2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.5.3平面与平面平行教学用书教案新人教A版必修第二册

PAGE8.5.3平面与平面平行素养目标·定方向素养目标学法指导1．驾驭线面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理)2．驾驭面面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理)3．会用面面平行的判定定理和性质定理证明面面平行、线面平行、线线平行.(逻辑推理)借助长方体，通过直观感知，探究发觉平面与平面平行的判定定理和性质定理，培育数学抽象，提升逻辑推理及直观想象素养.必备学问·探新知学问点1两个平面平行的判定定理文字语言假如一个平面内的__两条相交直线__与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α图形语言学问点2两个平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，假如另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线__平行__符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a∥b__图形语言[学问解读]1．剖析平面与平面平行的判定定理(1)具备两个条件判定平面α与平面β平行时，必需具备两个条件.①平面β内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P.②两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.(2)体现了转化思想此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行.(3)此定理可简记为：线面平行⇒面面平行.2．解读平面与平面平行的性质定理(1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”.该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理.可简述为“若面面平行，则线线平行”.(2)用该定理推断直线a与b平行时，必需具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不行.(3)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面一切直线”的错误.3．两个平面平行的一些常见结论(1)假如两个平面平行，那么在一个平面内的全部直线都与另一个平面平行.(2)假如一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交.(3)夹在两个平行平面间的全部平行线段相等.关键实力·攻重难题型探究题型一两个平面平行的判定典例1如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1[分析]要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可.[解析]如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝又D、E分别为BC，B1C1所以C1E∥DB，C1E＝DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D.又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1．连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质所以ED∥A1A，ED＝A1则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1．由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1．[归纳提升]平面与平面平行的判定方法：(1)定义法：两个平面没有公共点；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【对点练习】❶如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM︰MA＝BN︰ND＝PQ︰QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.[解析]∵在三角形PBD中，BN︰ND＝PQ︰QD，∴QN∥PB，∴QN∥平面PBC，同理PM︰MA＝PQ︰QD，∴MQ∥AD.又底面ABCD是平行四边形，则AD∥BC，∴MQ∥BC，∴MQ∥平面PBC.而MQ∩NQ＝Q，MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PBC.题型二面面平行性质的应用典例2(2024·河南郑州高一检测)如图，两条异面直线AB，CD与三个平行平面α，β，γ分别相交于A，E，B及C，F，D，又AD，BC与平面β的交点为H，G.求证：四边形EHFG为平行四边形.[分析]利用面面平行的性质说明EH∥BD，GF∥BD及EG∥AC，HF∥AC.从而说明四边形EHFG为平行四边形.[证明]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(平面ABC∩α＝AC,平面ABC∩β＝EG,α∥β))⇒AC∥EG.同理AC∥HF.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AC∥EG,AC∥HF))⇒EG∥HF.同理EH∥FG.故四边形EHFG是平行四边形.【对点练习】❷(2024·山东济南联考)如图所示，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点.M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.[证明]因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.题型三线线、线面、面面平行的转化典例3如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点.设F是棱AB的中点.求证：直线EE1∥平面FCC1．[证明]因为F为AB的中点，所以AB＝2AF又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形，所以FC∥AD，又FC⊄平面ADD1A1AD⊂平面ADD1A1所以FC∥平面ADD1A1因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1DD1⊂平面ADD1A1所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C所以平面ADD1A1∥平面FCC1又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1[归纳提升]空间中各种平行关系相互转化关系的示意图【对点练习】❸(1)将本例改为：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F是棱C1D1，A1D1的中点求证：AF∥平面BDE.(2)将本例改为：如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD1的中点.求证：MN∥平面ADD1A[证明](1)法一：如图，连接EF，AC，AC∩BD＝G，明显四边形EFAG为平行四边形，又AF⊄平面BDE，EG⊂平面BDE，所以AF∥平面BDE.法二：取A1B1中点H，连接AH，FH，证明平面AFH∥平面BDE即可.(2)如图所示，取CD的中点K，连接MK，NK.因为M，N，K分别为AE，CD1，CD的中点，因为MK∥AD，NK∥DD1，所以MK∥平面ADD1A1，NK∥平面ADD1A而NK与MK相交，所以平面MNK∥平面ADD1A1因为MN⊂平面MNK，所以MN∥平面ADD1A1易错警示应用定理条件不足，推理论证不严密致误典例4在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点，求证：平面EFGH∥平面ABCD.[错解]∵E、F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB，又EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，同理可证，HG∥平面ABCD.又EF⊂平面EG，HG⊂平面EG，∴平面EFGH∥平面ABCD.[错因分析]错解中，EF与HG是平面EG内的两条平行直线，不是相交直线，不符合面面平行的判定定理的条件，因此证明不正确.[正解]∵E、F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB，又EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.同理可证EH∥平面ABCD.又EF⊂平面EG，EH⊂平面EG，EF∩EH＝E，∴平面EFGH∥平面ABCD.[误区警示]利用面面平行的判定定理证明两个平面平行时，所满意的条件必需是明显或已经证明成立的，并且要与定理条件保持一样，否则简单导致错误.【对点练习】❹如图所示，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是(A．平行 B．相交C．异面 D．不确定[解析]∵E1和F1分别是A1B1和D1C1∴A1D1∥E1F1，又A