专题1-2空间向量求距离与角度13种题型归类（原卷版）

专题1.2空间向量：求距离与角度13种题型归类一、热考题型归纳【题型一】求平面法向量【题型二】点到面的距离(向量法)【题型三】点到直线的距离(向量法)【题型四】两平面之间的距离(向量法)【题型五】异面直线之间的距离(向量法)【题型六】异面直线的夹角【题型七】直线与平面所成的角【题型八】二面角【题型九】线线角应用【题型十】线面角应用【题型十一】面面角应用【题型十二】斜棱柱型建系计算【题型十三】空间向量求体积二、培优练热点考题归纳【题型一】平面法向量【典例分析】1.（2023·全国·高二专题练习）如图，在正三棱锥DABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线段DO上，且，若平面PBC，则实数（

）A． B． C． D．2.（（2023·全国·高二专题练习）已知，则平面的一个单位法向量是（

）A． B．C． D．【提分秘籍】求平面法向量的方法与步骤(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；(3)联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．【变式演练】1.（2023·全国·高二专题练习）已知，则下列向量是平面法向量的是（）A． B．C． D．2.（2023·全国·高二专题练习）已知，则平面ABC的一个单位法向量是（

）A． B．C． D．3.（2021秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）已知，则平面的一个单位法向量是（

）A． B．C． D．【题型二】点到面的距离（向量法）【典例分析】1.（2023秋·全国·高二随堂练习）在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是（

）A． B． C． D．2.（2023·全国·高二专题练习）在单位正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【提分秘籍】对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.【变式演练】1.（2023·全国·高二专题练习）空间直角坐标系中，，，，点在平面内，且平面，则（

）A． B． C． D．2.（2023·全国·高二专题练习）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（

）

A． B． C． D．3.（2023·全国·高二专题练习）已知正方体的棱长为2，、分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（

）

A． B． C． D．【题型三】点到直线的距离（向量法）【典例分析】1.．（2023秋·高二课时练习）已知三棱锥，，且，则点到直线的距离为（

）A． B．C． D．32.（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线的方程为，空间一点，则点到直线的距离为（

）A． B．1 C． D．【变式演练】1.（2023春·广东茂名·高三校考阶段练习）菱形的边长为4，，E为AB的中点（如图1），将沿直线DE翻折至处（如图2），连接，，若四棱锥的体积为，点F为的中点，则F到直线BC的距离为（

）

A． B． C． D．2.（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知点，则点到直线的距离是（

）A． B． C． D．53.（2023·全国·高二专题练习）在棱长为2的正方体中，点E为棱的中点，则点到直线BE的距离为（

）A．3 B． C． D．【题型四】两平面之间距离（向量法）【典例分析】1.（2023·全国·高二专题练习）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（

）A． B． C． D．2.（2023·全国·高二专题练习）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（

）A． B．1 C． D．【提分秘籍】两平面之间的距离,可以转化为一个平面上一点到另外一个面的距离.【变式演练】1.（2023·全国·高二假期作业）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（

）A． B． C． D．2.（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为A． B．C． D．3.（2023·江苏·高二专题练习）已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为．【题型五】异面直线之间距离（向量法）【典例分析】1.（2022秋·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）如图，在正四棱锥中，PA＝AB＝1，点Q，R分别在棱AB，PC上运动，当QR取得最小值时，三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．2.（2022·高二单元测试）如图，正方体中，M，N分别是线段上的动点（不含端点），则下列各项中会随着M，N的运动而变化的是（

）

A．异面直线与直线所成的角的大小 B．平面与平面所成的角的大小C．直线到平面距离的大小 D．异面直线，之间的距离的大小【变式演练】1.（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）在平行四边形中，，，，分别为直线上的动点，记两点之间的最小距离为，将沿折叠，直到三棱锥的体积最大时，不再继续折叠.在折叠过程中，的最小值为.2.（2023·全国·高二假期作业）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为．3.（2023·全国·高三专题练习）如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，N是棱AD的中点，M是棱CC1上的点，且CC1=3CM，则直线BM与B1N之间的距离为.【题型六】异面直线的夹角【典例分析】1.（2022·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知直平行六面体中，，，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．02.（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，若三棱锥的体积等于时，异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【提分秘籍】求异面直线夹角的方法(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．(2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))可分别为a，b的方向向量，则cosθ＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|).【变式演练】1.（2022·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知直平行六面体中，，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．02.（2021春·广西桂林·高二桂林中学校考期中）已知正四棱柱中，，为的中点，则异面直线与所形成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3.（2022秋·安徽安庆·高二校考阶段练习）在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【题型七】直线与平面的夹角【典例分析】1.（2023春·广东东莞·高二校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面底面，平面底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（

）

A． B．C． D．2.（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，在棱锥中，，，两两垂直，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（

）

A． B． C． D．【提分秘籍】利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)求直线的方向向量u.(3)求平面的法向量n.(4)设线面角为θ，则sinθ＝eq\f(|u·n|,|u||n|).【变式演练】1.（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（

）．A． B． C． D．2.（2023春·江苏镇江·高一统考阶段练习）在长方体中，已知，，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3.（2023春·湖南·高一校联考期末）在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为（

）A． B． C． D．【题型八】面与面所成的角【典例分析】1.（2023秋·浙江嘉兴·高二浙江省海盐高级中学校考开学考试）在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，且AB＝3，AD＝4，PA＝，则锐二面角的大小为（

）A．30° B．45°C．60° D．75°2.（2023秋·高二课时练习）如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（

）A．－ B．C．－ D．【提分秘籍】求两平面夹角的两种方法:(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当〈n1，n2〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时))或π－〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当〈n1，n2〉∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时.))如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则==【变式演练】1.（2023秋·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，则平面与平面所成的角为（）

A． B． C． D．2.（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）如图，在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（

）

A． B． C． D．3.（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）在三棱锥中，平面平面是的中点.，则二面角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【题型九】线线角应用【典例分析】1.（2018秋·上海·高二曹杨二中校考期末）在正方体中，点（异于点）是棱上一点，则满足与，所成的角为45°的点的个数为A．0 B．3 C．4 D．62.（2023·全国·高二假期作业）如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，是线段的中点，是线段上一点（不与两点重合），且．若直线与所成角的余弦值是，则（

）A． B． C． D．【提分秘籍】求异面直线所成的角若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有=.【变式演练】1.（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，线段AB，SC的中点分别为E，F，若异面直线EC与BF所成角的余弦值为，则（

）A． B．4 C．2 D．32.（2022秋·全国·高二专题练习）已知正方体的棱长为，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则（

）A． B． C．3 D．3.（2022秋·广东江门·高二开平市第一中学校考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成30°的角，则线段长的取值范围是（

）A． B． C． D．【题型十】线面角应用【典例分析】1.（2021·高二单元测试）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线和分别在上底面A1B1C1D1和下底面ABCD上运动，且，若与所成角为60°时，则与侧面ADD1A1所成角的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°2.（2020·浙江·校联考模拟预测）如图1，直角梯形中，，，，是的中点，是的中点，沿直线把翻折，连接，如图2，设，若异面直线与所成的角是，则（

）A． B． C． D．【提分秘籍】求直线和平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有=.【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面圆心为，顶点为，侧面展开图对应扇形的圆心角为，，是底面圆周上的两点，与平面所成角的正弦值为，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2.（2023·全国·高二专题练习）已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（

）A． B． C． D．3.（2023春·江苏连云港·高二校考期中）如图所示空间直角坐标系中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线和底面所成角为，则P点坐标满足（

）【题型十一】面面角应用【典例分析】1.（2021·高二课时练习）在正四棱锥中，，分别为，的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线与所成角的余弦值为（

）.A． B． C． D．2.（2022春·湖北武汉·高二校联考期末）设点是棱长为的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是A． B． C． D．【提分秘籍】平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角=.【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）在正三棱柱中，，点D为棱的中点，点E为上的点，且满足，当二面角的正切值为时，实数m的值为（

）A． B．1 C．2 D．32.（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校考阶段练习）在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，当平面与平面所成（锐）二面角的余弦值为时，经过三点的截面的面积为（

）A． B． C． D．3.（2020秋·河南郑州·高二统考期末）如图四边形中，，，现将沿折起，当二面角的大小为时，直线与所成角的余弦值是A． B． C． D．【题型十二】斜棱柱型建系计算【典例分析】1.（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，P，Q分别是异面直线上的动点，则P，Q两点间距离的最小值是（

）A． B．2 C． D．2.（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，直线与直线所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【提分秘籍】斜棱柱建系,主要从以下几方面来入手:是否有”立杆”(线面垂直)是否有面面垂直,通过垂面来构造线面垂直.底面是否有互相垂直的直线.【变式演练】1.（2023春·四川成都·高二校考期中）在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2.（2023·全国·高二专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（

）

A． B． C． D．【题型十三】空间向量求体积【典例分析】1.（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是等腰直角三角形，平面平面，当棱上一动点到直线的距离最小时，过作截面交于点，则四棱锥的体积是（

）A． B． C． D．2.（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）在直四棱柱中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱，M为侧棱的中点，N在侧面矩形内(异于点)，则三棱锥体积的最大值为.【变式演练】1.（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）在正四棱锥中，底面边长为，侧棱，为的中点，为直线上一点，且与、不重合，若异面直线与所成角为，则三棱锥的体积为．2.（2021春·全国·高二专题练习）四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点，且二面角的平面角大小为，若动点的轨迹将分成面积为的两部分，则.一、单选题1．（2023春·广东深圳·高二校考期中）若平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为（

）A．1 B． C． D．2．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（

）

A． B． C． D．3．（2021秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期中）已知，为坐标原点，求与的夹角（

）A．0 B． C． D．4．（2021秋·北京·高二北京市第十三中学校考期中）两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为，，，则（

）A．平面平面ABC B．平面平面ABCC．平面α、平面ABC相交但不垂直 D．以上均有可能5．（2022秋·安徽马鞍山·高二校联考期中）二面角的棱上有A、B两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，AC=3，，，则该二面角的大小为（

）．A． B． C． D．6．（2023春·江苏常州·高二统考期中）如图，长方体中，，P为线段上的动点，则以下结论中不正确的是（

）

A．当时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为B．当时，若平面的法向量记为，则C．当时，二面角的余弦值为D．若，则7．（2023春·湖南郴州·高二期中）在三棱锥中，面ABC，，，且，若G为△PAB的重心，则CG与平面ABC所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．8．（2023春·福建泉州·高二校联考期中）如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（）A． B． C． D．二、多选题9．（2022秋·海南