秋八年级数学上册第14章勾股定理本章总结提升练习

PAGE勾股定理本章总结提升问题1勾股定理eq\a\vs4\al(直角三角形三边的长有什么特殊的关系？)例1已知一个直角三角形的两条边长分别为5，13，则第三条边长为________．【归纳总结】当题目中已知直角三角形的两条不相等的边长，并且未表明直角边和斜边时，一定要分类讨论，防止漏解．若题目中已知直角三角形的两条相等的边长，则这两条边一定是直角边．问题2用拼图证明勾股定理勾股定理的证明方法有哪些？赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？ 例2勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图14－T－1①或②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：①②图14－T－1将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2＋b2＝c2.证明：连结DB，DC，过点D作BC边上的高DF，DF＝EC＝b－a.∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,2)ab，S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)a(b－a)，∴eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)a(b－a)．∴a2＋b2＝c2.请参照上述证法，利用图②完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a2＋b2＝c2.【归纳总结】把图形进行“割”或“补”，这两种方法体现的是同一种思想——化归思想．问题3勾股定理的应用勾股定理有哪些应用？运用勾股定理解决实际问题的关键是什么？例3如图14－T－2所示，一架2.5米长的梯子AB斜靠在一堵竖直的墙AO上，这时梯脚B到墙底端O的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯脚将外移多少米？图14－T－2问题4勾股定理与方程思想的综合运用已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？你判断的依据是什么？证明勾股定理的逆定理运用了什么方法？例4如图14－T－3，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的路程相等，则这棵树有多高？图14－T－3【归纳总结】利用勾股定理建立方程是解决此类问题的关键．例5如图14－T－4是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高均分别为5dm、3dm和1dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶上表面爬到点B的最短路程是______dm.图14－T－4【归纳总结】将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形，利用勾股定理求线段的长度．例6如图14－T－5所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求这只蚂蚁要爬行的最短路程．图14－T－5【归纳总结】确定立体图形表面上两点之间的最短路程问题，解题思路是将立体图形展开，转化为平面图形，并借助勾股定理解决．当长方体的长、宽、高不同时，不同表面上两点之间的距离分三种情况讨论，展开方式不同，两点间的距离也可能不同．例7如图14－T－6，在四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，试求∠DAB的度数．图14－T－6

详解详析【整合提升】例112或eq\r(194)例2证明：证法一：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a.∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△AED＝eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,2)ab，S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)a(b－a)，∴eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)a(b－a)，∴a2＋b2＝c2.证法二：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a.∵S五边形ACBED＝S梯形ACBE＋S△AED＝eq\f(1,2)b(a＋b)＋eq\f(1,2)ab，S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)a(b－a)，∴eq\f(1,2)b(a＋b)＋eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)a(b－a)．∴a2＋b2＝c2.例3[解析]如图，AB＝CD＝2.5米，BO＝0.7米，由勾股定理求得AO＝2.4米．因此，OC＝2.4－0.4＝2(米)．再由勾股定理求出OD的长度，则可求出BD的长度，解：如图，在Rt△OAB中，AO＝eq\r(AB2－OB2)＝eq\r(2.52－0.72)＝2.4(米)，OC＝2.4－0.4＝2(米)．在Rt△COD中，OD＝eq\r(CD2－OC2)＝eq\r(2.52－22)＝1.5(米)，∴BD＝OD－OB＝1.5－0.7＝0.8(米)．即梯脚将外移0.8米．例4解：设BD＝x米，则AD＝(10＋x)米，CD＝(30－x)米．根据题意，得(30－x)2－(10＋x)2＝202，解得x＝5.即树的高度是10＋5＝15(米)．例5[答案]13[解析]将台阶上表面展开，如图，因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝5，所以AB2＝AC2＋BC2＝169，所以AB＝13dm，所以蚂蚁爬行的最短路程为13dm.例6[解析]沿长方体表面从点A爬到点B，考虑路线最短的问题有三种途径：(1)从右侧面和前面走；(2)从右侧面和上底面走；(3)从后侧面和上底面走．解：沿长方体的表面从点A爬到点B的走法有三种：(1)沿右侧面和前面走时，如图①所示，由勾股定理，得AB＝eq\r(152＋202)＝eq\r(625)＝25，即路线长l1＝25.(2)沿右侧面和上底面走时，如图②所示，由勾股定理，得AB＝eq\r(（20＋5）2＋102)＝eq\r(725)，即路线长l2＝eq\r(725).(3)沿后侧面和上底面走时，如图③所示，由勾股定理，得AB＝eq\r(52＋302)＝eq\r(925)，即路线长l3＝eq\r(925).因为l1＜l2＜l3，故这只蚂蚁要爬行的最短路程为25.例7解：如图，连结AC.在Rt△ABC中，∠B＝