443不同函数增长的差异-2020-2021学年高一数学新教材学案（人教A版）

不同函数增长的差异【学习目标】课程标准学科素养1．尝试将实际问题转化为函数模型．2．了解指数函数、对数函数及一次函数等函数模型的增长差异．3．会根据函数的增长差异选择函数模型．1.数学建模2.数学运算3.直观想象【自主学习】1.函数模型一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.2.三种常见函数模型的增长差异指数函数对数函数一元一次函数解析式y＝ax(a>1)y＝logax___y＝kx(k>0)单调性在(0，＋∞)上单调____图象(随x的增大)逐渐与y轴平行逐渐与x轴平行直线逐渐上升增长速度(随x的增大)y的增长速度越来越____y的增长速度越来越____y值逐渐增加增长关系存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax思考：已知函数f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x.(1)函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？(2)函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？【小试牛刀】1．下列说法正确的个数是()(1)函数y＝eqlog\s\do8(\f(1,3))x的衰减速度越来越慢．(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(3)若a>1，n>0，对于任意x0∈R，一定有ax0>xeq\o\al(n,0).A．0 B．1C．2 D．32．甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点【经典例题】题型一函数模型的增长差异三种函数模型的增长规律：(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.例1四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是____.[跟踪训练]1(1)下列函数中，增长速度最慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6 D．y＝6x(2)有一组数据如下表：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A．v＝log2t C．v＝eq\f(t2－1,2) D．v＝2t－2题型二函数模型的选取不同函数模型的选取标准(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．年份201620172018产量(万)81830例2某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将2016,2017,2018,2019年定义为第一、二、三、四年，现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系？[跟踪训练]2某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？【当堂达标】1．下图反映的是下列哪类函数的增长趋势()A．一次函数 B．幂函数C．对数函数 D．指数函数2.下列函数中随x的增长而增长最快的是()A.y＝exB.y＝lnxC.y＝x10D.y＝2x3.能使不等式log2x<x2<2x一定成立的x的取值区间是()A.(0，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(4，＋∞)4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是()5.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________.(填序号)①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.6.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只.【参考答案】【自主学习】(a>1)递增快慢思考答案:(1)函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值增大(2)各函数增长的速度不同，其中f(x)＝2x增长得最快，其次是g(x)＝2x，最慢的是h(x)＝log2x【小试牛刀】1.C[解析]对于(1)，由函数y＝eqlog\s\do8(\f(1,3))x的图象可知其衰减速度越来越慢，正确；对于(2)，一次函数的图象是直线，因此其增长速度不变，正确；对于(3)，如23<32，错误．故选C．2.D【经典例题】例1y2[解析]以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．[跟踪训练]1（1）B[解析]对数函数的增长速度越来越慢．选B.(2)C[解析]从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越快，排除A和D，选C.例2解建立生产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30).(1)构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点的坐标代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝8，,4a＋2b＋c＝18，,9a＋3b＋c＝30，))解得a＝1，b＝7，c＝0，则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，将点的坐标代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝8，,ab2＋c＝18，,ab3＋c＝30，))解得a＝eq\f(125,3)，b＝eq\f(6,5)，c＝－42，则g(x)＝eq\f(125,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))x－42，故g(4)＝eq\f(125,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))4－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系.[跟踪训练]2[解]作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如下图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的