专题13立体几何中有关异面直线夹角线面角二面角的计算问题（原卷版）

立体几何中有关异面直线夹角、线面角、二面角的计算问题专题立体几何中有关异面直线夹角、线面角、二面角的计算问题专题体系搭建体系搭建（一）异面直线所成的角定义：已知，是两条异面直线，经过空间任意一点作直线，我们把直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线，所成的角．(1)异面直线所成的角与点的位置无关．(2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作．(3)异面直线所成角的范围是．求异面直线所成角的步骤：（1）恰当选点，由平移构造出一个交角；（2）证平行关系成立；（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角．（二）、直线与平面所成的角1．直线与平面所成角的定义一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.要点诠释：(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线.(2)直线与平面垂直时射影是点.(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.2．直线与平面所成的角的范围：直线和平面相交直线和平面相交不垂直时，0°＜＜90°垂直时，=90°直线和平面平行或直线在平面内，=0°。．直线和平面所成角的范围是0°≤≤90°．3．求斜线与平面所成角的一般步骤：(1)确定斜线与平面的交点即斜足；(2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；(3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．（三）、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或.2.二面角的平面角(1)二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.(2)二面角的平面角的范围：0°≤≤180°．当两个半平面重合时，=0°；当两个半平面相交时，0°＜＜180°；当两个半平面合成一个平面时，=180°．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.(3)二面角与平面角的对比角二面角图形定义从半面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形从空间内二直线出发的两个半平面所组成的图形表示法由射线、点（顶点）、射线构成，表示为∠AOB由半平面、线（棱）、半平面构成，表示为二面角(4)二面角的平面角的确定方法方法1：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如右图，在二面角的棱a上任取一点O，在平面内过点O作OA⊥a，在平面内过点O作BO⊥a，则∠AOB为二面角的平面角．方法2：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如下图（左），已知二面角，过棱上一点O作一平面，使，且，。∴，，且⊥OA，⊥OB，∴∠AOB为二面角的平面角．方法3：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通常用于求二面角的所有题目，具体步骤：一找，二证，三求．如上图（右），已知二面角ABCD，求作其平面角．过点A作AE⊥平面BCD于E，过E在平面BCD中作EF⊥BC于F，连接AF．∵AE⊥平面BCD，BC平面BCD，∴AE⊥BC．又EF⊥BC，AE∩EF=E，∴BC⊥平面AEF，∴BC⊥AF由垂面法可知，∠AFE为二面角ABCD的平面角。例题分析例题分析考点1异面直线夹角问题【例1】．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，AA1＝4，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为（）A． B． C． D．变式训练【变11】．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线A1D和MN所成的角为（）A．30° B．45° C．90° D．60°【变12】．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【变13】．如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧的中点，E为母线BC的中点，则异面直线AC和DE所成角的余弦值为（）A． B． C． D．考点2线面角计算问题【例2】．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD＝AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．变式训练【变21】．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分别是A1B、B1C1的中点．（Ⅰ）求证：MN⊥平面A1BC；（Ⅱ）求直线BC1和平面A1BC所成角的大小．【变22】．已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为2的菱形，∠B1BC＝60°，侧面BB1C1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，二面角A﹣B1B﹣C为30°．（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；（2）求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值．【变23】．如图，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图所示．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）求BD与平面ABC所成角θ的正弦值．考点3二面角计算问题【例3】．已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，则二面角A﹣BC﹣O的大小为．变式训练【变31】．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．【变32】．若四棱锥P﹣ABCD的侧面PAB内有一动点Q，已知Q到底面ABCD的距离与Q到点P的距离之比为正常数k，且动点Q的轨迹是抛物线，则当二面角P﹣AB﹣C平面角的大小为30°时，k的值为．【变33】．如图，在四面体D﹣ABC中，AD＝BD＝AC＝BC＝5，AB＝DC＝6．若M为线段AB上的动点（不包含端点），则二面角D﹣MC﹣B的余弦值取值范围是．【变34】．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E是线段AB上的点，且EB＝1，则二面角C﹣DE﹣C1的正切值为．【变35】．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，且AD＝CD＝CF＝1．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）求平面FAB与平面FCB夹角的余弦值．【变36】．如图，圆柱OQ的上，下底面圆的圆心分别为Q，O，四边形ABCD是圆柱QQ的轴截面，点P在圆柱OQ的下底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的直径AB＝4，母线AD＝AP＝2．（1）求证：AG⊥BD；（2）求锐二面角P﹣AG﹣B的平面角的余弦值．实战演练实战演练1．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为侧面ABB1A1的中心，N为侧面ACC1A1的中心，P为BC的中点，则直线MN与直线AP所成的角为（）A．0° B．45° C．60° D．90°2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD为边长为2的正方形，E为BC的中点，则异面直线BD与PE所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．3．三棱锥P﹣ABC的六条棱长都相等，M是棱AB上一点，若直线PM与直线BC所成角的余弦值为，则＝（）A． B． C． D．4．如图1，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．点E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥P﹣ABCD（如图2）．当四棱锥P﹣ABCD的侧面积是底面积的2倍时，异面直线PB与CD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．5．如图，锐二面角α﹣l﹣β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知AB＝4，AC＝BD＝6，，则锐二面角α﹣l﹣β的平面角的余弦值是．6．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则二面角A﹣BC﹣D的余弦值是．7．已知二面角α﹣l﹣β的大小为120°，在半平面α内，PA⊥l于A，在半平面β内，QB⊥l于B，PA＝AB＝QB＝1，则直线PQ与AB所成角的大小为．8．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2，则二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值为．9．已知三棱锥A﹣BCD的所有棱长都相等，若AB与平面α所成的角为，则平面ACD与平面α所成角的正弦值的取值范围是．10．棱长均相等的四面体A﹣BCD中，P为BC中点，Q为直线BD上一点，则平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是．11．边长为2的正方形ABCD的顶点均在表面积为28π的球O的球面上，O1为正方形ABCD的中心，△O1AB绕AB旋转，其顶点O1接触到球面时设为E，则二面角E﹣AB﹣D的大小为．12．如图，已知二面角α﹣l﹣β的棱l上有A，B两点，C∈α，AC⊥l，D∈β，BD⊥l，若AC＝AB＝BD＝2，，有以下结论：（1）直线AB与CD所成角的大小为45°；（2）二面角α﹣l﹣β的大小为60°；（3）三棱锥A﹣BCD的体积为；（4）直线CD与平面β所成角的正弦值为．则正确结论的序号为．13．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB＝1，D1D＝．（1）求直线D1B与平面ABCD所成角的大小；（2）求证：AC⊥平面BB1D1D．14．如图，在三棱锥D﹣ABC中，平面ADC⊥平面ABC，△ADC和△ABC都是等腰直角三角形，AD＝DC，AC＝BC．（Ⅰ）证明：AD⊥平面BCD；（Ⅱ）若棱AC的中点为M，求二面角B﹣DM﹣C的余弦值．15．如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．AD垂直于PB于D，AE垂直于PC于E．，AB＝BC＝1．（1）求证：PC⊥平面ADE；（2）求AB与平面ADE所成的角；16．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P．（1