直线AB的距离是11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（）A． B．C． D．与之间的距离为4非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________．13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于A、B两点．若，则的离心率为__________．14．如图，正方形和正方形的边长都是1，且它是们所在的平面所成的二面角的平面角60°，M，N分别是AC，BF上的动点，则MN的最小值是__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）如图，直三棱柱中，，，是的中点，N是AC的中点．（1）证明：直线直线BC；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．16．（本题满分15分）已知双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点．（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为4，求弦长．17．（本题满分15分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程；（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值．18．（本题满分17分）如图，矩形中，，，，将沿直线DE翻折成，若M为线段的点，满足，设二面角的平面角为．（1）求证直线平面；（2）当为直角时，求点到平面的距离；（3）在翻折过程中（点不在平面内），求线段长的取值范围．19．（本题满分17分）已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；（3）设与轴交于点，在曲线上是否存在一点，使得以QS为直径的圆与有除Q、S外的公共点，若存在求出的取值范围；若不存在，请说明理由．2024学年第一学期温州环大罗山联盟期中联考高二年级数学学科答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．12345678CABCDABA二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011BDACDABC非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12． 13．2 14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（1）不妨设，则，如图，以为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，得，，，．所以，（2），．易知平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，16．（15分）（1）由焦点可知，又一条渐近线方程为，所以，由可得，解得，故双曲线的标准方程为．（也可以根据a，b，c各1分，结果2分，共5分）（2）法一：设直线AB的方程为，联立得得方程．由韦达定理得：，，由已知可得：，，则，，．法二：设，，AB中点的坐标为，则两式子相减得：，化简得，即，又，所以，所以AB中点的坐标为，所以直线的方程为，即，将代入得，，则，，．17．（15分）（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）[方法一]：轨迹方程＋基本不等式法设，则，所以，由在抛物线上可得，即，所以直线OQ的斜率，当时，；当时，．当时，，此时当且仅当，即时，等号成立；综上，直线OQ的斜率的最大值为；[方法二]：轨迹方程+数形结合法同方法一设，则，所以，由在抛物线上可得，得到点的轨迹方程为．设直线OQ的方程为，则当直线OQ与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线OQ斜率的最大值为．18．（17分）（1）在线段上取点，使得，连接MN、EN、BM，，，又，，，四边形是平行四边形，，又平面平面，平面．（方法二：在线段在线段CD上取三等分点P，利用平面平面也可相应给分）（2）如图，以DE的中点O为原点，OD所在直线以及相应的垂线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，平面平面，此时可求得，，，，设平面的一个法向量为，则，令，得，，点到平面的距离为，（3）在翻折过程中，由题意知，二面角的平面角，则，又由（2）知，，又，，．故