专题04充分条件与必要条件（2个知识点4种题型1种高考考法）

专题04充分条件与必要条件（2个知识点4种题型1种高考考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：充分条件与必要条件知识点2：从集合角度看充分、必要条件【方法二】实例探索法题型1：充分条件、必要条件、充要条件的判断题型2：充分、必要、充要条件的探究题型3：充要条件的证明题型4：应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围【方法三】仿真实战法考法：充分、必要条件的判定【方法四】成果评定法【学习目标】1.理解“充分条件、必要条件、充要条件”的概念，并熟练掌握判定方法。2.学习重点是对充分条件、必要条件和充要条件的意义的理解和辨析，判断“若p，则q”形式的命题的真假。【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：充分条件与必要条件1.符号与的含义“若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：.2.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【例1】判断下列每小问中，p是q的什么条件（直接写出结论即可）：（Ⅰ），；（Ⅱ）p：关于x的方程有两个不相等的实根，；（Ⅲ）p：四边形的对角线互相平分且长度相等，q：四边形是矩形；（Ⅳ）p：两个三角形的三个角分别对应相等，q：两个三角形全等；（Ⅴ）p：直线与圆有两个交点，q：直线上存在点到圆心的距离小于圆的半径．【答案】（Ⅰ）必要不充分条件；（Ⅱ）充分不必要条件；（Ⅲ）充要条件；（Ⅳ）必要不充分条件；（Ⅴ）充要条件．【详解】（Ⅰ），，故p是q的必要不充分条件；（Ⅱ）p：关于x的方程有两个不相等的实根，则，且，，p是q的充分不必要条件；（Ⅲ）p：四边形的对角线互相平分且长度相等即四边形是矩形，q：四边形是矩形，p是q的充要条件；（Ⅳ）p：两个三角形的相似，q：两个三角形全等；p是q的必要不充分条件；（Ⅴ）p：直线与圆有两个交点，即圆心到直线的距离小于圆的半径，q：直线上存在点到圆心的距离小于圆的半径，p是q的充要条件．知识点2：从集合角度看充分、必要条件充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．（1）若p是q的充分条件，则A⊆B；（2）若p是q的充分不必要条件，则；（3）若p是q的必要不充分条件，则；（4）若p是q的充要条件，则A＝B.（5）若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.【例2】已知条件和条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_________.【答案】【详解】因为条件和条件，若是的充分不必要条件，所以是的真子集，因此只需.故答案为：.【点睛】结论点睛：由命题的充分条件和必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．【方法二】实例探索法题型1：充分条件、必要条件、充要条件的判断1．（2023秋·吉林辽源·高一校联考期末）“”是“”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【详解】取满足，不满足，不充分；当时，一定成立，必要.故“”是“”的必要不充分条件.2．（2023秋·贵州黔东南·高一统考期末）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由一定可得出；反过来，方程的解是或.所以是的充分不必要条件.3．（2023秋·云南怒江·高一校考期末）“且”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】且能够推出，反之不能推出且，所以“且”是“”的充分不必要条件.4．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）设p：x>y，q：，则p是q成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不必要也不充分条件【答案】D【详解】先验证，若，显然满足，但不满足，所以不成立；再验证，若，显然满足，但不满足，所以不成立.故选：D.5.在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立，综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．6.“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，所以a＋b>4，ab>4⇏a>2，b>2，故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件．7.（多选）已知x∈R，y∈R，下列各结论中正确的是（

）A．“xy>0”是“”的充要条件 B．“x>y”是“”的充要条件C．“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件 D．“x+y=0”是“”的充分不必要条件【答案】AC【详解】因为与等价，故“xy>0”是“”的充要条件，A正确；因为，，推不出，故B错误；因为当，时推不出xy≠0，当时，能推出，所以“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件，C正确；由可得，当满足时，才可得，即推不出，反之，当时，可得，即，所以“x+y=0”是“”的必要不充分条件，故D不正确.故选：AC8.下列各小题中，是的什么条件？（在“充分非必要条件”，“必要非充分条件”，“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一种）(1):，:或；(2):，:或；（3）:，:关于的方程有实数根.【答案】(1)∵，∴，即:，又∴且，所以是的充分不必要条件.(2)∵，∴或，即:或，又∴且，即所以是的充分必要条件.（3）∵关于的方程有实数根，∴即，∴:，又∴且，故是的必要不充分条件.题型2：充分、必要、充要条件的探究9．（多选）（2021·山东临沂·高一期中）下列选项中，是的充要条件的是（

）A．：，：，B．：，：C．：三角形是等腰三角形，：三角形存在两角相等D．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直平分【答案】BC【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于A：由，得，或，，故不是的充要条件，故A错误；对于B：由，则，若则，故是的充要条件，故B正确；对于C：三角形是等腰三角形三角形存在两角相等，故是的充要条件，故C正确；对于D：四边形的对角线互相垂直且平分四边形为菱形，故不是的充要条件，故D错误；10．（多选）（2023·全国·高一专题练习）若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】因为方程至多有一个实数根，所以方程的判别式，即：，解得，利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C.11．（2021·全国·高一课时练习）k>4，b<5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的________条件．【答案】充要【详解】∵k>4时，k－4>0，b<5时，b－5<0，∴直线y＝(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴；y＝(k－4)x＋(b－5)与y轴交于(0，b－5)与x轴交于，由交y轴于负半轴，交x轴于正半轴可知，故k>4，b<5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的充要条件，12．（2021·江苏·高一单元测试）在下列命题中，试判断是的什么条件.（1），，则是______条件；（2），，则是______条件；（3）四边形的对角线相等，四边形是平行四边形.则是______条件.【答案】

充要

充分不必要

既不充分也不必要【详解】解:（1）因为“”是真命题，“”也是真命题，所以是的充要条件；（2）因为“”是真命题，“”是假命题，如，，满足，但是；所以是的充分不必要条件；（3）因为“四边形的对角线相等四边形是平行四边形”是假命题，“四边形是平行四边形四边形的对角线相等”也是假命题，所以是的既不充分也不必要条件.题型3：充要条件的证明13．（2021秋·高一课时练习）已知x，y∈R，求证:xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.【详解】必要性：对于x，y∈R，若x2+y2=0，则x=0，y=0，即xy=0，故xy=0是x2+y2=0的必要条件.充分性：对于x，y∈R，若xy=0，例如x=0，y=1，但x2+y2≠0，充分性不成立，故xy=0不是x2+y2=0的充分条件.综上所述，对于x，y∈R，xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.14．（2021·江苏·高一课时练习）求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0.【详解】证明①充分性：因为q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0的Δ＝p2－4q＞0，故方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实数根．设方程的两根为x1，x2.因为x1·x2＝q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根．②必要性：因为方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根，设两根为x1，x2，所以x1·x2＜0.因为x1·x2＝q，所以q＜0.由①②，命题得证．15.已知a,b,c都是实数，证明ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】（1）充分性:若ac<0，则Δ=b24ac>0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1,x2,∵ac<0,∴x1·x2=<0，即x1,x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x1,x2,且x1>0,x2<0，则x1·x2=<0，∴ac<0综上可得ac<0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.16．求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【答案】（1）a=0时适合.（2）当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则必须满足；若方程有两个负的实根，则必须满足综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤117.证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：当时，，所以方程有两个不相等的实根，设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，故充分性成立，必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：设方程一正一负根分别为，，则，所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，故必要性成立，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.18.已知a≥1，y=a2x22ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.【详解】证明：因为函数y=a2x22ax+b的图像的对称轴方程为x=，所以a≥1，且0<≤1，故当x=时，函数有最小值y=a2·2a·+b=b1.先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≥1，即b1≥1，所以b≥2.再证充分性：因为b≥2，当x=时，函数有最小值y=a2·2a·+b=b1≥1，所以对于任意，y=a2x22ax+b≥1，即y≥1成立的充要条件是b≥2.19.设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.【详解】充分性：，，代入方程得，即．关于的方程有一个根为；必要性：方程有一个根为，满足方程，，即．故关于的方程有一个根是的充要条件为．20.求证：方程与有一个公共实数根的充要条件是.【详解】必要性：若方程与有一个公共实数根，设为，则两式相减得：或若，两个方程均为无解，故，代入可得.充分性：当时，，解得；，解得；两个方程有公共根为1.综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是.题型4：应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围21．（2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）已知，，是的必要不充分条件，则实数的取值范围为___________.【答案】【详解】因为，，因为是的必要不充分条件，所以.所以实数的取值范围为.22.已知命题p：1－c<x<1＋c(c>0)，命题q：x>7或x<－1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是________．【答案】0<c≤2【解析】命题p对应的集合A＝{x|1－c<x<1＋c，c>0}，同理，命题q对应的集合B＝{x|x>7或x<－1}．因为p是q的既不充分又不必要条件，所以或A不是B的子集且B不是A的子集，所以，①或，②，解①得c≤2，解②得c≥－2，又c>0，综上所述得0<c≤2.23.已知，，若α是β充分条件，则m的取值范围是________.【答案】，【分析】根据集合的包含关系得到关于的不等式，解出即可．【详解】解：，，若是充分条件，则，，，故，解得：，则的取值范围是，，故答案为：，．24.已知条件，，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围为_________．【答案】【分析】根据集合的包含关系得到关于的不等式组解出即可．【详解】∴，∴，解得，故答案为：．25．（2022秋·高一校考课时练习）已知集合，，.(1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以.因为是的充分条件，所以，解得，.（2）因为，，所以，解得.故a的取值范围为.26．（2021秋·高一课时练习）已知或，为非空集合)，记，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】【详解】由题意知，或，为非空集合)，因为是的必要不充分条件，所以是的非空真子集，可得或，解得或，所以实数的取值范围是.27．（2021秋·湖南邵阳·高一武冈市第二中学校考阶段练习）已知集合，集合．(1)若，求实数的取值范围；(2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，得①若，即时，，符合题意；②若，即时，需或，解得．综上，实数的取值范围为．（2）由已知是的真子集，知两个端不同时取等号，解得．由实数的取值范围为．28．（2023·全国·高一专题练习）设，已知集合，．(1)当时，求实数的范围；(2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题可得，则；（2）由题可得是的真子集，当，则；当，，则（等号不同时成立），解得综上：.29．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知条件：，条件：，且q是p的充分不必要条件，求m的值.【答案】或或【详解】设，若q是p的充分不必要条件，则：当时，则，解得；当时，则，解得；当，则；综上所述：或或.【方法三】仿真实战法30．（2023•北京）若xy≠0，则“x+y＝0”是“+＝﹣2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：由xy≠0，x+y＝0，∴y＝﹣x≠0，∴+＝﹣2，反之，若xy≠0，+＝﹣2，令＝t，则＝，于是t+＝﹣2，化为t2+2t+1＝0，解得t＝﹣1，即＝﹣1，∴xy≠0，则“x+y＝0”是“+＝﹣2”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了充要条件的判定方法、换元法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．31．（2023•天津）“a2＝b2”是“a2+b2＝2ab”的（）A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：a2＝b2，即（a+b）（a﹣b）＝0，解得a＝﹣b或a＝b，a2+b2＝2ab，即（a﹣b）2＝0，解得a＝b，故“a2＝b2”不能推出“a2+b2＝2ab”，充分性不成立，“a2+b2＝2ab”能推出“a2＝b2”，必要性成立，故“a2＝b2”是“a2+b2＝2ab”的必要不充分条件．故选：B．32．（2022•天津）“x为整数”是“2x+1为整数”的（）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【解答】解：x为整数时，2x+1也是整数，充分性成立；2x+1为整数时，x不一定是整数，如x＝时，所以必要性不成立，是充分不必要条件．故选：A．【方法四】成功评定法一、单选题1．函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是（

）A．m=2 B．m=1C．m=1 D．m=0【答案】A【分析】根据二次函数的对称轴的求法，利用充要条件的定义判断即可.【详解】当m=2时，f(x)=x22x+1，其图象关于直线x=1对称，反之，若函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则，即.所以f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=2.故选：A.2．除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉.“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的（

）.A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据题意可直接得到答案.【详解】由题意可得，“获取胜利”是“收兵”的必要条件故选：B【点睛】本题考查的是充分条件和必要条件的判断，较简单.3．已知命题，命题，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】直接利用充分不必要条件的定义判断得解.【详解】因为命题，命题，所以当命题成立时，命题一定成立；当命题成立时，命题不一定成立.所以是的充分不必要条件.故选：A4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的概念结合集合间的关系可得结果.【详解】a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B，即充分性成立；当A⊆B时，a＝2或3，即必要性不成立；故选：A.5．已知A，B是非空集合，命题p：，命题q：AB，则p是q的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件【答案】D【分析】因为，得AB或A＝B，所以根据充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】解：因为，可得AB或A＝B；反之，由AB，可得，所以p是q的必要不充分条件，故选：D.6．（2022秋·甘肃武威·高一校考期中）已知“若p，则q”为假命题，“若q，则p”为真命题，则p是q的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由充分条件和必要条件的定义判断.【详解】“若p，则q”为假命题，则；“若q，则p”为真命题，则，由充分条件和必要条件的定义可知，p是q的必要不充分条件.故选：B7．（2022秋·云南·高一统考期末）已知、，且，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【答案】C【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】取，，则，但，即“”“”；取，，则，但，即“”“”.所以，“”是“”成立的既不充分也不必要条件，C对.故选：C.8．（2023春·湖北黄冈·高一校联考期中）若集合，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由，可得，解得，即可判断出结论．【详解】由，可得，解得，因为，所以是“”的充分不必要条件.故选：A．二、多选题9．下列式子中，能使成立的充分条件有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】根据不等式性质，逐个判断即可得解.【详解】对A，因为，所以，故A正确，对B，，根据不等式的性质可得：，故B正确对C，由于，所以，故C错误，对D，由于，根据不等式的性质可得：，根D正确，故选：ABD.【点睛】本题考查了充分条件的判断，考查了不等式的性质，属于基础题.10．的充分不必要条件是（

）A． B． C． D．且【答案】BC【解析】解方程，利用充分不必要条件的定义可得出结论.【详解】解方程，解得，所以，是的充分不必要条件，也是的充分不必要条件.故选：BC.11．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】先根据方程根的分布得到判别式和两根之积的关系式，解出等价条件，再利用真子集是其充分不必要条件即得结果.【详解】若方程有一个正根和一个负根，则，解得，则一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件应为的真子集，故BC正确，AD错误.故选：BC.12．有以下说法，其中正确的为（

）A．“是有理数”是“是实数“的充分条件B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的必要条件D．“”是“”的充分条件【答案】ACD【分析】对根据有理数与实数的关系即可判断出结论；对根据元素与集合的关系即可判断出结论；对通过解方程，即可判断出结论；对通过解不等式““，即可判断出结论．【详解】．是有理数是实数，因此“是有理数”是“是实数“的充分条件，正确．．，反之不成立，因此”是“”的充分不必要条件，不正确．．由，”因此：””是“”的必要条件，正确；．“”或，“”是“”的充分条件，因此正确．故选：．【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属简单题.三、双空题13．（2022·高一课时练习）若集合，，其中为实数．（1）若是的充要条件，则；（2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：；（答案不唯一，写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】（1）分析可得，可知是方程的解，即可解得的值；（2）根据不等式对任意的恒成立，求出实数的取值范围，结合是的充分不必要条件可得出实数的取值范围.【详解】（1）由已知可得，则是方程的解，且有，解得；（2）若不等式对任意的恒成立，则对任意的恒成立，当时，，则，因为是的充分不必要条件，故的取值范围可以是（答案不唯一）.故答案为：（1）；（2）（答案不唯一）.【点睛】结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含四、填空题14．（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习）设计如图甲所示的电路图，条件A：“开关闭合”；条件B：“灯泡L亮”，A是B的条件．【答案】充分不必要【分析】判断开关闭合与灯L亮之间的关系，即可判断A是B的充分不必要条件，可得答案.【详解】对于图甲，开关闭合灯就会亮，而灯泡L亮时，不一定是闭合，也可能是开关闭合，所以A是B的充分不必要条件,故答案为：充分不必要15．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的条件.【答案】必要不充分【分析】根据三角形相似与全等的概念，结合充分、必要条件的概念判断得到结论.【详解】当两个三角形全等时，这两个三角形相似，但两三角形相似时不一定全等，即，，所以p是q的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.16．已知，.“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由“”是“”的必要条件，得到，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，集合，，因为“”是“”的必要条件，可得，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了必要条件的应用，以及利用集合的包含关系求参数，其中解答中把题设条件转化为两集合的包含关系，列出不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.17．函数的图像关于直线对称的充要条件是；【答案】m=2【详解】由于二次函数的对称轴方程为,所以函数的图像关于直线对称的充要条件.五、解答题18．（2021秋·高一课时练习）已知，设二次函数，其中a，c均为实数.证明:对于任意，均有成立的充要条件是.【答案】证明见解析【分析】根据充要条件定义证明即可.【详解】因为，所以函数图像的对称轴方程为直线，且，所以.先证充分性:因为，且，所以.再证必要性:因为，所以只需即可.即，从而.综上可知，对于任意，均有成立的充要条件是.19．（2021秋·浙江台州·高一台州市书生中学校考阶段练习）已知集合（1）集合能否相等？若能，求出实数的值；若不能，试说出理由．（2）若命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）a=2；（2）或.【解析】（1）集合相等，转化为元素间的相等关系求解（2）依题意可得，转化为集合的关系求解．【详解】解：（1）当时，，，解得，当时，，显然，故时，，（2）命题，命题且是的充分不必要条件，，，，当时，，，则或，解得，当时，，，