专题04三角恒等变换（难点）

专题04三角恒等变换（难点）一、单选题1．已知，则的值为（

）A． B．0 C．2 D．0或2【答案】D【分析】由，通过二倍角公式，得到或原式化简为再分别求解.【解析】因为所以所以解得或当时当时故选：D【点睛】本题主要考查了二倍角公式及其应用，不觉考查了变形运算求解的能力，属于中档题.2．，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】根据题意代换化简分子，利用半角公式化简即可求解.【解析】由题：.故选：B【点睛】此题考查三角恒等变换，对基本公式考查比较全面，涉及半角公式化简，考查综合能力.3．若且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简，得，得，将变形后分子、分母同除以，转化为关于的式子，利用基本不等式求得，即可得解．【解析】由，得，得，则，因为，因为，所以，故，当且仅当，即时，等号成立，故，所以，所以的最小值是，故选：B4．已知锐角满足，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】计算出，再将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【解析】，，、均为锐角，则，，，当且仅当时，即当时，故，时等号成立.因此，的最小值为.故选：C5．已知函数，则下列说法正确的是（

）．A．函数的图象关于直线对称B．函数的最小正周期为C．点是函数的图象的一个对称中心D．函数在区间上单调递增【答案】B【分析】写出分段形式，A特殊值法判断是否成立；B利用，结合诱导公式得周期，即可判断；C判断是否恒成立即可；D利用正弦型函数的单调性判断.【解析】且，A：，故图象不关于对称，错误；B：要使成立，则，k为整数，所以，当时最小正周期为，正确；C：不一定等于0，故不是对称中心，错误；D：由对应解析式为，则，即单调递减，错误；故选：B6．已知直线是函数图象的一条对称轴，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在上的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简，由对称轴可求得，通过平移变换可求得，最后根据三角函数的性质求值域即可.【解析】，因为是函数图像的一条对称轴，所以，即，又因为，所以，所以.将函数的图象向右平移个单位后得到.因为，则，当，即时，取最小值；当，即时，取最大值2，则在上的值域为.故选：A.7．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先将已知等式化简得到，再利用角的关系求解即可.【解析】，因为所以，所以故选：B8．若，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期是B．的对称轴方程为（）C．存在实数，使得对任意的，都存在、且，满足（，2）D．若函数，（是实常数），有奇数个零点，，…，，（），则【答案】B【分析】A选项，平方后利用辅助角公式化简得到，得到为函数的周期，A错误；利用整体法求解函数的对称轴方程，B正确；首先求出，，画出上的的函数图象，问题等价于有两个解，数形结合得到，无解，C错误；D选项，的根转化为与交点横坐标，画出图象，结合对称性求解.【解析】，.，.对于A，，为的周期，A错误；对于B，的对称轴方程为.（）.即（）.B正确.对于C，对，有，∵在上单调递增，，（，2），等价于有两个解，当时，，显然无解，不妨设，画出在的的图象，如图所示：.或.无解.故C错误；对于D，的根为与交点横坐标.有奇数个交点，，且，，，，，，，，，D错误.故选：B.【点睛】较为复杂的函数零点问题，通常转化为两函数的交点问题，数形结合进行求解.二、多选题9．如图，已知两点在单位圆O上，且都在第一象限，点是线段的中点，点是射线与单位圆O的交点，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断A；由中点坐标公式及三角函数定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；利用特值法可判断D.【解析】A项：，故A正确；B项：，故B正确；C项：，故C错误；D项：取，则，此时，故D错误．故选：AB.10．关于函数，下列结论正确的是（

）A．函数的最大值是2B．函数在单调递减C．函数的图像可以由函数的图像向右平移个单位得到D．若方程在区间有两个实根，则【答案】CD【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据函数解析式研究选项中相关的函数性质.【解析】.对于A：函数的最大值是3，A选项错误；对于B：时，，是正弦函数的递增区间，故B选项错误；对于C：函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，即函数的图像，C选项正确；对于D：由，解得，在上单调递增；由，解得，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减，，，，所以方程在区间有两个实根，，D选项正确.故选：CD11．已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．在上单调递增D．在上的零点个数是4041【答案】BCD【分析】作出函数的图象，可判断AD，求出即可判断B，结合分段函数和三角函数的性质可判断C【解析】当时，，此时，，又时，，时，，所以，当时，，此时，，又时，，时，，所以，所以，结合图象可知的最小正周期为，故A错误；对于B，，，，∴其图象关于直线对称，则B正确．当时，．因为，所以，则在上单调递增，故C正确．在上的零点个数即为的交点个数，因为，，且是偶函数，的最小正周期为，由图象可得当时，有4个交点，所以当时，有4个零点，所以时，有个零点，所以在上的零点个数是，故D正确．故选：BCD【点睛】关键点点睛：这道题关键在于两个绝对值的处理，去掉绝对值需要对内部的正负进行讨论，得到对应的分段函数，然后画出图象即可判断每个选项12．设函数，给出的下列结论中正确的是（

）A．当，时，为偶函数B．当，时，在区间上是单调函数C．当，时，在区间上恰有个零点D．当，时，设在区间上的最大值为，最小值为，则的最大值为【答案】ACD【分析】利用余弦型函数的奇偶性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；在时解方程，可判断C选项；对实数的取值进行分类讨论，求出的取值范围，可判断D选项.【解析】对于A选项，当，时，为偶函数，A对；对于B选项，当，时，，当时，，此时函数在区间上不单调，B错；对于C选项，当，时，，当时，，由可得，解得，此时在区间上恰有个零点，C对；对于D选项，当，时，，因为，则，①若，即当时，函数在区间上单调递增，则；②若时，即当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，，因为，则，，所以，；③若，即当时，函数在区间上单调递减，则；④若时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，，因为，则，，所以，.综上所述，，D对.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数基本性质的综合，难点在于判断D选项，要注意对实数的取值进行分类讨论确定函数在区间上的单调性，求得、的值或表达式，结合三角函数的有界性来求解.三、填空题13．已知函数，下列关于函数的说法正确的序号有________.①函数在上单调递增；②是函数的周期；③函数的值域为；④函数在内有4个零点.【答案】①③④【分析】①化简解析式，求出范围，根据正弦函数的单调性即可判断；②根据奇偶性举特例验证f(x＋2π)与f(x)关系即可；③分类讨论求出f(x)解析式，研究在x≥0时的周期性，再求出值域即可；④根据值域和单调性讨论即可.【解析】∵函数，定义域为R，，∴为偶函数.当时，，，，此时正弦函数为增函数，故①正确；∵，∴，而，∴不是函数的周期，故②错误；当或，k∈Z时，，此时，当，k∈Z时，，此时，故时，是函数的一个周期，故考虑时，函数的值域，当时，，，此时单调递增，当时，，，此时单调递减，；当时，，，此时，综上可知，，故③正确；由③知，时，，且函数单调递增，故存在一个零点，当时，，且函数单调递减，故存在一个零点，其他区域无零点，故当时，函数有2个零点，∵函数为偶函数，∴函数在内有4个零点.故④正确；故答案为：①③④.14．已知当时，函数（且）取得最大值，则时，的值为__________．【答案】3【分析】先将函数的解析式利用降幂公式化为，再利用辅助角公式化为，其中，由题意可知与的关系，结合诱导公式以及求出的值．【解析】

，其中，当时，函数取得最大值，则，，所以，，解得，故答案为．【点睛】本题考查三角函数最值，解题时首先应该利用降幂公式、和差角公式进行化简，再利用辅助角公式化简为的形式，本题中用到了与之间的关系，结合诱导公式进行求解，考查计算能力，属于中等题．15．已知是关于的方程的两个根，则________.【答案】【分析】将原式化简为，根据韦达定理得到计算出，代入式子得到答案.【解析】原式.由一元二次方程根与系数的关系得根据同角三角函数基本关系式可得，即.解得，又因为，所以，所以.故答案为【点睛】本题考查了韦达定理，三角恒等变换，同角三角函数基本关系，综合性大，技巧性强，需要同学们灵活运用各个公式和方法.16．已知函数，若对任意实数，恒有，则____．【答案】【分析】对进行化简得到，根据正弦函数和二次函数的单调性得到，进而确定，，，利用两角差的余弦公式得到．【解析】对任意实数，恒有则即，【点睛】本题的关键在于“变角”将变为结合诱导公式，从而变成正弦的二倍角公式．四、解答题17．求解下列问题：(1)求证：；(2)已知，求.【答案】(1)证明详见解析(2)【分析】（1）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式进行证明；（2）利用（1）以及二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得.【解析】（1）证明：，.（2），则，由，解得，所以，因为，由（1）得，所以.18．化简：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出的范围，再利用二倍角公式和同角三角函数间的关系化简计算即可，（2）利用半角公式，诱导公式和二倍角公式化简即可.（1）因为，所以，所以原式.（2）因为，所以.又因为，且，所以原式，因为，所以，所以.所以原式.19．已知，且满足(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由平方关系以及商数关系得出，再由求解即可；（2）解方程得出，再由以及得出的值．【解析】（1）当时，，不满足，故.因为，所以.即，即解得或（舍）故（2），解得或（舍）.由（1）可知，，则，同理可得即，因为函数在上为单调函数，所以20．已知函数的一个零点为．(1)求A的值和函数的最小正周期；(2)当时，若恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用即可求得，然后对函数进行化简即可；（2）利用求得，然后根据可得即可求解【解析】（1）因为函数的一个零点为，所以，解得，所以，所以函数的最小正周期（2）因为，所以，所以，所以，因为恒成立，所以，则，所以21．已知函数(1)化简的表达式.(2)若的最小正周期为，求的单调区间(3)将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称.若对于任意的实数a，函数与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.【答案】(1)(2)在上单调递增，在上单调递减(3)【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数；（2）根据最小正周期公式求，再采用代入的方法求函数的单调区间；（3）首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求的取值范围.【解析】（1）依题意，（2）由（1）知，，解得，则，当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，由得：，由得：，所以在上单调递增，上单调递减;（3）由（2）及已知，，因图像关于对称，则，解得:,又，即有，，于是.由得：，，而函数的周期，依题意，对于在上均有不少于6个且不多于10个根，则有,即，解得：，所以正实数λ的取值范围是.22．如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于两点，角的终边与单位圆交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为、、．(1)如果，，求的值；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据三角函数定义得到，，进而利用同角三角函数关系得和余弦差角公式求出答案；（2）表达出，，利用三角函数有界性进行适当放缩，证明出，再利用适当放缩证明出，从而证明出结论.【解析】（1）由题意得：，，由于、均为锐角，所以，，所以．（2），，所以，，所以，同理，所以线段．23．已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)常数＞0，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；(3)将函数的图象向左平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再保持图象上点的横坐标不变，纵坐标变为原来