新高考数学二轮培优大题优练10 导数之隐零点问题（教师版）

导数之隐零点问题导数之隐零点问题大题优练10优选例题优选例题例1．已知函数SKIPIF1<0．（1）若函数SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的单调性；（2）若SKIPIF1<0，对任意SKIPIF1<0恒成立，求整数k的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，在区间SKIPIF1<0上单调递增；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减，在区间SKIPIF1<0上单调递增．（2）因为SKIPIF1<0，对任意SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在R上单调递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以存在唯一的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由（1）知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以存在唯一的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以k的最大值为SKIPIF1<0．

模拟优练模拟优练1．已知函数SKIPIF1<0．（1）讨论函数SKIPIF1<0的单调性；（2）证明：不等式SKIPIF1<0恒成立．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，综上所述，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减．（2）设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．又由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一实数根SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即不等式SKIPIF1<0恒成立．2．已知函数SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的最值；（2）若SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）最小值为SKIPIF1<0，无最大值；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，无最大值．（2）由题知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．3．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求函数SKIPIF1<0的极值；（2）当SKIPIF1<0时，证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，函数SKIPIF1<0单调递减，函数SKIPIF1<0无极值；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增，故函数SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，无极大值．（2）证明：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0的根为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两边求对数得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即原不等式成立．4．设函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的单调区间；（2）当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减；（2）证明见解析．【解析】（1）SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0易知SKIPIF1<0为增函数，且SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，又SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减．（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，易知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上增函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0．5．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点，求a的值；（2）当SKIPIF1<0时，证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析．【解析】（1）SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，又设SKIPIF1<0，显然当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此函数SKIPIF1<0是增函数，而SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，故SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极小值点，故SKIPIF1<0符合题意．（2）当SKIPIF1<0时，对于SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故要证明SKIPIF1<0