专题14复数(练习)

专题14复数(练习)一、填空题1．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）已知（其中为虚数单位），则___________.【答案】【分析】先求出，再由模长公式计算即可．【解析】，故答案为：2．（2022·上海市七宝中学模拟预测）若复数z满足：，则______.【答案】【分析】设，根据题设等量关系及复数的乘除运算可得求a、b，写出复数.【解析】设，原式化为，则解得∴.故答案为：3．（2022·上海市晋元高级中学高一期末）已知为虚数单位，则___________.【答案】##【分析】根据除法运算先化简，然后根据周期性即可求解.【解析】，且，故故答案为：4．（2022·上海市嘉定区第二中学高一期末）复数的三角形式的辐角主值为___________.【答案】##【分析】直接由辐角主值的概念求解即可.【解析】由辐角主值的概念知，的辐角主值为.故答案为：.5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期末）关于的实系数一元二次方程的一根为，则__________．【答案】4【分析】由实系数一元二次方程的虚数根成对出现得另一根为，再由根与系数关系得结论．【解析】由题意方程另一根为，所以．故答案为：4．6．（2022·上海市延安中学高一阶段练习）已知复平面上平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为、、，则向量所对应的复数是______．【答案】##【分析】由为平行四边形，可得，即可求出，进而可得出答案.【解析】∵四边形为平行四边形，A、B、C，∴．而，，∴，∴向量所对应的复数为.7．（2022·上海中学高一期末）已知为虚数，且是实数，也是实数，则的值为__________．【答案】1【分析】设，根据已知条件可得且，故可求，从而可求.【解析】设，因为为虚数，故，又，因为，故为实数，所以，故，而也为实数，同理可得为实数，故，，故，所以，故，若，则，同理若，则，故答案为：1.8．（2022·上海市建平中学高三开学考试）已知集合，，若，则b的取值范围是______【答案】【分析】令，则可得集合A表示复平面内直线上的点，集合B表示复平面内单位圆上的点，再由可得或，从而可求得结果.【解析】令，由，得，化简得，所以集合A表示复平面内直线上的点，集合B表示复平面内单位圆上的点，因为，所以或，解得或，所以b的取值范围为，故答案为：9．（2022·上海市松江二中高一期末）已知方程的两个虚根满足，则的值是___________.【答案】【分析】由题意设，，利用根与系数的关系结合，求得与的值，则可求．【解析】方程程的两个虚根为、，可设，．，，因为，，联立解得：，．．故答案为：．10．（2022·上海奉贤区致远高级中学高二开学考试）复数满足：，，，则______．【答案】【分析】根据给定条件，结合复数模公式计算作答.【解析】设复数，，，由得，由得，由得，因此，所以故答案为：511．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期末）已知z是虚数，是实数，是虚数z的共轭复数，则的最小值是__________．【答案】.【分析】设，，且，根据是实数，得到，表示出，结合二次函数的性质求出其最小值即可．【解析】解：设，，且，则，因为是实数，所以，因为，所以，所以，则，因为，所以，所以，所以，因为，所以，，则，当时，取到最值.故答案为：．12．（2022·上海市浦东复旦附中分校高二阶段练习）已知为虚数单位，则取到最小值时，的值为___________．【答案】##【分析】结合复数的几何意义和可知其表示以为圆心，1为半径的圆，而表示点与圆上点的距离，利用圆的几何性质即可求出结果.【解析】设复数，则，得，表示以为圆心，为半径的圆，，表示圆C上的点到定点的距离，当点、、三点共线时，到的距离最小，即取到最小值，此时，所以.故答案为：.13．（2022·上海市建平中学高一期末）设关于x的实系数一元二次方程的两个虚数根分别为、，若，则＝____．【答案】2【分析】由实系数一元二次方程有两虚根得到，，再由等量关系列方程求结果.【解析】由题设，，且，，由，即，故.故答案为：214．（2022·上海·高三专题练习）已知为虚数单位，则集合中元素的个数为___________.【答案】【分析】根据，分类讨论即可求出．【解析】当时，；当时，；当时，；当时，，所以集合中元素的个数为．故答案为：．15．（2022·上海虹口·二模）已知，，是的内角，若，其中为虚数单位，则等于_________.【答案】##【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等，得到方程组，再根据两角和的正弦、余弦公式计算可得；【解析】解：因为即，所以，即，，因为，所以，所以；故答案为：16．（2022·上海·位育中学模拟预测）如果复数满足，那么的最大值是_____.【答案】5【分析】设，，根据题干条件得到，，化简得到，根据求出最大值.【解析】设，，则，变形为，两边平方后得到，两边平方后得到，将代入，即，故，则，当时，取得最大值，最大值为5故答案为：517．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知关于的方程：有实数根，若复数满足，则的最小值为___________.【答案】【分析】首先由方程求，再根据模的公式化简为，再根据几何意义求的最小值.【解析】由条件可知，，所以，即，解得：，设，，，因为，所以，即，所以点在以为圆心，为半径的圆上，所以表示圆上的点到原点的距离，由图可知.故答案为：18．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）在复数范围内，下列命题中为真命题的序号是______．①；

②若，则；③若，则；

④；⑤，则；

⑥；⑦两个共轭复数的差是纯虚数；⑧若，则z必为实数．【答案】①⑤⑧【分析】根据复数的四则运算法则以及模长公式逐一判断，判断一个真命题需要证明，判断一个假命题需要举反例.【解析】①设，则，所以①正确②设，，但与不能比较大小所以②不正确③设，，则所以③不正确④设，则，所以④不正确⑤设，则，⑥当，时，，所以⑥不正确⑦如果两个复数是实数，差值也是实数，所以⑦不正确⑧设（，），则，所以⑧正确故答案为：①⑤⑧19．（2022·上海·高三专题练习）已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_________【答案】【分析】根据已知条件一元二次方程根的特征可知，也是的虚数根，结合已知条件，利用根与系数之间的关系和判别式求出的取值范围，然后再利用向量的模长公式和一元二次函数性质即可求解.【解析】不妨设，，因为是实系数一元二次方程的一个虚数根，所以也是的一个虚数根，从而

①，又因为无实根，所以

②，由①②可得，，因为，所以，由一元二次函数性质易知，当时，有最小值5；当时，；当时，，故当时，，即，故向量的取值范围为：.故答案为：.20．（2022·上海·高三专题练习）为求方程的虚根，可以把原方程变形为，由此可得原方程的一个虚根为______【答案】,中的一个【解析】解：，二、单选题21．（2022·上海·高三专题练习）若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据当且时，复数z为纯虚数判断即可.【解析】解：根据复数的概念，当且时，复数z为纯虚数，反之，当复数z为纯虚数时，且所以“”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件故选：B22．（2022·上海·高三专题练习）复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】设,代入方程得整理得，在结合方程有实数根得，进而分和两种情况求解即可.【解析】设,因为,所以,所以将代入方程整理，因为关于的方程有实根，所以所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以；当时，解得，，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件.综上，或.故这样的复数的个数为个.故选：C【点睛】本题考查复数方程有实数根，求对应的复数，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于设，进而根据题意得，即，进而求解.23．（2022·上海·高三专题练习）设、均为实数，关于的方程在复数集上给出下列两个结论：①存在、，使得该方程仅有两个共轭虚根；②存在、，使得该方程最多有个互不相等的根．其中正确的是（

）．A．①与②均正确 B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确【答案】A【解析】取可知①正确；分析根为实根和虚根的两种情况，讨论根的个数即可.【解析】解：令，为正实数，则存在两个共轭的虚根，如，则存在两个共轭虚根，，故①正确；若为实数，则方程可看做，只需保证有两个正解即可，此时方程有四个实根；若为虚数，则设，有，等价于，所以，又为虚数，所以，则有，即，，即最多有两个根，所以方程最多有6个解.只需即可，如，方程有四个实根，有两个虚根.故②正确；故选：A.【点睛】本题考查复数范围内求解，属于中档题.易错点睛：（1）根为复数时，设，代入计算，可得；（2）把握求实根和虚根时，两个方程之间的关系，保证一个最多方程4个根，一个方程最多2个根.24．（2020·上海·高三专题练习）方程在复数集中的解有A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【答案】C【解析】设，代入方程，化简后按或进行分类讨论，由此求得方程的解，进而得出正确选项.【解析】设，代入方程得，化简得①，所以或，当时，由①得，即，对应的复数为.当时，由①得，解得或，对应的复数为、.综上所述，共有个解.故选：C【点睛】本小题主要考查方程在复数范围内的解，属于中档题.25．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期末）以下数都在复数范围内（1）如果，则，；（2）；（3）；（4）若，则.其中错误命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据复数相等的定义、复数的模、复数的运算判断．【解析】由复数相等的定义只有在时，（1）才能正确，因此题中（1）错误；如，则是实数，，，因此（2）错；，（3）正确；若，，，则，但不成立，（4）错．故选：D．26．（2022·上海市延安中学高一阶段练习）设复数，在复平面所对应的点为与，则关于点、与以原点为圆心，10为半径的圆的位置关系，描述正确的是（

）A．点在圆上，点不在圆上； B．点不在圆上，点在圆上；C．点、都在圆上； D．点、都不在圆上．【答案】A【分析】根据复数的几何意义确定与，再根据与到的距离，结合点与圆位置关系的判定分析即可【解析】由题意，，，因为到的距离，到的距离，故点在圆上，点不在圆上故选：A27．（2022·上海·高三专题练习）已知下列4个命题：①若复数的模相等，则是共轭复数．②都是复数，若是虚数，则的共轭复数．③复数是实数的充要条件是．（是的共轭复数）．④已知复数（是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C.O为坐标原点．若（），则.则其中正确命题的个数为.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本道题结合复数的概念和向量的加减法，代入，即可．【解析】1号可能复数相等，故错误．2号明显正确，因为如果为共轭复数，则相加为实数，不会为虚数．4号,,计算得到b=0,故正确．3号，由题可知，，建立等式,建立等式，得到，解得，故错误．故选B．【点睛】本道题考查了复数的概念和向量坐标运算，代入，即可得出答案．28．（2015·上海黄浦·高三期末（理））已知i是虚数单位），，定义：，．给出下列命题：（1）对任意，都有；（2）若是复数的共轭复数，则恒成立；（3）若，则；（4）对任意，结论恒成立，则其中真命题是（

）．A．（1）（2）（3）（4） B．（2）（3）（4） C．（2）（4） D．（2）（3）【答案】C【分析】参照新定义，对四个选项一一验证：对于（1）：取特殊值z=0，直接否定结论；对于（2）：由于共轭复数的定义及直接证明；对于（3）：取特殊值直接否定结论；对于（4）：设参照定义,直接证明.【解析】对于（1）：取特殊值z=0，,故（1）错误；对于（2）：由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以成立，故（2）正确；对于（3）：取满足，但是.故（3）错误；对于（4）：设则；；.由,得恒成立,故(4)正确故选：C．三、解答题29．（2022·上海·华师大二附中高二开学考试）对任意复数，定义．(1)若，求复数z；(2)若中的a为常数，则令，对任意b，是否一定有常数使得？若存在，则m是否唯一？请说明理由．【答案】(1)，(2)，，m不唯一，理由见解析【分析】（1）由复数相等的性质分析可得到结果；（2）利用诱导公式，即可说明理由.（1）由，得，即，由得，进而，当时，，解得，此时；当时，，无解，舍去.所以，，故.（2）由题意得，，因为，，，所以，所以令，，则有，同时取不同值时，也有相应的不同值，故不唯一.30．（2022·上海市川沙中学高一期末）已知复数z＝a＋bi（其中a、），存在实数t，使得成立．(1)求2a＋b的值；(2)求的取值范围．【答案】(1)6(2)【分析】（1）直接利用复数相等的条件列式即可证明结论；（2）写出，用含有的代数式表示，再由配方法求最值得答案．(1)（其中、，存在实数，使，则，可得，消去可得；(2)．即31．（2022·上海市复兴高级中学高一期末）设方程的两根为．(1)若，求的值；(2)若方程至少有一根的模为1，求的值．【答案】(1)(2)的值为2，0，1【分析】（1）利用方程根与系数的关系得到，结合即可得出结论；（2）讨论两根为实数根和虚数根的情况分别求解的值.(1)解：因为方程的两根为，所以，，又，则，所以.故.(2)解：①若为实数根，则，即，设，则，将代入方程得，即（满足），将代入方程得，即（满足）；②若为共轭虚根，则，即，设，则，故（满足）.综上，的值为2，0，1.32．（2022·上海师范大学附属中学闵行分校高一期末）已知为虚数，若，且.(1)求的实部的取值范围；(2)设，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）设复数，根据复数的四则运算化简可得，进而可得的取值范围；（2）根据复数的四则运算，结合基本不等式可得最小值.(1)设，则，又，则，所以，所以，即，解得；(2)，由（1）得，所以，所以，又，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即的最小值为.33．（2022·上海市嘉定区第二中学高一期末）已知复数，若和互为共轭复数.(1)求实数a的值；(2)求满足不等式的实数m的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）由共轭复数的概念列方程组求参数a；（2）应用复数的四则运算化简，根据模的范围解不等式求m范围.(1)由题意，可得.(2)由（1）知：，所以，则，即，可得或.34．（2022·上海市嘉定区第一中学高一期末）已知向量，，，在复平面坐标系中，为虚数单位，复数对应的点为．(1)求；(2)若复数z满足（为的共轭复数），且复数z对应的点为Z，求点Z与点之间的最小距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的数量积的坐标运算先求出，再利用复数代数形式的除法运算即可得到复数，从而求出其模．（2）利用复数的几何意义可得曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，再利用点与圆的位置关系求解．(1)解：因为，，，所以，所以，所以，所以；(2)解：由（1）可得，，曲线，即，因此曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，如图，故与之间的距离为，所以与之间的最小距离为，35．（2022·上海·华师大二附中高一阶段练习）设复数数列满足：，且对任意正整数n，均有：.若复数对应复平面的点为，O为坐标原点.(1)求的面积；(2)求；(3)证明：对任意正整数m，均有.【答案】(1)(2)