高三数学高考必刷押题黄金五卷04

辽宁专用—2022年高考必刷押题黄金五卷04一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，，则（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】，，，故选D。2．已知是关于的方程（）的一个根，则（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】由是关于的方程（）的一个根，，即，得，解得，则，故选B。3．已知命题：关于的方程没有实数根，命题：函数在函数上单调递增，则是的（）。A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由没有实数根解得，由在函数上单调递增解得，则是的必要不充分条件，选B。4．《九章算术类比大全》是中国古代数学名著，其中许多数学问题是以诗歌的形式呈现的。某老师根据其中的“宝塔装灯”编写了一道数学题目：一座塔共有层，从第层起，每层悬挂的灯数都比前一层少盏，已知塔上总共悬挂盏灯，则第层悬挂的灯数为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】从第一层开始各层悬挂的灯数构成一个等差数列，其公差为，前项和，设第层的灯数为，则由等差数列前项和公式得，解得，∴，故选C。5．若实数、满足，函数的最大值为，则的最小值为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵实数、满足，∴，∴，解得，∴，∴，∵函数（为辅助角），∴，∵，∴的最小值为，故选A。6．第届世界博览会于年月日至月日，在中国上海举行，气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质．其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱．它有四根高米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是米，下底面边长是米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】依题意得“斗冠”的高为米，如图，，，为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，，而，，且在上单调递增，∵，∴，故选C。7．已知函数（，），其中表示不超过的最大整数，如，，。定义是函数的值域中的元素个数，数列的前项和为，数列对均成立，则最小正整数的值为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】由已知得，则，又，故，故（），，∴，故，故对均成立，即，则满足条件的最小正整数的值为，故选C。8．已知函数（）的图像与函数的图像关于直线对称，设定义在的函数的导函数满足，且，则当时，（）。A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值C、既无极大值，也无极小值D、既有极大值，也有极小值【答案】C【解析】，则（），，则，，，设，则，即，令，则，，则为的极小值也是最小值，则，∴，∴既无极小值，也无极大值，故选C。二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9．某大型电子商务平台每年都会举行“双”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从年到年共年“双”当天的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额看成以年份序号（年作为第年）的函数。运用软件，分别选择回归直线和三次多项式回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法错误的是（）。A、销售额与年份序号呈正相关关系B、根据三次多项式函数可以预测年“双”当天的销售额约为亿元C、销售额与年份序号线性相关不显著D、三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果【答案】BC【解析】对于A，散点从左下到右上分布，∴销售额与年份序号呈正相关关系，对，对于B，令，由三次多项式函数得，∴年“双”当天的销售额约为亿元，错，对于C，∵相关系数，非常接近，故销售额与年份序号线性相关显著，错，对于D，用三次多项式回归曲线拟合的相关指数，而回归直线拟合的相关指数，相关指数越大，拟合效果越好，对。故选BC。10．已知函数，下列说法正确的是（）。A、函数的图像的对称中心是B、函数在上是增函数C、函数是奇函数D、方程的解为【答案】ABD【解析】，选项A，设，，则，则函数为奇函数，∴的图像关于原点成中心对称，∴的图像关于成中心对称，对，选项B，由，则，∴函数在上是增函数，对，选项C，、，则，函数不是奇函数，错，选项D，由选项A有的图像关于成中心对称，即，由方程，则，即，对，故选ABD。11．在中，角、、所对的边分别为、、，下列四个命题中正确的是（）。A、若，则一定是锐角三角形B、若，则一定是等边三角形C、若，则一定是等腰三角形D、若，则一定是等腰三角形【答案】BD【解析】A选项，当、、时，，为钝角，错，B选项，∵，∴，且，∴，为等边三角形，对，C选项，或，∴不一定是等腰三角形，错，D选项，，∴，又，∴，∴为等腰三角形，对，故选BD。12．如图四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为矩形，，点是的中点，则下列结论正确的是（）。A、平面B、与平面所成角的余弦值为C、三棱锥的体积为D、四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD【解析】取的中点、的中点，连接、，∵三角形为等边三角形，∴，∵平面平面，∴平面，∵，∴、、两两垂直，∴如图，以为坐标原点，以、、所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系，则、、、、、，∵点是的中点，∴，平面的一个法向量为，，与不共线，∴与平面不垂直，∴A选项错，，，，设平面的法向量为，则，令，则、，∴，设与平面所成角为，则，∴，∴B选项对，三棱锥的体积为，∴C选项错，设四棱锥外接球的球心为，则，∴，解得，即为矩形对角线的交点，∴四棱锥外接球的半径为，设四棱锥外接球的内接正四面体的棱长为，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为，∴，得，∴正四面体的表面积为，∴D正确，故选BD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若与（）的展开式中的系数相等，则实数的值为。【答案】【解析】的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，∴，解得。14．在中，，，若与线段交于点，且满足，，则的最大值为。【答案】【解析】∵线段与线段交于点，设（），则，即，又∵、、三点共线，则，即，∵，∴当为中点时最小，此时最大，又，故此时，∴，即，即的最大值为。15．若数列的前项和与满足：当时，、、成等比数列，且，则。【答案】【解析】∵当时，、、成等比数列，∴，又∵当时，∴，则，∴，数列是以为首项，为公差的等差数列，∴，即，当时，经检验时不合符，则。16．若函数的图像关于直线对称，则的最大值为。【答案】【解析】∵函数的图像关于直线对称，∴，，即：，，解得，，∴，则，令，解得或，易知函数在处取得极大值，又，∴。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）某驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路，道路的平面图如图所示（单位：），已知曲线为函数（，，），的图像，且最高点为，折线段为固定线路，其中，，折线段为可变线路，但为保证驾驶安全，限定。（1）求、、的值；（2）若，试用表示折线段道路的长，并求折线段道路长度的最大值。【解析】（1）由已知，且有，即，由，得，2分又∵最高点为，∴，解得，∴；4分（2）∵点的横坐标为，代入函数解析式得，∴，5分在中，设，则，由正弦定理，有，∴，，7分∴，9分∴当且仅当时，折线段最长，最长为千米。10分18．（本小题满分12分）已知数列和都是等差数列，。（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：。【解析】（1）设等差数列的公差为，∵，∴，，1分则，，，2分又数列是等差数列，∴，3分化简得，解得，4分则；5分（2）由（1）可知，6分当时，，，符合，7分当时，，9分，11分综上，当时，。12分19．（本小题满分12分）如图所示，等腰梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）。（1）证明：；（2）若线段的长为，求二面角的余弦值。【解析】（1）在等腰梯形中，连接，交于点，如图所示，∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∴为等边三角形，2分∴在等腰梯形中，，，∴在等腰中，，∴，即，∴，4分翻折后可得：，，又∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴；5分（2）由（1）知，连接在中，由余弦定理可得，在中有，可知，又，平面，7分则以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，∴、、，∴、，8分设平面的一个法向量为，则，∴，设，则、，∴，10分由题意得平面的一个法向量，设二面角为，经观察为钝角，∴。12分20．（本小题满分12分）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测个零件的长度（单位：分米），按数据分成、、、、、这组，得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于分米的零件有个，其长度分别为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，以这个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率。（1）求这批零件的长度大于分米的频率，并求频率分布直方图中、、的值；（2）若从这批零件中随机选取个，记为抽取的零件长度在的个数，求的分布列和数学期望；（3）若变量满足且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布。如果这批零件的长度（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的将顺利被签收；否则，公司将拒绝签收。试问，该批零件能否被签收？【解析】（1）由题意可知件样本零件中长度大于分米的共有件，则这批零件的长度大于分米的频率为，1分记为零件的长度，则：，，，3分故，，；4分（2）由（1）可知从这批零件中随机选取件，长度在的概率，且随机变量服从二项分布，5分则，，，，7分故随机变量的分布列为：；8分（3）由题意可知、，9分则，，10分∵，，∴这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布，应认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收。12分21．（本小题满分12分）已知椭圆：（）的一个焦点与抛物线：的焦点重合，两条曲线在第一象限内的交点满足。（1）求椭圆以及抛物线的标准方程；（2）过椭圆另一焦点作直线（斜率存在但不为）与椭圆相交于、两点，在椭圆长轴上取一点，使得为定值，试求点的坐标及这个定值。【解析】（1）由已知，则，∴，设，则由抛物线定义有，即，2分∵点在抛物线上，∴，解得，，∴椭圆的标准方程是，抛物线的标准方程为；4分（2）由（1）可知点的坐标为