安徽省合肥市六校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学 含解析

合肥市普通高中六校联盟2024—2025学年第一学期期中联考高二年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：合肥九中命题教师：冯文华审题教师：王伟第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l过、两点,则直线l的倾斜角的大小为（）A.不存在 B. C. D.2.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（）A若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则3.已知两平行直线，的距离为，则m的值为（）A.0或-10 B.0或-20 C.15或-25 D.04.已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（）A.，3 B.，2 C.1，3 D.，25.在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是正方形的中心，则的值为（）A.不确定 B.2 C. D.46.在平行六面体中，为与交点，是的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.7.台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（）A.1小时 B.小时 C.小时 D.2小时8.已知圆：的圆心为点，直线：与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则的值为（）A. B. C.2 D.1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（）A. B. C.0 D.110.已知直线：，则（）A.直线的一个方向向量为B.直线过定点C.若直线不经过第二象限，则D.若，则圆上有四个点到直线的距离等于11.已知点在圆：上，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交，轴于，两点，则（）A.的最小值为B直线必过定点C.满足点有两个D.过点作圆的切线，切线方程为或第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点在平面内，为空间内任意一点，若，则________．13.直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．14.如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知直线：与直线：的交点为.（1）求点关于直线的对称点；（2）求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程.16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.17.已知动点与两个定点，的距离的比是2.（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.18.如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上．（1）证明：平面；（2）若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值；（3）求动点Q到线段的距离的取值范围．19.在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为.（1）证明：向量是平面的法向量；（2）若平面，平面，直线l为平面和平面交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；（3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数m的值.合肥市普通高中六校联盟2024—2025学年第一学期期中联考高二年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：合肥九中命题教师：冯文华审题教师：王伟第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l过、两点,则直线l的倾斜角的大小为（）A.不存在 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据两点,求出的直线方程,进而可求倾斜角大小.【详解】解:由题知直线l过、两点,所以直线的方程为,故倾斜角为.故选:C2.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面分法向量的关系，逐项判定，即可求解.【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，由，可得，所以A不正确，C正确；对于B中，由，可得或，所以B、D都不正确；故选：C.3.已知两平行直线，的距离为，则m的值为（）A.0或-10 B.0或-20 C.15或-25 D.0【答案】B【解析】【分析】化简直线方程得：，利用两条平行线间的距离公式计算可得.【详解】化简得：，两平行直线，的距离为：，，或，故选：B.【点睛】此题考两条平行线间的距离公式，关键是化简直线方程，使两个直线方程x，y的对应系数相同，属于简单题.4.已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（）A.，3 B.，2 C.1，3 D.，2【答案】D【解析】【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可.【详解】因为，，，所以，，因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使，所以，所以，解得.故选：D5.在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是正方形的中心，则的值为（）A.不确定 B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则,0,，,2,，，,1,，．故选：D．6.在平行六面体中，为与的交点，是的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作出图象，利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式.【详解】如下图所示：由题意可知，，所以，故选：A.7.台风中心从地以每小时速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（）A.1小时 B.小时 C.小时 D.2小时【答案】B【解析】【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长.【详解】如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则，以为圆心，为半径作圆，则圆的方程为，当台风进入圆内，则城市处于危险区，又台风的运动轨迹为，设直线与圆的交点为，，圆心到直线的距离，则，所以时间，故选：B.8.已知圆：的圆心为点，直线：与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则的值为（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】设弦的中点为，得到，化简，即可求解.【详解】设弦的中点为，由题可知圆的半径为，因为，，所以，所以，，可得，解得.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（）A. B. C.0 D.1【答案】AC【解析】【分析】根据题意分析得，再去除共线的情况即可.【详解】由题意得，再去掉其共线反方向的情况，则，解得，当，共线时，解得，故且，对照选项知AC正确，BD错误.故选：AC.10.已知直线：，则（）A.直线的一个方向向量为B.直线过定点C.若直线不经过第二象限，则D.若，则圆上有四个点到直线的距离等于【答案】BD【解析】【分析】根据直线方向向量、直线过定点、直线截距、直线与圆的位置关系，逐项判断即可得结论.【详解】对于A：由方程可得可得一个方向向量：，可判断A错误；对于B：，所以，则直线过定点，故B正确；对于C，若，则直线，此时直线不过第二象限，又直线过定点，要使得直线不过第二象限，则，解得，所以若直线不经过第二象限，则，故C错误.对于D：当时，直线方程为：，圆心到直线的距离为：，而圆的半径为，因为，所以圆上有四个点到直线的距离等于，正确；故选：BD11.已知点在圆：上，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交，轴于，两点，则（）A.的最小值为B.直线必过定点C.满足的点有两个D.过点作圆的切线，切线方程为或【答案】BCD【解析】【分析】A：将问题转化为求PQ的最小值，由此可解；B：根据是以为直径的圆与圆相交所得到的公共弦，由此求出方程并分析是否过定点；C：分析以为直径的圆与圆的位置关系，由此可判断结果；D：设出切线方程，根据相切时圆心到直线的距离等于半径求解出结果.【详解】A：因为，当PQ最小时，取最小值，PQ取最小值时即为到直线的距离，所以PQ最小值为，所以的最小值为，故A错误；B：设，，所以中点坐标为，，以为直径的圆的方程为，又圆，两圆方程相减可得，即为令，解得，所以公共弦所在直线过定点，故B正确；对于C：对于，令，则，所以，令，则，所以，所以中点的坐标为，，故以为直径的圆的方程为，又因为，且，所以圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C正确；对于D：如图所示，不妨设切线方程为，即，因为与圆相切，所以，所以，解得，所以切线方程为或，故D正确；故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点在平面内，为空间内任意一点，若，则________．【答案】##0.25【解析】【分析】根据向量的运算法则得到，根据共面得到，得到答案.【详解】由，得，即．因为点在平面内，所以，得．故答案为：.13.直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】作出图形，求出、，观察直线与线段的交点运动的过程中，直线的倾斜角的变化，可得出直线的取值范围.【详解】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角，此时，；当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角，此时，.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故答案为：.14.如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为______.【答案】【解析】【分析】建系标点，设，根据垂直关系可得，结合长度可得，分析可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分，即可得结果.【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，设，可得，因为，即，可得，则，则，整理可得，可知端点轨迹是以为圆心，半径的圆的部分，所以端点的轨迹长度为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知直线：与直线：的交点为.（1）求点关于直线的对称点；（2）求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）先求直线的交点，然后通过条件得到直线的方程，进而确定的中点坐标，最后确定的坐标；（2）先根据条件得到点到的距离不超过，然后在取到该值的条件下得到的斜率，进而确定直线的方程.【小问1详解】联立方程,解得所以两直线，的交点为.设，则的中点为.联立方程，解得所以.【小问2详解】因为，所以点到经过点的直线距离的最大值为.由题意，与垂直，则，故的斜率为.所以直线的方程为，即所以当距离最大时，直线的方程为.16.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）构建空间直角坐标系，然后根据空间向量求解直线与法向量的夹角的余弦值即可；【小问1详解】∵、分别为，的中点，∴，∵为正方形，∴，则，∵平面，平面，∴平面.【小问2详解】由题知平面，，建立如图所示的空间直角坐标系，则，A0,0,0，，，，∴，，∴，，，设平面ADNM的一个法向量为，则令，则，，∴.设直线与平面所成的角为，∴，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.已知动点与两个定点，的距离的比是2.（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆；（2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程.【小问1详解】设点，动点与两个定点，的距离的比是，，即，则，化简得，所以动点的轨迹的方程为；【小问2详解】由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，直线被曲线截得的弦长为，圆心到直线的距离，①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离，化简得，解得或，此时直线方程为或.综上，直线的方程是或.18.如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上．（1）证明：平面；（2）若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值；（3）求动点Q到线段的距离的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角；（3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可.【小问1详解】因为折叠前为中点，，所以，折叠后，，所以，所以，在折叠前分别为中点，所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后，，；以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，为中点，所以，，设平面的法向量为，又，，所以，，令，则，，所以，所以，所以，所以平面.【小问2详解】设，由（1）知，，因为动点