2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.1第2课时两个计数原理的综合应用学案含解析新人教A版选修2-3

PAGE其次课时两个计数原理的综合应用内容标准学科素养1.进一步驾驭和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2.能应用两个计数原理解决实际问题.应用数学抽象提升逻辑推理和数学运算授课提示：对应学生用书第4页[基础相识]学问点一两个计数原理的区分与联系学问梳理分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种类不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)留意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整学问点二两个计数原理的应用学问梳理解决较为困难的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用．运用时要做到目的明确，层次分明，先后有序，还需特殊留意以下两点：(1)合理分类，精确分步：处理计数问题，应扣紧两个原理，依据详细问题首先弄清晰是“分类”还是“分步”，要搞清晰“分类”或者“分步”的详细标准．分类时须要满意两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准．分步时应按事务发生的连贯过程进行分析，必需做到步与步之间相互独立，互不干扰，并确保连续性．(2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先支配特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想．[自我检测]1．一项工作可以用两种方法完成，有3人会用第1种方法完成，有5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同的方法种数是()A．8 B．15C．16 D．30答案：A2．用数字2,3组成四位数，且数字2,3都至少出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)答案：14授课提示：对应学生用书第4页探究一两个计数原理在排数中的应用[阅读教材P6例5]给程序模块命名，须要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个要求用数字1～9，最多可以给多少个程序命名？题型：两个计数原理的应用方法步骤：(1)先选首字符共有7＋6＝13种不同选法．(2)再选中间的字符共有9种选法．最终一个字符共有9种选法．由分步计数原理共有13×9×9＝1053种．[例1]从0,1,2,3,4,5这六个数字中取四个数字组成一个四位数，问：(1)能组成多少个四位数？(2)能被5整除的四位数有多少个？[解析](1)第1步，千位上的数不能取0，只能取1,2,3,4,5，有5种选择；第2步，因为千位取了一个数，还剩下5个数供百位取，所以有5种选择；第3步，因为千位、百位分别取了一个数，还剩下4个数供十位取，所以有4种选择；第4步，因为千位、百位、十位分别取了一个数，还剩下3个数供个位取，所以有3种选择．依据分步乘法计数原理，组成的四位数共有5×5×4×3＝300(个)．(2)因为满意要求的四位数能被5整除，所以个位上的数字只能是0或5.第1类，当个位上的数字为0时，依次取千位、百位、十位上的数字，分别有5种选择、4种选择、3种选择，所以有5×4×3＝60个满意要求的四位数；第2类，当个位数字为5时，依次取千位、百位、十位上的数字，分别有4种选择、4种选择、3种选择，所以有4×4×3＝48个满意要求的四位数．依据分类加法计数原理，能被5整除的四位数共有60＋48＝108(个)．方法技巧对于组数问题，应驾驭以下原则：(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采纳“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；假如正面分类较多，可采纳间接法求解．(2)要留意数字“0”跟踪探究1.用0,1,2,3,4五个数字，(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？解析：(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125种．(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，其次、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100种．(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．探究二选(抽)取与安排问题[阅读教材P12习题1.1A组5(2)]在平面直角坐标系内，斜率在集合B＝{1,3,5,7}内取值，y轴上的截距在集合C＝{2,4,6,8}内取值的不同直线共有多少条？解析：确定一条直线分两个步骤．①确定直线的斜率共有4种②确定直线在y轴上的截距，共有4种．因此共有直线4×4＝16(条)．[例2]某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？[解析]由题意9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人，则可分两类．第一类：会英语的一人从只会英语的人中选，有6种；那么会日语的一人从会日语的人中选，有3种．此时共有6×3＝18种不同选法．其次类：会英语的一人从多面手中选，有1种；会日语的一人从会日语的人中选，有2种．此时共有1×2＝2种不同选法．由分类加法计数原理，共有18＋2＝20种不同选法．方法技巧选(抽)取与安排问题的常见类型及其解法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①干脆运用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有依次的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件计算全部的抽取方法数，然后减去全部不符合条件的抽取方法数即可．跟踪探究2.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必需有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的安排方案有()A．16种 B．18种C．37种 D．48种解析：(法一：干脆法)以甲工厂安排班级状况进行分类，共分为三类．第1类，三个班级都去甲工厂，此时安排方案只有1种；第2类，有两个班级去甲工厂，剩下的班级去另外三个工厂，其安排方案有3×3＝9(种)；第3类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其安排方案有3×3×3＝27(种)．综上所述，不同的安排方案共有1＋9＋27＝37(种)．(法二：间接法)先计算3个班自由选择去哪个工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的状况，即有4×4×4－3×3×3＝37种不同的安排方案．答案：C探究三用计数原理解决涂色(种植)问题[例3]将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，假如颜色可以反复运用，共有多少种不同的涂色方法？1234[解析]法一：第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法．②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法．由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法．法二：(依据所用颜色的种数分类，将用同色的区域“看成”一个区域)分三类：①用四色时第1个小方格从5种颜色中任取一种涂上，有5种．第2个小方格从余下的4种颜色中任取一种涂上，有4种．第3个小方格从余下的3种颜色中任取一种涂上，有3种．第4个小方格从余下的2种颜色中任取一种涂上，有2种．共有5×4×3×2＝120种不同涂法．②用三色时有两类1,4同色或2,3同色．当1,4同色时有5种涂法．2有4种涂色方法．3有3种涂色方法．共有5×4×3＝60种不同的涂法．同理2,3同色时也有60种不同涂法．用三色时共有60＋60＝120种涂法．③用两色时1,4同色、2,3同色．1,4同色有5种涂法．2,3同色有4种涂法．共有5×4＝20种不同涂法．综上，共有120＋120＋20＝260不同涂色方法．方法技巧求解涂色(种植)问题一般是干脆利用两个计数原理求解，常用方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色(种植作物)为主分类探讨，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；(3)对于涂色(立方体)问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题．跟踪探究3.如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为()A．96 B．84C．60 D．48解析：依次种A，B，C，D4块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36种种法；当C与A所种的花不同时，有4×3×2×2＝48种种法．由分类加法计数原理知，不同的种法种数为36＋48＝84.答案：B授课提示：对应学生用书第5页[课后小结](1)分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答后面将要学习的排列、组合问题，尤其是较困难的排列、组合问题的基础．(2)应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事务独立完成；应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事务必需经过的若干彼此独立的步骤．(3)一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏．(4)若正面分类，种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则运用间接法会简洁一些．[素养培优]1.计数原理之列举法某公司电脑选购 员支配用不超过300元的资金购买单价分别为20元、40元的鼠标和键盘，依据须要，鼠标至少买5个，键盘至少买3个，则不同的选购方式共有()A．7种 B．8种C．9种 D．10种解析：依据选购鼠标和键盘的不同个数分类列举求解．若买5个鼠标，则可买键盘3,4,5个；若买6个鼠标，则可买键盘3,4个；若买7个鼠标，则可买键盘3,4个；若买8个鼠标，则可买键盘3个；若买9个鼠标，则可买键盘3个．依据分类加法计数原理，不同的选购方式共有3＋2＋2＋1＋1＝9(种)．故选C.答案：C2．计数原理之树状图法甲、乙、丙三人传球，从甲起先传出，并记为第一次，经过5次传球，球恰好回到甲手中，则不同的传球方法的种数是()A．6 B．8C．10 D．15解析：