匀变速直线运动的位移与时间的关系

PAGE2PAGE1教学设计（首课）课题§2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系学科物理班级授课教师教材分析高中物理引入极限思想的出发点就在于它是一种常用的科学思维方法，上一章教科书用极限思想介绍了瞬时速度和瞬时加速度。本节从匀速直线运动的位移与v-t图象中矩形面积的对应关系出发，猜想对于匀变速直线运动是否也有类似的关系，并通过思考与讨论，从而介绍v-t图线下面四边形的面积代表匀变速直线运动的位移，又一次应用了极限思想。最后得到匀变速直线运动的位移与时间的关系。学情分析本节课的学习让学生初步认识极限思想。高中学生按教科书的方式来接受极限思想不是很困难，困难是极限思想的运算和严格的证明，但此处不要求学生会计算极限。教科书的宗旨仅仅是“渗透”这样的思想。由于学生知识水平不是很好，所以在讲解时一定要详细，若仅限用公式，就没有多大意义了，要关注得出公式的过程，帮助学生理解这个物理过程，从而掌握公式并运用其解决实际问题。教学目标知识与技能1.知道匀速直线运动的位移与v-t图象中矩形面积的对应关系。2.理解匀变速直线运动的位移与v-t图象中四边形面积的对应关系。3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系及应用。4.了解位移公式的推到方法，掌握位移公式x＝vot+at2/2，了解利用极限思想解决物理问题的科学思维方法。过程与方法1.通过近似推导位移公式的过程，体验微元法的特点和技巧，能把瞬时速度的求法与此比较。2.感悟一些数学方法的应用特点。情感态度与价值观1.经历微元法推导位移公式和公式法推导速度位移关系,培养自己的动手能力。2.体验成功的快乐和方法的意义,增强科学能力的价值观。重点1.理解匀变速直线运动的位移及其应用。2.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系x＝vot+at2/2及其应用。难点1.v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移。2.微元法推导位移公式。3.匀变速直线运动的位移与时间的关系x＝vot+at2/2及其灵活应用。教学方法提问讨论法、讲授法教学内容与过程【引入新课】师：在前面的学习中，我们已经知道，匀速直线运动的物体，其位移对应于v-t图像下面的面积。我们不防大胆地猜测一下，匀变速直线运动的位移与它的v-t图像是否也有这种对应关系？生：有。生：没有。师：下图是一个物体做匀变速直线运动的v-t图像，我们怎么来计算物体在一段时间内的位移呢？在这里，老师先给大家一个小提示，介绍一下割圆术。分割和逼近的方法在物理学研究中有着广泛的应用。公元263年，魏晋时的数学家刘徽首创了“割圆术”——圆内正多边形的边数越多，其周长和面积就越接近圆的周长和面积．他著有《九章算术》，在书中有很多创见，尤其是用割圆术来计算圆周率的想法，含有极限观念，是他的一个大创造.他用这种方法计算了圆内接正192边形的周长，得到了圆周率的近似值π＝157/50（=3.14）；后来又计算了圆内接正3072边形的周长，又得到了圆周率的近似值π＝3927/1250（=3.1416）。“割圆术”用正多边形逐渐增加边数的方法来计算圆周率，早在古希腊的数学家阿基米德首先采用，但是阿基米德是同时采用内接和外切两种计算，而刘徽只用内接，因而较阿基米德的方法简便得多。【讲授新课】一、匀变速直线运动的位移与时间的关系1.公式模仿刘徽的“割圆术”做法，并结合求解匀速直线运动v-t求解位移的方法，大家能否想到求解图象中图线与初、末时刻线和时间轴图线所围成的面积的方法呢？生：可以把所围成的面积进行分割。师：如果我们把物体的运动分成5个小段，t/5算一个小段，在v—t图象中，每小段起始时刻物体的瞬时速度由相应的纵坐标表示，各小段中物体的位移可以近似地怎么表示？生：用每小段起始时刻速度乘以时间t/5表示。师：整个过程中的位移可以近似地怎么表示？生:5个小矩形面积之和。师：但这样的处理方法，与实际的位移相比，误差较大，我们应该怎么进一步缩小误差？生:把物体的运动分成更多的小段。师：也就是说，当它们分成的小段数目越多，长条矩形与倾斜直线间所夹的小三角形面积越小，误差也就越小。为了让我们所得的结果更精确，我们可以怎么做？生：可以把时间轴无限分割。师：在这里，我们运用了分成若干段可求位移然后相加、短时间内平均速度等于瞬时速度的基本思想。可以想象，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和，就能准确地代表物体的位移了。这时，“很多很多”小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了，这些小矩形合在一起组成了一个梯形OABC，梯形OABC的面积就代表做匀变速直线运动物体在0(此时速度是v0)到t(此时速度是v)这段时间内的位移。师：这说明，我们最初认为的匀变速直线运动的位移与它的v-t图像有怎样的对应关系呢？生：匀变速直线运动的位移仍可用图线与坐标轴所围的面积表示。师：大家看下面这道例题，某物体运动的速度图像如图所示，求(1)0～3s内的位移。(2)5～7s内的位移。(3)3～7s内的位移。生：10m，-4m，0m。师：非常好。那么大家现在可以告诉老师教材图2.3—2丁中，怎么求梯形的面积呢？生：S=(OC+AB)×OA/2。师：把面积及各条线段换成所代表的物理量，并结合上节课所学习的公式，请大家推导出匀变速直线运动的位移与时间关系的公式。生：。师：这里我们用位置坐标代替了位移，这是因为我们先取初始时刻质点所在的位置为坐标原点，则有时刻质点的位置与时刻的关系。上面的公式对匀减速直线运动也适用。（讲解教材例题）2.对公式的进一步理解师：我们对位移公式的进一步理解。（1）公式中各量的符号。因为v0、a、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向。一般以v0的方向为正方向。若a与v0同向，则a取正值；若a与v0反向，则a取负值；若位移计算结果为正值，说明这段时间内位移方向与v0同向；若位移计算结果为负值，说明这段时间内位移方向与v0反向。（2）公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2是位移公式，而不是路程公式。利用该公式求的是位移，而不是路程，只有在单方向直线运动中，所求的位移大小才等于路程。该公式只适用于匀变速直线运动。因为位移公式是关于x的一元二次函数，故x－t图象是一条抛物线(一部分)。但它不表明质点运动的轨迹为曲线。（3）对于初速度为零(v0＝0)的匀变速直线运动，位移公式为x＝eq\f(1,2)vt＝eq\f(1,2)at2，即位移x与时间t的二次方成正比。大家看下面这道题：飞机在跑道上匀加速滑行起飞，滑行时间为20s，滑行距离为1200m，求：(1)飞机的加速度；(2)飞机起飞时的速度。生：(1)由x＝eq\f(1,2)at2得：a＝eq\f(2x,t2)＝eq\f(2×1200,202)m/s2＝6m/s2.(2)v＝at＝6×20m/s＝120m/s.二、匀变速直线运动的两个推论师：由匀变速直线运动可以得出以下两个推论：1．平均速度：做匀变速直线运动的物体在一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半。即eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋v,2)。若设物体的初速度为v0，做匀变速运动的加速度为a，t秒末的速度为v，大家可以推导一下这个结论吗？生：由x＝v0t＋eq\f(1,2)at2得，①平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝v0＋eq\f(1,2)at②由速度公式v＝v0＋at，当t′＝eq\f(t,2)时veq\f(t,2)＝v0＋aeq\f(t,2)③由②③得eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)④又v＝veq\f(t,2)＋aeq\f(t,2)⑤由③④⑤解得veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋v,2)⑥所以eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋v,2)。2．逐差相等：师：在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2生：时间T内的位移x1＝v0T＋eq\f(1,2)aT2①在时间2T内的位移x2＝v02T＋eq\f(1,2)a(2T)2②则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度。特别提醒大家：(1)以上推论只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用推论式来处理问题。(2)推论式xⅡ－xⅠ＝aT2常在实验中根据打出的纸带求物体的加速度。下面，让我们应用一下这两个推论公式：一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24m和64m，每一个时间间隔为4s，求物体的初速度和末速度及加速度．【思路点拨】若题中已知等时间隔内位移，用逐差法求解较为简单。生：法一：用逐差法。由Δx＝aT2可得a＝eq\f(Δx,T2)＝eq\f(64－24,42)m/s2＝2.5m/s2①又x1＝vAT＋eq\f(1,2)aT2②vC＝vA＋a·2T③由①②③解得：vA＝1m/s，vC＝21m/s。法二：用平均速度公式法。连续两段时间T内的平均速度分别为：eq\x\to(v)1＝eq\f(x1,T)＝eq\f(24,4)m/s＝6m/s，eq\x\to(v)2＝eq\f(x2,T)＝eq\f(64,4)m/s＝16m/s.且eq\x\to(v)1＝eq\f(vA＋vB,2)，eq\x\to(v)2＝eq\f(vB＋vC,2)，由于B是A、C的中间时刻，则vB＝eq\f(vA＋vC,2)＝eq\f(\x\to(v)1＋\x\to(v)2,2)＝eq\f(6＋16,2)m/s＝11m/s.解得vA＝1m/s，vC＝21m/s.其加速度为：a＝eq\f(vC－vA,2T)＝eq\f(21－1,2×4)m/s2＝2.5m/s2。答案是1m/s21m/s2.5m/s2师：在求解运动学问题时，可以有多种不同的解法，对于一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔，则优先考虑用Δx＝aT2求解，此法往往更简捷。看下面这道题：一物体做匀加速直线运动：第5s内的位移为10m，第7s内的位移为20m，求物体的加速度大小。生：平均速度法：第5s内、第7s内的平均速度分别等于第4.5s和第6.5s的瞬时速度，即v4.5＝eq\f(x5,T)＝eq\f(10,1)m/s＝10m/sv6.5＝eq\f(x7,T)＝eq\f(20,1)m/s＝20m/s所以a＝eq\f(v6.5－v4.5,t′)＝eq\f(20－10,2)m/s2＝5m/s2逐差法：由于x7－x5＝2aT2所以a＝eq\f(x7－x5,2T2)＝eq\f(20－10,2×12)m/s2＝5m/s2.三、位移—时间图象(x－t图象)师：位移与时间的关系式为x＝v0t+at2/2，我们已经用图象表示了速度与时间的关系。那么，我们能不能用图象表示位移与时间的关系呢?物体的位移也可以用图像描述。例如，火车的机车在沿直线轨道移动，教材图2.3-4描述了它对于出发点的位移随时间变化的情况，这个图像称为位移—时间图像（图象）。请大家用自己的语言描述下面这个图象。生：从图象中可以看出，在=0到=2.5min这段时间，位移在不断增加，说明机车在远离出发点；而在=2.5min和=3min之间位移没有变化，总是=80m，说明这段时间里机车停在距出发点80m的位置。师：这个图象是用来描述机车运动的位移与时间的关系的数学工具，机车并不是沿着这样的路线运动的。接下来，我们系统地总结一下x－t图象。1．三种常见运动的图象(1)静止物体的x－t图象是平行于时间轴的直线，如图中a。(2)匀速直线运动的x－t图象是一条倾斜的直线，如图中b。

(3)匀变速直线运动的x－t图象是抛物线，由x＝v0t＋eq\f(1,2)at2知x－t图象是一个二次函数图，如图中c。这个图象反映的是物体位移随时间按照这样一个二次函数图(抛物线)变化，而不是运动轨迹；直线运动是根据运动轨迹来命名的，x－t图象中图线是不是直线与直线运动的轨迹没有任何直接关系。2．x－t图象的意义注意：1．位移—时间图象不是物体的运动轨迹。2．位移—时间图象只能描述直线运动，不能描述曲线运动。通过刚刚的学习，请大家画出x＝eq\f(1,2)at2的x－t图象的草图。生：作图。师：如果现在有人问你，我们研究的是直线运动，为什么你画出来的图象不是直线，你怎么和他解释？生：位移图像描述的是位移随时间的变化规律，图像不是运动轨迹。匀变速直线运动在x－t图象中是一条抛物线。师:一定要记住，不是物体运动的轨迹。四、刹车问题师：下面来分析刹车类问题。一辆汽车以72km/h的速度行驶，现因紧急事故急刹车并最终停止运动．已知汽车刹车过程的加速度的大小为5m/s2，则从开始刹车经过5s汽车通过的距离是多少？大家注意，对于刹车类问题应先求出汽车刹车的时间t0，然后判断所给出的时间t与t0的关系，再根据具体情况进行计算。生：设刹车开始至汽车停止所用的时间为t0，选v0的方向为正方向．v0＝72km/h＝20m/s，由v＝v0＋at得t0＝eq\f(v－v0,a)＝eq\f(0－20,－5)s＝4s可见，汽车刹车时间为4s，第5s是静止的。由x＝v0t＋eq\f(1,2)at2知刹车5s内通过的距离x＝v0t0＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,0)＝20×4m＋eq\f(1,2)×(－5)×42m＝40m.师：处理刹车类问题时应注意分析汽车刹车后经过一段时间会停下来并且不能反向加速，因此在利用公式进行计算时，汽车运动时间应是刹车过程中汽车速度减少到零所用的时间而不一定是题目条件中的时间。五、逆向思维法这种把人们通常思考问题的思维反过来思考的思维方式就是逆向思维，运用逆向思维分析和解决问题的方法叫做逆向思维法．所谓逆向思维，简单来说就是“倒过来想一想。末速度为0的匀减速直线运动可看成初速度为0、加速度大小相等的反向匀加速直线运动。设物体的初速度为v0，加速度大小为a，做匀减速直线运动至经过时间t速度为0，则可将此运动逆向看成初速度为0，加速度大小为a的匀加速直线运动，末速为v0。例：做匀减速直线运动的物体经4

s停止，若在4

s内的位移