2024-2025学年高中数学第二章统计2.1.3分层抽样学案含解析新人教版必修3

PAGE2．1.3分层抽样内容标准学科素养1.记住分层抽样的特点和步骤.2.会用分层抽样从总体中抽取样本.3.给定实际抽样问题会选择合适的抽样方法进行抽样.提升数学运算发展逻辑推理应用数学建模授课提示：对应学生用书第31页[基础相识]学问点分层抽样预习教材P60－61，思索并完成以下问题某市为调查中小学生的近视状况，在全市范围内分别对小学生、初中生、中学生三个群体抽样，进而了解中小学生的总体状况和三个群体近视状况的差异大小．(1)上述问题中样本总体有什么特征？提示：此总体，小学生、初中生、中学生三个群体在年龄、体质等方面存在着明显的差异．(2)若采纳抽签法或系统抽样法会出现什么结果？提示：抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性．(3)为使抽取的样本更合理，更有代表性，有更好的抽样方法解决该问题吗？提示：有．可分不同群体抽取．学问梳理1.分层抽样的概念一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后根据肯定的比例，从各层独立地抽取肯定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．2．分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所驾驭的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一样性，这对提高样本的代表性特别重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．[自我检测]1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习爱好与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采纳的抽样方法是()A．抽签法 B．随机数法C．系统抽样法 D．分层抽样法解析：由于是调查男、女学生在学习爱好与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法．答案：D2．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担状况．宜采纳的抽样方法依次为__________，__________．解析：①中由于收入差别较大，宜于用分层抽样，②中个数较少，宜于用简洁随机抽样．答案：分层抽样简洁随机抽样3．有一批产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件．用分层抽样从这批产品中抽出8件进行质量分析，则抽取的一等品有__________件．解析：抽样为eq\f(8,10＋25＋5)×10＝2.答案：2授课提示：对应学生用书第32页探究一分层抽样的概念[例1]某中学有老年老师20人，中年老师65人，青年老师95人．为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是()A．抽签法B．系统抽样C．分层抽样 D．随机数法[解析]各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据．[答案]C方法技巧各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据，至于各层内用什么方法抽样是敏捷的，可用简洁随机抽样，也可采纳系统抽样．分层抽样中，无论哪一层的个体，被抽中的机会均等，体现了抽样的公允性．跟踪探究1.某市有四所重点高校，为了解该市高校生的课外书籍阅读状况，采纳下列哪种方法抽取样本最合适(四所高校图书馆的藏书有肯定的差距)()A．抽签法 B．随机数表法C．系统抽样法 D．分层抽样法解析：因为学校图书馆的藏书对学生课外书籍阅读影响比较大，因此实行分层抽样．答案：D2．某校高三年级有男生800人，女生600人，为了解该年级学生的身体健康状况，从男生中随意抽取40人，从女生中随意抽取30人进行调查．这种抽样方法是()A．系统抽样法 B．抽签法C．随机数表法 D．分层抽样法解析：总体中个体差异比较明显，且抽取的比例也符合分层抽样．答案：D探究二分层抽样的设计及应用[阅读教材P60探究]假设某地区有中学生2400人，初中生10900人，小学生11000人．当地教化部门为了了解本地区中小学生的近视率及其形成缘由，要从本地区的中小学生抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？方法步骤：第一步，按某种特征将总体分成若干部分(层)；其次步，计算样本容量与总体的个体数之比；第三步，依据抽样比在各层分别按简洁随机抽样的方法抽取样本；第四步，综合每层抽样，组成样本．[例2]某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的看法，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请详细实施操作．[解析]∵机构改革关系到每个人的不同利益，故采纳分层抽样方法较妥．∵eq\f(100,20)＝5，∴eq\f(10,5)＝2，eq\f(70,5)＝14，eq\f(20,5)＝4.∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．因副处级以上干部与工人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采纳抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人进行00，01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本．方法技巧应用分层抽样的留意事项在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N.延长探究1.(变条件)某大型工厂有管理人员1200人，销售人员2000人，车间工人6000人，若要了解改革看法，从全厂人员中抽取一个容量为46的样本，试确定用何种方法抽取，请详细实施操作．解析：改革关系到每个人的利益，采纳分层抽样较好．抽样比：eq\f(46,1200＋2000＋6000)＝eq\f(1,200).∵1200×eq\f(1,200)＝6(人)，2000×eq\f(1,200)＝10(人)，6000×eq\f(1,200)＝30(人)．∴从管理人员中抽取6人，从销售人员中抽取10人，从车间工人中抽取30人．因为各层中个体数目均较多，可以采纳系统抽样的方法获得样本．2．(变结论)某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革的看法，要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，试说明抽样的公允性与合理性．解析：从100人中抽取20人，总体中每一个个体的入样可能性都是eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，即抽样比，按此比例在各层中抽取个体；副处级以上干部抽取10×eq\f(1,5)＝2人，一般干部抽70×eq\f(1,5)＝14人，工人抽20×eq\f(1,5)＝4人，以保证每一层中每个个体的入样可能性相同，均为eq\f(1,5)，故这种抽样是公允合理的．探究三三种抽样方法的比较[例3]①教化局督学组到校检查工作，临时需在每班各抽调两人参与座谈；②某班数学期中考试有15人在120分以上，40人在90～119分，1人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；③某班春节聚会，要产生两位“幸运者”．就这三件事，合适的抽样方法分别为()A．分层抽样，分层抽样，简洁随机抽样B．系统抽样，系统抽样，简洁随机抽样C．分层抽样，简洁随机抽样，简洁随机抽样D．系统抽样，分层抽样，简洁随机抽样[解析]①每班各抽两人需用系统抽样．②由于学生分成了差异比较大的几层，应用分层抽样．③由于总体与样本容量较小，应用简洁随机抽样．故选D.[答案]D方法技巧方法类别共同特点抽样特征相互联系适用范围简洁随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率相等从总体中逐个不放回抽取简洁随机抽样是基础总体中的个体数较少系统抽样将总体分成均衡几部分，按规则关联抽取用简洁随机抽样抽取起始号码总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，按比例分层抽取用简洁随机抽样或系统抽样对各层抽样总体由差异明显的几部分组成跟踪探究3.700户家庭，其中高收入家庭225户，中等收入家庭400户，低收入家庭75户，为了调查社会购买力的某种指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记为①；某中学高二年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担状况，记作②；从某厂生产的802辆轿车中抽取8辆测试某项性能，记作③.则完成上述3项应采纳的抽样方法是()A．①用简洁随机抽样，②用系统抽样，③用分层抽样B．①用分层抽样，②用简洁随机抽样，③用系统抽样C．①用简洁随机抽样，②用分层抽样，③用系统抽样D．①用分层抽样，②用系统抽样，③用简洁随机抽样解析：对于①，总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的三部分组成，而所调查的指标与收入状况亲密相关，所以应采纳分层抽样．对于②，总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是同等的，应用简洁随机抽样．对于③，总体中的个体数较多，应用系统抽样．故选B.答案：B授课提示：对应学生用书第33页[课后小结]1．对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式巧解：(1)eq\f(样本容量n,总体的个数N)＝eq\f(各层抽取的个体数,该层的个体数)；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．2．选择抽样方法的规律：(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简洁，号签简洁搅匀，可采纳抽签法．(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采纳随机数法．(3)当总体容量较大，样本容量也较大时，可采纳系统抽样法．(4)当总体是由差异明显的几部分组成时，可采纳分层抽样．[素养培优]1．抽样方法概率理解错误某单位有老、中、青年人各32人，50人，20人，现用分层抽样从三个群体中共抽取20人进行某项调查，问：老、中、青每组应各抽取多少人？每人被抽中的机会是否相等？错解按分层抽样的要求，可先从老年人中用随机抽样法剔除2人，使三个群体的人数比为3∶5∶2，则共抽20人进行调查，三组中各抽取人数为6人，10人，4人；但由于老年组中先剔除2人，没有参与后面的抽取，因此每人抽中机会不相等．易错分析由于剔除的2位老人是随机剔除的，因而老年人中每人被抽中的机会仍相等．自我订正先从老年人中随机剔除2人，余下的三个群体人数比为3∶5∶2，从三组中各抽取人数分别为6人，10人，4人．每人被抽中的机会相等．2．抽样方法考虑不全致误某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本，假如采纳系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；假如样本容量增加1个，则在采纳系统抽样时，须要在总体中先剔除1个个体，求得样本容量为__________．易错分析(1)若没有考虑样本容量为n＋1时的改变状况，会得到n＝6或12或18或36的错误结论．(2)样本容量增加1个个体，若总体没有剔除1人，没有考虑到系统抽样的间隔为eq\f(35,n＋1)∈N*，而是利用n＋1是36