江苏省镇江市三校、泰州市部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学 含解析

2024~2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.直线的倾斜角等于（）A. B. C. D.2.在等比数列中，若，，则（）A.-32 B.-16 C.16 D.323.若点在圆外，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.4.将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（）A. B. C. D.5.过点作圆的切线，则切线方程为（）A. B. C. D.6.已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（）A. B. C. D.7.高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（）A1010 B.2024 C.1012 D.20208.在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点在圆上，则的取值范围是（）A. B. C. D.（3，7）二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知点，点，点，则下列正确有（）A. B.直线的倾斜角为C. D.点到直线的距离为10.圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（）A.直线方程为 B.公共弦的长为C.圆与圆的公切线段长为1 D.线段的中垂线方程为11.已知数列满足，且，则下列正确的有（）A.B.数列的前项和为C.数列的前项和为D.若数列的前项和为，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设是数列前项和，且，则的通项公式为___________.13.函数的最大值为______________.14.已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列为等差数列，，数列为等比数列，公比为2，且，.（1）求数列与通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.16.已知圆，点.（1）过点圆作切线，切点为，求线段的长度（2）过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度（3）点为圆上一点，求线段长度的最大值17.已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程.（1）过点且与直线平行；（2）过点且到原点的距离等于2；（3）直线关于直线对称的直线.18.已知圆.（1）求的范围，并证明圆过定点；（2）若直线与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值.19.已知数列满足.（1）求的值；（2）求证：数列是等差数列；（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围.2024~2025学年度第一学期期中考试高二数学试题（考试时间：120分钟；总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.直线的倾斜角等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直线的斜率，进而得到倾斜角.【详解】，斜率为1，倾斜角为.故选：B2.在等比数列中，若，，则（）A.-32 B.-16 C.16 D.32【答案】D【解析】【分析】利用等比数列的性质即可得出.【详解】设等比数列的公比为，.故选：D.3.若点在圆外，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据曲线为圆可得，再结合在圆外得，则答案可得.【详解】化简可得圆的标准方程为：，所以，即，又因为在圆外，故，解得，综上可得，故选：A.4.将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可知：，所以，可得到的斜率，再由点斜式方程，即可得到答案.【详解】由方程可知：的斜率为，由题意可知：，所以，所以，因为过点，所以由直线点斜率式方程可知的方程为：，即.故选：C5.过点作圆的切线，则切线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程.【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为，将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上，又，所以过点与圆相切直线的斜率为1，所以过点的切线方程为，即.故选：D.6.已知圆内有一点，为过点的弦，当弦被点平分时，直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出圆心，由垂径定理得⊥，从而得到，写出直线方程.【详解】的圆心为，为过点的弦，当弦被点平分，由垂径定理得⊥，其中，故，所以直线的方程为，即.故选：B7.高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（）A.1010 B.2024 C.1012 D.2020【答案】C【解析】【分析】利用高斯算法可推出，再利用等比数列性质即可类比得出.【详解】根据可得，所以；由等比数列性质可得，因此可得.故选：C8.在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点在圆上，则的取值范围是（）A. B. C. D.（3，7）【答案】A【解析】【分析】由题意，如需圆上的点关于轴的对称点在圆上，只需圆关于轴的对称圆C与圆有交点即可，从而可以求得的范围.【详解】由题意，如需圆上点关于轴的对称点在圆上，只需圆关于轴的对称圆与圆有交点即可.圆和圆的圆心分别为，半径分别为和2，所以圆心距为，因为两圆相交，所以有，即：，又因为，所以.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知点，点，点，则下列正确的有（）A. B.直线的倾斜角为C. D.点到直线的距离为【答案】BCD【解析】【分析】利用两点距离公式即可判断A；由两点之间的斜率公式即可判断B；由两直线垂直时的斜率关系即可判断C；由点到直线的距离公式即可判断D.【详解】由题意得，，故A错误；因为，所以直线AB的倾斜角为，故B正确；因为，，所以，故C正确；直线AC的方程为：，即，所以B点到直线AC的距离为：，故D正确；故选：BCD.10.圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（）A.的直线方程为 B.公共弦的长为C.圆与圆的公切线段长为1 D.线段的中垂线方程为【答案】AC【解析】【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可.【详解】由，得，则，半径，由，得，则，半径，对于A，公共弦所在的直线方程为，即，所以A正确，对于B，到直线的距离，所以公共弦的长为，所以B错误，对于C，因为，，，所以圆与圆的公切线长为，所以C正确，对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为，所以直线为，即，所以D错误，故选：AC.11.已知数列满足，且，则下列正确的有（）A.B.数列的前项和为C.数列的前项和为D.若数列的前项和为，则【答案】ACD【解析】【分析】对A，构造数列求解通项公式，进而可得；对B，由A，再求和即可；对C，根据对数的运算结合等差数列求和公式求解即可；对D，根据裂项相消求和判断即可.【详解】对A，由可得，故数列是以为首项，1为公差的等差数列，故，即，则，故A正确；对B，，故数列的前项和为，故B错误；对C，，则前项和，故C正确；对D，，则，又易得随的增大而增大，故，即，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设是数列的前项和，且，则的通项公式为___________.【答案】【解析】【分析】利用求出，再求出可得通项公式．【详解】由题意时，，又也满足上式，所以．故答案为：.13.函数的最大值为______________.【答案】【解析】【分析】可表示为点与点的距离减去点与点的距离，然后可得答案.【详解】，∴fx表示为点与点的距离减去点与点的距离，所以，又，当共线，且P在B的外侧时取等号，所以的最大值为.故答案为：.14.已知直线，相交于点，圆心在轴上的圆与直线，分别相切于两点，则四边形的面积为___________.【答案】或【解析】【分析】根据题意可求得圆心坐标，再求得切线长以及四边形面积表达式可得结果.【详解】联立可解得，即；设圆心，圆的半径为，可得，解得或，当时，可得，，可得，因此四边形的面积为；当时，可得，，可得；所以四边形的面积为.故答案为：或【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用圆心位置以及切线方程求得圆的标准方程，再求出切线长可得四边形面积.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列为等差数列，，数列为等比数列，公比为2，且，.（1）求数列与的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可直接求解；（2）利用等差数列和等比数列的求和公式求解即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，所以，，所以；因为，所以．【小问2详解】结合（1）可得：．16.已知圆，点.（1）过点圆作切线，切点为，求线段的长度（2）过点作一条斜率为的直线与圆交于，两点，求线段的长度（3）点为圆上一点，求线段长度的最大值【答案】（1）（2）（3）【解析】分析】（1）求出圆心和半径，得到；（2）求出直线，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求出答案；（3）的最大值为点到圆心的距离加上半径，得到答案．【小问1详解】圆心，半径为，即，又，故；【小问2详解】，故直线，记圆心到直线的距离为，，故；【小问3详解】的最大值为点到圆心的距离加上半径，故．17.已知直线和直线交于点，求满足下列条件的一般式直线方程.（1）过点且与直线平行；（2）过点且到原点的距离等于2；（3）直线关于直线对称的直线.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）联立方程解交点坐标，由平行关系设直线方程，代入点坐标待定系数可得；（2）讨论斜率是否存在，当斜率存在时，设出点斜式直线方程，结合点到直线的距离公式求解即可；（3）根据对称性质，在其中一条直线上取不同于两直线交点的任一点，利用垂直关系与中点坐标公式建立方程组求解其对称点坐标，再结合交点由两点式方程可得.【小问1详解】联立方程，解得，．设与直线平行的直线为，由题意得：，，故满足要求的直线方程为：．【小问2详解】①当所求直线斜率不存在时，直线方程为，满足到原点的距离为2；②当所求直线斜率存在时，设直线方程为，即，原点到该直线的距离为，解得，直线方程为，综上所述，符合题意的直线方程为或．【小问3详解】在上取一点，设点关于直线的对称点为点，则，解得，，又，则直线的方程即所求直线方程，为，化简得，.故所求的直线方程为：．18.已知圆.（1）求的范围，并证明圆过定点；（2）若直线与圆交于，两点，且以弦为直径的圆过原点，求的值.【答案】（1），证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用方程表示圆的充要条件列式求出范围，再分离参数求出定点坐标.（2）联立直线与圆的方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求解.【小问1详解】由圆，得，，，所以的范围为；，由，得，所以圆过定点.【小问2详解】以弦为直径的圆过原点，则，，设点，，则，，即，由，消去整理得：，，，，于是，解得，满足，所以的值为．19.已知数列满足.（1）求的值；（2）求证：数列是等差数列；（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据递推关系求值即可；（2）由递推关系可得，与原式相减可得，即，于是可得数列数列是以0为首项，以为公差的等差数列；（3）由（2）可得，故，作差并分析判断数列bn的单调情况，确定数列的最大项．由题意可得恒成立，于是，解不等式可得的范围．【小问1详解】，，，，