专题6数列与不等式

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编——数列与不等式单选题1.（2022·广东·高三开学考试）已知，数列满足，且对一切，有，则（

）A．是等差数列 B．是等比数列C．是等比数列 D．是等比数列【答案】D【解析】由题意知，所以，所以，，所以是等比数列，且,所以，选项A，B，C错误，选项D正确.故选：D．2.（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解.【详解】[方法一]:常规解法因为，所以，，得到，同理，可得，又因为，故，；以此类推，可得，，故A错误；，故B错误；，得，故C错误；，得，故D正确.[方法二]：特例（值）法不妨设则故D正确.3.（2020年新课标Ⅱ（理））01周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为01周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的01序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01序列中，满足的序列是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据新定义，逐一检验即可【详解】由知，序列的周期为m，由已知，，对于选项A，，不满足；对于选项B，，不满足；对于选项D，，不满足；故选：C【综合分析】1.以北斗三号全球卫星导航系统为背景设计试题，展示我国的航天事业的重要成果，突出发挥高考试题的德育教育，同时引导学生关注社会、关注科技成果，激发学生学习热情.2.以01周期序列在通信技术的应用为背景设计题目，考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，突出引导学生关注最新科技成果，激发学习热情.4.（2022·福建·高三阶段练习）艾萨克牛顿英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列．设，已知，，的前n项和为，则等于（

）A．2022 B．2023 C． D．【答案】D【解析】有两个零点1，2，则，解之得，则，则则；则由，可得，故，又，则数列是首项为1公比为2的等比数列则通项公式，前n项和；则；故选：D5.（2022·福建三明·高三期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论正确的是（

）A． B．是数列中的最大值C． D．数列无最大值【答案】C【解析】等比数列的公比为，则，由，则有，必有，又由，即，又，则有或，又当时，可得，由，则与矛盾所以，则有，由此分析选项：对于A，，故，故A错误；对于B，等比数列中，，，所以数列单调递减，又因为，所以前项积为中，是数列中的最大项，故B错误；对于C，等比数列中，则，则，故C正确；对于D，由B的结论知是数列中的最大项，故D错误.故选：C.二、多选题1.（2022·福建三明·高三期中）意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A选项，因为斐波那契数列总满足，所以，，，类似的有，，累加得，由题知，故选项A正确，对于B选项，因为，，，类似的有，累加得，故选项B正确，对于C选项，因为，，，类似的有，累加得，故选项C错误，对于D选项，可知扇形面积，故，故选项D正确，故选：ABD.2.（2023·江苏·南京市第一中学模拟预测）已知a，b为正实数，且，则的取值可以为（

）A．1 B．4 C．9 D．32【答案】BD【解析】因为a，b为正实数，，所以，当且仅当时等号成立，即，所以，所以或，因为a，b为正实数，，所以，所以或．所以或．故选：BD．2.（2023·江苏·南京市第一中学模拟预测）已知a，b为正实数，且，则的取值可以为（

）A．1 B．4 C．9 D．32【答案】BD【解析】因为a，b为正实数，，所以，当且仅当时等号成立，即，所以，所以或，因为a，b为正实数，，所以，所以或．所以或．故选：BD．3.（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（

）A． B．C． D．数列的前项和为【答案】BCD【解析】对于A，，A错误；对于B，当为奇数时，为偶数，则，，可得；当为偶数时，为奇数，则，，可得，B正确；对于C，当为奇数且时，累加可得，时也符合；当为偶数且时，累加可得；则，C正确；对于D，设数列的前项和为，则，又，，D正确.故选：BCD.4.（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（

）A．对于任意的，都有B．对于任意的，数列不可能为常数列C．若，则数列为递增数列D．若，则当时，【答案】ACD【解析】A：由，对有，则，即任意都有，正确；B：由，若为常数列且，则满足，错误；C：由且，当时，此时且，数列递增；当时，此时，数列递减；所以时数列为递增数列，正确；D：由C分析知：时且数列递减，即时，正确.故选：ACD5.（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图（n）中每个正六边形的边长是图中每个正六边形的边长的．记图（n）中所有正六边形的边长之和为，则下列说法正确的是（

）A．图（4）中共有294个正六边形B．C．是一个递增的等比数列D．记为数列的前n项和，则对任意的且，都有【答案】BCD【解析】对于A，由图可知，图至图中正六边形的个数构成以为首项，为公比的等比数列，故图中共有个正六边形，A错误；对于B，由题可知，图中每个正六边形的边长为，，，B正确；对于C，是底数大于的指数型函数，是一个递增的等比数列，C正确；对于D，，，，，当且时，对任意的且，都有，D正确.故选：BCD.6.（2022春·福建莆田·高三莆田第五中学校考阶段练习）在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2，的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】设介于第个1与第个1之间或者为这两个1当中的一个，则从新数列的第1个1到第个1一共有项，从新数列的第1个1到第个1一共有项，所以，解得，而，所以，故A正确，B错误；，令，则，，，所以，故D正确，C错误，故选：AD.7．（2022春·福建龙岩·高三上杭县第二中学校考阶段练习）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（

）A．B．为等比数列C．D．【答案】AD【解析】，则，又，同理，故A正确；而，故不是等比数列，B错误；，故C错误；，故D正确，故选：AD8.（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）下列命题中真命题有（

）A．若，则是钝角B．数列的前n项和为，若，则C．若定义域为的函数是奇函数，函数为偶函数，则D．若，分别表示的面积，则【答案】CD【解析】对于A，若，则，故A错误；对于B，因为，所以当时有，两式相减可得，即，当时，，所以，故B错误；对于C，因为函数为偶函数，所以，所以，因为是定义域为的奇函数，所以，故C正确；对于D，如图，设线段的中点分别为，连接，因为，所以，所以，即，即点是线段靠近点的三等分点，所以，故D正确；故选：CD9.（2022·湖北襄阳·高三期中）已知等差数列的前n项和为，且若存在实数a，b，使得，且，当时，取得最大值，则的值可能为（

）A．13 B．12 C．11 D．10【答案】BC【解析】，即而，即有令，则有，令函数，则当时，，单调递减；当时，，单调递增.故，从而有，则有，当且仅当时，等号成立.同理，即，当且仅当时等号成立，则，当且仅当时等号成立.又，所以，故有，所以，，则从而，解得，又，，所以故是单调递减数列，当或时，取得最大值，所以或故选：BC.10.（2022·山东德州·高三期中）将个数排成行列的数阵，如图所示：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中0）.已知，记这个数的和为，下面叙述正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】对于A，由题意，，，由，则，整理可得，由，解得，故A正确；对于B，，，故B错误；对于C，，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD.11.（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）在数列中，已知是首项为1，公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，其中，则下列说法正确的是（

）A．当时， B．若，则C．若，则 D．当时，【答案】ACD【解析】对于A，当时，，可知数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，故A正确；对于B，由已知，是公差为的等差数列，则，是公差为的等差数列，则，即，解得：或，故B错误；对于C，，解得：，故C正确；对于D，，故D正确；故选：ACD三、填空题1.（2023·江苏·南京市第一中（2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测）已知数列中，，且满足，若对于任意，都有成立，则实数的最小值是_________.【答案】2【解析】因为时，，所以，而，所以数列是首项为3公差为1的等差数列，故，从而.又因为恒成立，即恒成立，所以.由得，得，所以，所以，即实数的最小值是2.故答案为：22.（2022·湖南·武冈市教育科学研究所高三期中）已知数列满足（），设数列的前项和为，若，，则___________.【答案】【解析】因为，，所以，则，所以，，则，可知，，，所以，又，，所以，则，又，所以，，所以，因为，所以，故答案为：．3.（2022·山东淄博·高三期中）若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果，数列为牛顿数列，设，且，则__________；数列的前项和为，则__________.【答案】

【解析】（1）因为，所以，，则，，则有，则，所以是以为首项，公比为2的等比数列，所以，所以，解得：.（2），所以.故答案为：；.4.（2022·江苏·常熟市中学高三阶段练习）意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，用符号表示（），已知，，（）.（1）若，则___________；（2）若，则___________.【答案】

11

【解析】（1），∴；（2）.故答案为：①11；②.5.（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）著名的斐波那契数列满足，，其通项公式为，则是斐波那契数列中的第______项；又知高斯函数也称为取整函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则______.（【答案】

101

842【解析】，则是斐波那契数列中的第101项；列出斐波那契数列，有，可得，由，取，，，得，，因为，故，则，.故答案为：①101；②842.6.（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）已知数列的前项和为，，，则数列_____________．【答案】【解析】由题意可得，所以，所以，所以，又因为，所以，故答案为：7.（2022·湖北·高三期中）