141充分条件与必要条件（教学设计）-2021-2022学年高一数学(人教A版2019)

《充分条件与必要条件》教学设计本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第一章《集合与常用逻辑用语》的第四节《充分条件与必要条件》，以下是“常用逻辑用语”单元的课时安排：第四节第五节课时内容充分条件与必要条件全称量词与存在量词所在位置教材第17页教材第26页新教材内容分析通过列举学生熟悉的数学命题，加深学生对命题的条件与结论的认识，教材主要以“若p则q”形式的命题为载体，通过考察命题中的条件p与结论q之间的关系，学习充分条件、必要条件、充要条件这三个逻辑用语。全称量词和存在量词是数学中经常使用的量词，教材通过丰富的数学实例，介绍了这两类量词的意义，探究了全称量词命题和存在量词命题的否定，并鼓励学生使用新的数学符号，使学生习惯于运用数学符号语言表达一些数学内容。核心素养培养通过观察实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，会辨析充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件，体现了逻辑推理的核心素养。通过数学实例，使学生理解全称量词、存在量词的意义，体现了数学抽象的核心素养；会判定命题的真假，会写出命题的否定，体现了逻辑推理的核心素养。教学主线命题的真假判断学生在初中阶段已经接触过命题，对命题的真假判断有了一定的基础，这对学习本节内容有一定的帮助，但是学生的知识储备不够丰富，逻辑思维能力训练不够，在学习过程中会有困难，所以在教学时应多举一些实例引导学生去分析，使之与学生的知识结构同步完善发展。1．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，培养数学抽象的核心素养；2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系，培养数学抽象的核心素养；3.会根据命题的条件和结论的关系判断是否为充分条件、必要条件，强化逻辑推理的核心素养。重点：充分条件与必要条件概念的概念的理解；难点：1.必要条件的理解2.充分条件、必要条件的判断方法（一）新知导入1.创设情境，生成问题从前有一个牧民，养了几十只羊，白天放牧，晚上赶进一个用柴草和木桩等物围起来的羊圈内。一天早晨，这个牧民去放羊，发现羊少了一只。原来羊圈破了个窟窿，夜间有狼从窟窿里钻了进来，把一只羊叼走了。邻居劝告他说：“赶快把羊圈修一修，堵上那个窟窿吧。”他说：“羊已经丢了，还去修羊圈干什么呢?”没有接受邻居的好心劝告。第二天早上，他去放羊，发现又少了一只羊。原来狼又从窟窿里钻进羊圈，又叼走了一只羊。这位牧民很后悔没有认直接受邻居的劝告，去及时采取补救措施。于是，他赶紧堵上那个窟窿，又从整体进行加固，把羊圈修得十分牢固的。从此，这个牧民的羊就再也没有被野狼叼走过了。从这个小故事咱们发现一问题，在有狼的情况下，要想不丢羊，修理好羊圈是必要条件。2.探索交流，解决问题【问题1】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等．（3）若x2-4x+3=0,（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b.【提示】（1）(4)是真命题，（2）（3）是假命题。【设计意图】通过问题的探究，引导学生探索充分条件、必要条件的概念，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。（二）充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件(sufficientcondition)，q是p的必要条件(necessarycondition)．如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p⇏q.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．【思考1】（1）p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？（2）若p是q的充分条件，那么p是唯一的吗？举例说明。（3）若p是q的必要条件，那么p是唯一的吗？举例说明。（4）如何理解充分条件与必要条件？【提示】（1）相同，都是p⇒q；（2）不是，如x>2，x>3都是x>0的充分条件；（3）不是，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件．（4）所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的；所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．【做一做】用符号“⇒”与“⇏”填空:①x2>1______x>1.②a,b都是偶数______a+b是偶数2.用“充分条件”或“必要条件”填空：（1）是的______________；（2）四边形的对角线互相垂直是四边形为菱形的________.[答案]1.⇏⇒2.充分条件必要条件【设计意图】通过问题探究，使学生深入充分条件、必要条件的概念，培养数学抽象的核心素养。（三）充分条件与必要条件的判断例1.(1)下列命题中，p是q的充分条件的是________．①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0；②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等；③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根．[解析]①∵(x－2)(x－3)＝0，∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.∴p不是q的充分条件．②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件．③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件．[答案]③例2.下列命题中，p是q的必要条件的是________．(1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5；(2)p：四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形．[解析](1)由于x＋y>5推不出x>2且y>3，故p不是q的必要条件．(2)由四边形是正方形可以推出四边形的四个角都相等，故p是q的必要条件．[答案]（2）【类题通法】充分、必要条件的判断方法(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已．【巩固练习1】指出下列各组命题中，p是q的什么条件：(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；(3)p：a<b，q：eq\f(a,b)<1.[解析]在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p既是q的充分条件，也是q的必要条件；在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；在(3)中，当a＝－2，b＝－1时，eq\f(a,b)＝2>1；当a＝2，b＝－1时，eq\f(a,b)＝－2<1，所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件．【设计意图】通过实例分析，将新知（充分条件、必要条件的概念）的构建过程转化为已有知识（命题真假的判断）的应用过程.强化逻辑推理的核心素养。（四）充分条件与必要条件的应用例3.已知p：关于x的不等式eq\f(3－m,2)<x<eq\f(3＋m,2)，q：0<x<3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．[思维引导]p是q的充分条件转化为对应A⊆B，q是p的必要条件转化为A⊆B.[解析]记A=x3-m2<x<若p是q的充分条件，则A⊆B，分两种情况讨论：①若A=∅,即3-m2≥3+m2,解得m②若A≠∅,要使A⊆B，应有3-m2<综上可得，实数m的取值范围是.[变式]本例中，若将“若p是q的充分条件”改为“p是q的必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．[解析]记A=x3-m2<x<若p是q的必要条件，则B⊆A，则3-m2≤所以实数m的取值范围是.【类题通法】充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．【巩固练习2】已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．[解析]p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}．q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．因为p⇒q，所以A⊆B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≥－2，,a≤3，,a<0))解得－eq\f(2,3)≤a<0，所以a的取值范围是.（五）操作演练素养提升1．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件．2．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件．[答案]1.必要2.充分3.必要4.充分【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（六）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固充分条件与必要条件的判断方法，提高语言转换和抽象概括能力,培养正确的逻辑推理意识。完成教材：第20页练习第1，2，3题