第2讲直线的方程(核心考点讲与练)-2021-2022学年高二数学考试满分全（2020选修第一册）原卷版

第2讲直线的方程(核心考点讲与练)1.直线的点斜式方程：；2.直线的斜截式方程：；3.直线的两点式方程：；4.直线的一般式方程：.5.直线的点法向式方程：；考点一：直线的点斜式方程直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角.可见，直线的倾斜角的取值范围是.直线的斜率：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即.所以，倾斜角是的直线没有斜率；倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是.直线的点斜式方程：直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：例1．（2022·上海·高三专题练习）过点且与原点距离最大的直线方程是（）A． B．C． D．例2．（2021·上海·高二专题练习）已知三角形的三个顶点是，则边上的高所在的直线方程为__________．例3．（2020·上海市建平中学高二期中）与直线夹角为，且过点的直线的方程为________例4．（2020·上海·格致中学高二期中）过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________.例5．（2020·上海师大附中高二期中）已知直线l经过点，且和直线的夹角等于，则直线l的方程是_________．例6．（2020·上海市金山中学高二期中）矩形的两条对角线相交于点边所在直线的方程为，点在边所在的直线上．（1）求边所在直线的方程；（2）若直线平分矩形的面积，求出原点与距离的最小值．例7．（2022·上海·高三专题练习）如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内．（1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？（2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．例8．（2021·上海·高二专题练习）在平面直角坐标系中，已知射线：，：．过点作直线分别交射线于点A，B．（1）当的中点在直线上时，求直线的方程；（2）当的面积取最小值时，求直线的方程；（3）当取最小值时，求直线的方程．【巩固训练】1.直线过点A(2，3)，且倾斜角正弦值为，求此直线方程________________.，斜率为2，求这条直线的点斜式方程.3.直线的倾斜角的平分线所在直线的方程是________________.的倾斜角为，且过点（1，0），则直线的方程_________________.已知直线的倾斜角比直线x2y1=0的倾斜角大45°，且在x轴上的截距为，求直线的方程.6.在平面直角坐标系中，A(0，a)、B（0，b）为y轴的正半轴上的两定点，试在x轴的正半轴上求一点C，使得取得最大值.考点二：直线的斜截式方程直线的斜截式方程的斜率为，与y轴的交点是P(0,b)，则直线的方程为，即.我们称b为直线在y轴上的截距，这个方程由直线的斜率和它在y轴上的截距确定，所以这个方程叫做直线的斜截式方程.例1.（2020·上海市控江中学高二期中）直线的斜率的大小为______．例2．（2020·上海·华师大二附中高二阶段练习）若直线l经过点P（1，2），方向向量为，则直线l的点方向式方程是______.例3．（2020·上海·华师大二附中高二阶段练习）过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为_____________.例4．（2017·上海市宝山中学高二期中）已知的三个顶点分别为、、，求：边上的中线所在直线的斜截式方程.例5．（2021·上海·高二专题练习）直线过点，且与直线和轴围成等腰三角形，求直线的方程.【巩固训练】直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限，则（） A.ab>0,bc>0 B.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<02．直线在x轴、y轴上的截距分别是() A. B. C. D.3．方程所表示的直线而构成的图形的面积为 ．4.是否存在这样的直线，使其满足条件：若点P(x,y)是直线上一点，则点Q(4x+2y,x+3y)也必在直线上？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由.5.求证：无论取何值，直线都经过第一象限，并求直线不经过第二象限时的取值范围.考点三：直线的两点式方程直线的两点式方程：一般地，经过点和点的直线的点方向式方程为：.例1．（2018·上海·高二期中）已知直线上两点（2,3），=（1,5），则直线的点方向式方程是____________.例2．（2017·上海市高桥中学高二期中）经过点的直线l的点方向式方程是________．例3．（2015·上海·高二期末）已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线所在直线的方程为______．例4．（2018·上海市西南位育中学高二期中）两条直线：和：相交于点，则过点，的直线方程为_______例5．（2022·上海·高三专题练习）如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，，…，，记，则______．例6．（2019·上海市进才中学高二期中）已知的顶点、、，试求：（1）求边的中线所在直线方程；（2）求边上的高所在直线的方程.例7．（2020·上海嘉定·高二期中）已知三角形的三个顶点是，，．（1）求边上的中线所在直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程．例8．（2016·上海市金山中学高二期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程是，AC边上的高所在的直线方程是．求：（1）AC边所在的直线方程；（2）AB边所在的直线方程．例9．（2018·上海·南汇县大团中学高一期中）已知的三个顶点分别为，（1）求AB的垂直平分线所在的直线方程；（2）过点A作直线，它把的面积分成1：3两部分，求直线的方程.例10．（2016·上海·高二期中）已知的三个顶点的坐标分别为.求边上中线的长；边上中线所在的直线方程.【巩固训练】1.求经过点和点的直线的两点式方程．2．已知梯形ABCD，AD∥BC，它的三个顶点为A(2，3)，B(2，1)，C(6，5)，求中位线所在直线的点方向式方程.3.经过点，且与向量平行的直线方程是（） A. B. C. D.4.求过点且平行于直线的直线的点方向式方程.5.已知光源的坐标为，光线绕光源以每分钟的角度逆时针旋转，已知初始光线沿方向射出，求15分钟后光线的方程.考点四：直线的一般式方程我们已经介绍了直线方程的几种特殊形式，它们都是关于x和y的二元一次方程．事实上，在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程（a，b不同时为0）都表示一条直线．方程（不同时为0）叫做直线的一般式方程．我们可以将这个方程化为的形式，所以x、y的系数组成的向量是直线的一个法向量，易推得是直线的一个方向向量．例1．（2018·上海杨浦·高二期中）已知直角坐标系平面上的直线经过第一、第二和第四象限，则，满足（）A． B． C． D．例2．（2022·上海·高三专题练习）若直线不通过第二象限，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．例3．（2017·上海市南洋模范中学高二阶段练习）下列说法正确的是（）A．表示过点且斜率为k的直线方程B．过y轴上一点的直线方程可以表示为C．若直线在x轴，y轴的截距分别为a、b，则该直线方程为D．方程表示过两点、的一条直线例4．（2020·上海·高二课时练习）过点的直线的倾斜角满足，则直线的方程是（）.A． B．C． D．例5．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）下列方程能表示如图所示的直线的是（）A． B．C． D．例6．（2020·上海·高二课时练习）过点且与直线相交成角的直线方程是______．例7．（2020·上海·高二课时练习）点在第一象限内，且在直线上移动，则的最大值是________.例8．（2022·上海·高三专题练习）直线的倾斜角的角平分线所在的直线的方程是________．例9．（2020·上海·高二课时练习）方程表示两条直线，则的取值范围是_______________.例10．（2019·上海青浦·高二期中）已知直线.（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时l的方程.例11．（2021·上海·高二专题练习）如图，公路围成的是一块顶角为的角形耕地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园.（1）以为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出点的坐标；（2）三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路所在直线方程.【巩固训练】1．已知直线的方程为3x4y1=0，分别写出直线的一个方向向量和法向量．2．已知直线与，则与的交点在第一象限的充要条件是_________________．：4x+y=6=0和直线：3x5y6=0，若直线被和截得的线段AB的中点恰为坐标原点，求直线的方程．过点作一直线，使得它夹在两直线2xy2=0和x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求此直线的方程．5．已知点A(4，5)，B、C分别是x轴和直线2xy+2=0上的动点，当△ABC的周长最小时，求B、C点坐标及周长的最小值．考点五：直线的点法向式方程直线的法向量：把与直线垂直的向量叫做直线的法向量.直线的点法向式方程：如果向量是直线的一个法向量，且过点，则直线的点法向式方程表示为：.例1．（2019·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）已知是常数且，那么表示一条直线的点法向式方程的充要条件是（）A． B． C．或 D．且例2．（2020·上海市实验学校高二期中）过点且法向量为的直线方程是________例3．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）若直线l的方程为，则直线l的一个法向量是_____________例4．（2020·上海·复旦附中高二期中）若直线过点，则它的点法向式方程为____________.例5．（2019·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）过点，且与直线垂直的直线的点法向式方程为______；例6．（2021·上海市长征中学高二期中）过点A(1，5)且以(2，1)为法向量的直线方程为______________．例7．（2020·上海·高二课时练习）已知直线与过点的直线垂直，且过线段的中点，点的坐标为，点的坐标为，求直线的点法向式方程．例8.（2020·上海市建平中学高二期中）已知△的三个顶点分别是，，.（1）求边上的高所在直线的点法向式方程；（2）如图，若四边形是平行四边形，求点的坐标.【巩固训练】和点，求线段AB的垂直平分线的点法向式方程.2.、和点是三角形的三个顶点，求：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上的高AD所在直线的方程.上一点，若为钝角，求点P的横坐标的取值范围.4.直线过点（2,3），它的法向量是直线xy=0的方向向量，求直线的方程.5.已知在△ABC中，90°，点B、C的坐标分别为（4,2）、（2，8），向量，且与AC边平行，求△ABC的两条直角边所在的直线的方程.6.已知点M(2，4)、N(5，4)，点P在y轴上，且90°，则点P的坐标为___________.7.若原点在直线上的射影为，求直线的方程。考点六：直线方程的综合应用三点共线，其中，求的值以及该直线的点法向式方程．例2.，的平分线所在的直线方程为，若B(1，2),求点A、C的坐标．，顶点A(0，6)，求斜边AB和直角边AC所在的直线方程．【巩固训练】1．已知实数满足，，试求的最大值和最小值．2．已知实数满足，试求的最大值和最小值．3．直线过，且斜率为，将直线绕点按逆时针方向旋转得直线，若直线和直线分别与轴交于点，则当为何值时，的面积最小？并求出面积的最小值．一、单选题1．（2022·上海·高三专题练习）如下图，直线的方程是（）A． B．C． D．2．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）当实数变化时，方程表示无数条直线，对某些点，它在且只在这些直线中的某一条上，假设这些点组成集合，则点、与的关系为（）A．， B．，C．， D．，3．（2021·上海·高二专题练习）直线的一个方向向量可以是（）A．(2，3) B．(，3) C．(3，2) D．(，2)4．（2021·上海·高二专题练习）如图，平面上过点P(1，2)的直线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B.过点P分别作直线垂直于x轴与y轴，垂足分别为M，N.则满足的直线有（）条A．0 B．1 C．2 D．35．（2022·上海·高三专题练习）经过点，且方向向量为的直线方程是（）A． B．C． D．6．（2020·上海·高三专题练习）如果且，那么直线不通过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2021·上海市嘉定区第二中学高三阶段练习）设是直线:的一个方向向量，是直线的一个法向量.设向量与向量的夹角为，则为（）A． B．C． D．二、填空题8．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为_______________.9．（2020·上海市中国中学高三期中）动直线，恒过的定点是________10．（2022·上海·高三专题练习）已知直线过点，直线的一个方向向量是，则直线的点方向式方程是___________.11．（2021·上海市第五十四中学高二阶段练习）已知直线，直线的方向向量为，若，则的值为________.12．（2022·上海·高三专题练习）直线的参数方程为（为参数，为定值），则的一个法向量为___________.13．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二阶段练习）过点A（1，5）且以=（2，1）为法向量的直线方程为__________14．（2021·上海·高二专题练习）直线l的一个方向向量为，则l与直的的夹角的大小为__________.（结果用反三角表示）.三、解答题15．（2020·上海市进才中学高二期中）已知平面上的直线，.（1）直线恒过定点的坐标；（2）直线与轴负半轴和轴正半轴坐标轴围成的三角形面积为，求的值.16．（2020·上海师大附中高二期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，．（1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程；（2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到）17．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）已知的三个顶点是.求（1）边所在直线的一般式方程;（2）边上的高所在直线的一般式方程.18．（2022·上海·高三专题练习）直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0