数学学案：课堂导学函数的表示方法第课时分段函数

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂导学三点剖析一、正确地理解分段函数的意义【例1】依法纳税是每个公民的义务，国家征收个人所得税是分段计算的，总收入不超过1600元,免征个人所得税，超过1600元部分必须征税,设全月纳税所得额为x,x=全月总收入-1600元,税率见下表.级数全月纳税所得额税率1不超过500元部分5%2超过500元至2000元部分10％3超过2000元至5000元部分15％设应纳税额为f（x)，使用分段函数表示1—3级纳税额f(x)的表达式.思路分析:认真读懂题意，每一阶段中有多少钱按什么比例交钱一定找准，这是突破问题的关键.如第二阶段500＜x≤2000,f（x)=(x-500)×10％+500×5％.解：依税率表,第一段:x·5%，0＜x≤500，第二段:（x—500)×10％+500×5％，500＜x≤2000,第三段：(x—2000)×15％+1500×10％+500×5％,2000＜x≤5000.∴f（x）=温馨提示易错解为：第二段：x×10％，500＜x≤2000,第三段:x×15%,2000＜x≤5000。(1)由列表写解析式是函数三种表示方法的综合应用.（2）在解题中要注意分段函数的正确书写。二、利用分段函数进行有关运算【例2】已知f（x）=求f{f［f（)］｝的值。思路分析：应从内到外，层层计算,最后求出所求的函数值.解：∵＞0，∴f(）=0。又f（0)=-π,f（—π）=（-π)2+1=π2+1，∴f｛f［f()］}=π2+1。温馨提示在分段函数中,要求复合函数的值，应从内到外依次求值,此值作为外围函数的自变量再求值,最后求出复合函数值.三、分段函数在实际问题中的应用【例3】某商品在近30天内每件的销售价格P元与时间t天的函数关系式是P=该商品的日销售量Q件与时间t天的函数关系式是Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N*）,求这种商品的日销量金额的最大值，并指出取得最大值的一天是30天中的第几天.思路分析：应先求出日销量金额的解析式,分别求各段最值，再比较大小求出最大的一个.解：设日销售额为y元,则y=P·Q，y=当0＜t＜25时，t=10,ymax=900元；当25≤t≤30时，t=25，ymax=1125元。∵1125＞900，∴ymax=1125.∴第25天日销售额最大.温馨提示求分段函数最值问题时，也可利用图象法,作出分段函数图象,直接观察得最值.分段函数的最值，不是某一段上的最值，而是在整个定义域上，取f（x）的最大值.各个击破类题演练1某市郊空调出租汽车的票价按下列规则制定(1）乘坐汽车3km以内，票价6元；（2）3km以上，每增加1km,票价增加18。元（不足1km的按1km计算）.请根据题意写出票价与里程之间的函数解析式.解析：设票价为y，里程为x，由空调出租汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：y=[x]表示不小于x的最小整数。变式提升2甲、乙两车同时沿某公路从A地驶往300km外的B地，甲车先以75km/h的速度行驶，在到达AB中点C处停留2h后,再以100km/h的速度驶往B地，乙车始终以速度v行驶。（1)请将甲车离A地路程x（km)表示为离开A地时间t(h）的函数，并画出这个函数图象；（2)若两车在途中恰好相遇两次（不包括A、B两地），试确定乙车行驶速度v的取值范围.解析:(1）x=它的图象如图所示.（2）由已知，乙车离开A地的路程x(km）表示为离开A地的时间t（h）的函数为x=vt(0≤t≤),其图象是一条线段。由图象知，当此线段经过（4,150)时，v=（km/h);当此线段经过点（5。5，300）时，v=（km/h）。∴当〈v<时，两车在途中相遇两次。类题演练2若f（x)=则f{f[f（-1）]}=_________。解析:∵f(-1)=0，∴f[f(—1）]=f(0)=π.∴f{f［f(-1)］｝=f（π)=π+1.答案：π+1变式提升2若f(x）=若f（x）=3，则x=_________。解析：当x≤-1时,x+2=3，x=1，无解；当-1〈x〈2时,x2=3，x=；当x≥2时，2x=3,x=,无解。综上有x=.答案：类题演练3不等式|x+2｜+|x-1｜<a的解集是空集，则a的取值范围为________.解析:作出y=｜x+2|+｜x-1｜=的图象知y的最小值为3(或利用绝对值的几何意义知y就